试题精选四十三――同余数问题

常出现的【同余同和】问题解决方法
核心问题：
1、余同【余同取余】
如一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，
4，5，6的最小公倍数是60，这个数可表示为60N+1 2、和同【和同加和】
一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，得到的除数、余数的和相同都为7，这个数可表示为60N+7
3、差同【差同减差】
一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，得到的除数、余数的差相同为3，这个数可表示为60N-3
例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）
问：如果本题用不上同余和和同呢？
解答：这个问题曾经捆饶我很久，你可以换个思路
【1】除以5余2，除以4余3 看做一项5+2=4+3 (和同加和)
5 和4 公倍数是20所以为20N+7
【2】再用20N+7和9余7 看着一个整体(余同取余) 20和9的公倍数为180
所以180N+7
180*1+7,180*2+7, 180*3+7,180*4+7,180*5+7,共5个数。

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同余问题 学生版
第五讲 同余问题
--Da侠老师整理
【知识要点】
1.
1)
余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16 除以5 的余数分别是3 和1，所以23+16=39 除以5 的余数等 于 4，即两个余数的和3+1.
2)
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19 除以5 的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数即2.
3. 同余定理
1) 若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为： a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b，模m。 2) 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a-b＝mk，k 是整数，即 m|(a－b) 3) 费马小定理：假如 p 是质数，且(a,p)=1，那么 a 那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。
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同余问题 学Leabharlann 版12 【例 7】 求 6443 19 的余数
【例 8】 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a 5, 2a, a ，求这个自然数和 a 的值.
【例 9】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能 被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以

余数问题“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。

首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，一.求被除数类1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，15+3=18，18÷7=2……4不余6，（不对）15×2=30（30+3）÷7=4……5不余6（不对）（15×3+3）÷7=6……6（对）所以满足条件的最小数是48。