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同余练习题

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奥数中级教程同余解题1、2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。

7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。

2、某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。

因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

3、求437×309×1993被7除的余数。

思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。

但是能否寻找更为简变的办法呢？473≡3（mod7）；309≡1（mod7）由"同余的可乘性"知：437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）又因为1993≡5（mod7）所以：437×309×1993≡3×5（mod7）≡15（mod7）≡1（mod7）即：437×309×1993被7除余1。

4、分别求满足下列条件的最小自然数：（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

思路分析：（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。

因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。

下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。

36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。

（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……从以上数中寻找最小的被3除余1的数。

2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。

（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。

1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……1（mod3）；1（mod7），不符合12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合；23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合；45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合；67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合…199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合；210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合；因此符合条件的数是221。

由能被8、9整除的特征，得由（2）得y≡2（mod 8）因0≤y<9且y是整数，∴y＝2．把y＝2代入（1）得：x＋6＋7＋9＋2≡0（mod 9）∴x≡3（mod 9）．由x是一位整数得：x＝3．∴所求五位数是36792．分析①设n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．≡1919×20≡2×2≡4（mod 9），∴9│（n－4），即n－4＝9×商，又∵n－4的个位数字是5，∴n被9除所得的商的个位数字是5．例5 a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．解：∵a≡1（mod5），∴3a≡3（mod 5），或者3a≡8（mod 5）．（1）又∵b≡4（mod 5），（2）∴（1）－（2）得：3a－b≡8－4≡4（mod 5）．因此，3a－b除以5余4．问：a除以13所得余数是几？解：用试除方法可知：13│191919．∵1919×2＝3838，而3│3837，即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组．∴a≡19（mod 13）．∴a≡6（mod 13）．即a除以13余数是6．【课后练习题】1.两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？2.用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？3.1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。

4.用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数：9…这个100位数除以9余几？5.把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。

问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？6.求下列各数除以11的余数：7.将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。

8.分别求满足下列条件的最小自然数：(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。

9.甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3，再给乙2，再给丙1，最后给丁2，然后再按照甲3、乙2，……的顺序发牌。

问：最后一(第54)牌发给了谁？10.节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。

问：第2000盏灯是什么颜色？11.上图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？12.某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。

问：这班学生至少有多少人？13.有一个数除以3余2，除以4余1。

问：此数除以12余几？14.计算下列各式的余数：(1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9；(3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；(5) 6443 12 ÷19；(6)253 16×187 19÷83。

15.求下列各式的余数；(1) 2123÷6；(2) 4848÷5；(3)10100÷7；(4) 345÷7；(5) 5100÷11；(6)1013 ÷13；（7）19992000÷7的余数。

16.将一批货物共328千克装入纸箱，每箱13千克，最后余多少千克？17.有一串数1，1，2，3，5，8，…从第3个数起，每个数都是前2个数之和，在这串数的前100个数中，有多少个是5的倍数？18.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差11。

求这个数。

19.在计算有余数的除法时，把被除数115当成了151，结果商比正确结果大了3，但余数恰好相同。

求这道除法算式的除数。

20.用一个整数去除454和546所得的余数都是17，求这个数。

21.有一个大于1的整数，除365，450，314所得的余数都相同，求这个数。

22.学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网。

如果将这三种物品分别平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同。

学校共有多少个班？第六讲 数论之同余定理、个位律回顾【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。

这三个余数中最大的一个是多少？【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？专题题型一、余数规律 想 挑 战 吗 ？射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？【例1】 2005432120054321+++++ΛΛ除以10所得的余数为多少？【例2】 试求25310×1685的末两位数。

题型二、余数定理、性质的运用【例3】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例4】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍.求A 等于多少？题型三、一个数除以多个数，得不同余数【例5】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【例6】 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是____.一般解题步骤:①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”余数定理：a ：两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。

实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。

b: 两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。

实例：8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。

如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？c: 两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。

实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。

性质：带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,那么一定有另外两个整数q 和r ，0≤r ＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a 能被b 整除。

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高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)

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高中数学比赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)v1.0 可编写可改正同余的见解与应用见解与性质1. 定义：若整数 a,b 被整数 m(m ≥1) 除的余数同样 , 则称 a 同余于 b 模 m,或 a,b 对模 m 同余 . 记为 a ≡b(modm). 余数 r:0 ≤r<1.2. 性质： ( ⅰ)a ≡b(modm)m|a-b, 即 a=b+mk,k ∈Z.( ⅱ) 若 a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).( ⅲ) 若 a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则 a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);nnn-1 x n-110n nn-1 x n-110是两个整系数多项式 i≡( ⅳ) 设 f(x)=a x +a+ +a x+a ,g(x)=bx +b+ +b x+b , 知足 ab (modm)(0≤i ≤n). 若 a ≡b(modm),则 f(a) ≡f(b)(modm).( ⅴ)ac ≡bc(modm)a ≡b(modm ),i(c, m)( ⅵ) 若 m ≥1,(a,m)=1, 则存在整数c 使得 ac ≡1(modm).称 c 为 a 对模 m 的逆或倒数 , 记为 c=a -1 (modm);a b(mod m 1 ) ab (mod[m 1,m 2]); ( ⅷ) 若 a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2), 且(m 1,m 2)=( ⅶ)同时建立a b(mod m 2 )1, 则 a ≡b(modm 1m 2).3. 节余类： 设 m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分红 m 类，相应 m 个会合记为： K 0,K 1 , ,K m-1, 此中 K r ={qm+r|q ∈Z,0 ≤余数 r ≤m -1} 称为模 m 的一个 节余类 。

小学奥数：同余问题.专项练习及答案解析

小学奥数：同余问题.专项练习及答案解析

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

高中数学竞赛讲义-同余(练习题)

高中数学竞赛讲义-同余(练习题)

- 1 -
课后练习
1、证明：完全平方数模3同余于0或1；
证明：完全平方数模5同余于0、1或4；
证明：完全平方数模8同余于0、1或4；
证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；
证明：整数的四次幂模16同余于0或1；
2、设的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20
a a Z a =∈
3、求2999最后两位数码
整除；
可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个12012012012120.4
整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出198079801920218019.5
课后练习答案
- 2 - 1.略
01
)
100(mod 11
)4,25()4(mod 1)4(mod 1)
25(mod 11)10,(.22020202)25(20的末两位位又又为奇数
，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴= ϕ 3.解 考虑用100除2999
所得的余数. ∵∴ 又，∴ ∴
∴2999的最后两位数字为88.。

第十八讲同余问题

第十八讲同余问题

第18次同余问题一、知识要点和基本方法14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余，记作14 ≡26（mod6）．同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余．应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数．有一些数学问题，与数的大小关系不大，而主要与这个数除以某数的余数有关．例如，自然数的个位数字，实际上就是这个自然数除以10的余数．还有一些数学问题，是要解决一些周期性变化的数字问题，这里不—一列举．利用同余性质，可以巧妙地解决上述的这些问题．二、例题精讲例11991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和l，那么n最小是多少？解1991－2＝1989能被n整除，同理1769－1＝1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2．因为（1989，1768）＝13 × 17，所以n最小是13．例2把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？解把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1 ×9＝9（个）数码，两位数写了2 ×90＝180（个）数码，5位数写了（201－9＝180）÷3＝4（个），即写到了99＋4＝103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103 ÷3＝34……l，前102个自然数（3 ×34＝102）的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以：103 ÷ 3＝34……1，即这个201位数除以3余数是1．例3除以3余l，除以5余已除以7余4的最小三位数是几？解因为除以3余l，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67 ÷7＝9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…．所以，符合条件的最小三位数是172．例4有1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是多少？解因为9 999 ÷74＝135......9，即135 × 74＝9 990，这说明凡是9 990 (00)形式的数均能被74整除，而1991个9可以分为若干段这种数（每一段中有3个9）．因为1991 ÷3＝663……2，余数为2，说明去掉这些663段后，还剩2个9．而99＋74＝1……25，所以由1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是25．例5一串数1、2、4、7、11、16、22、29…这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依次类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？解 设这串数为1231992,,,,a a a a ⋅⋅⋅，…，依题意知1a ＝12a ＝1＋13a ＝1＋1＋24a ＝1＋l ＋2＋35a ＝1＋1＋2＋3＋4…19921123199119961991a =++++⋅⋅⋅+=+⨯因为996 ÷ 5＝199……l ，1991 ÷ 5＝398……1，所以996 × 1991的积除以5 余数为1，l ＋996 × 1991除以5的余数是2．因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2．例6 a 除以5余1，b 除以5余4，如果3a ＞b ，那么3a －b 除以5余几？解 因为a ≡ 1（mod5），所以3a ≡3（mod5），或者3a ≡ 8（mod5） ① 又因为 b ≡ 4（mod5） ② 所以①－②得 3a －b ≡8－4≡4（mod5）因此3a －b 除以5余4．练 习 题A 组1．一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是多少？2．310被一个两位数除，余数是37，这个两位数是多少？3．71 427和19的积被 7除，余数是几？4．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0）．问这个整数是几？5．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？6．31 453 × 68765 × 987 657的积，除以4的余数是多少？B 组7．50850688886666⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个乘以的积，除以7余数是多数？8．已知：199119911991199119911991a =⋅⋅⋅个，问：a 除以13，余数是几？9．整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以 9，所有余数的和是多少？10．某自然数m 在除13 511、13 903及 14 589时余数相同，那么m 的最大值是多少？11．某数加上22的和被9除余2，这个数加上31的和被9除余几？12．有一个数，甲将其除以8，乙将其除以9．甲所得的商数与乙所得的余数之和为13．试求甲所得的余数．13．有5个不同的自然数，它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是什么？14．有一个整数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个整数是多少？测试题1．被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？2．有一个不等于1的整数，它除967，1000，2 001得到相同的余数，那么这个整数是多少？3．在1，2，3，…29，30这30个自然数中，最多能取出多少个数。