相交线与平行线考点及题型总结

订交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直订交所成的四个角中，有一条公共，它的另一互反向延，拥有种关系的两个角，互 _____________.2.角的性可归纳：3.两直订交所成的四个角中，假如有一个角是直角，那么就称两条直相互_______.4.垂的性：⑴ 一点一条直与已知直垂直⑵ 接直外一点与直上各点的所在段中，5.直外一点到条直的垂段的度，叫做6. 两条直被第三条直所截，组成八个角，在那些没有公共点的角中:⑴如果两个角分在两条直的同一方，而且都在第三条直的同，拥有种关系的一角叫做___________ ；⑵假如两个角都在两直之，而且分在第三条直的两，拥有种关系的一角叫做____________；⑶假如两个角都在两直之，但它在第三条直的同一旁，拥有种关系的一角叫做_______________.7.在同一平面内，不订交的两条直相互___________同.一平面内的两条直的地点关系只有________与 _________两种 .8. 平行公义：直外一点，有且只有一条直与条直______.推：假如两条直都与第三条直平行，那么_____________________. 9.平行的判断：⑴两条直被第三条直所截，假如同位角相等，那么两条直平行 .成：第三条直所截，假如内角相等，那么两条直平行___________________________⑶.两条直被第三条直所截，假如同旁内角________________________________________.10.在同一平面内，假如两条直都垂直于同一条直，那么两条直 _______ .11.平行的性：⑴两条平行直被第三条直所截，同位角相等.成：⑵两条平行直被第三条直所截，内角相等.成：⑶两.条平行直被第三条直所截，同旁内角互 .成： ________________________________ .12.判断一件事情的句，叫做_______命.由 ________和 _________两部分成 .是已知事，是命.常能够写成“假如⋯⋯那么⋯⋯”的形式，“假如”后接的部分是，“那么”后接的部分是 _________. 假如成立，那么必定成立.像的命叫做 ___________如.果成立，不可以保必定成立，像的命叫做___________定.理都是真命 .13.把一个形整体沿某一方向移，会获取一个新形，形的种移，叫做平移，称 _______. 形平移的方向不必定是水平的 .14.平移的性：⑴把一个形整体平移获取的新形与原形的形状与大小完全 ______.⑵新形中的每一点，都是由原形中的某一点移后获取的，两个点是点.接各点的段_________________.二：典型题型训练15.如， BC AC ,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm, 那么点 A 到 BC 的距离是_____，点 B 到 AC 的距离是_______，点A、B两点的距离是 _____，点C到AB的距离是 ________．16.a 、b、c平面上三条不一样直，若 a // b,b // c ，a与c的地点关系是⑵两.条直被. 成：则a 与c的地点关系是 ________．解：∠B＋∠ ＝∠过点C作∥ ，E BCE CF AB17. 如图，已知AB 、、EF订交于点O，AB⊥CD，OG均分∠AOE，∠则 B____（）CD FOD＝ 28 °，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．又∵AB∥DE， AB ∥CF，∴（）∴∠E＝∠____（）∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2即∠B＋∠E＝∠BCE．20.⑴如图，已知∠ 1 ＝∠2求证：∥ ．⑵直线a //b ，求证：12．a b18.如图，AOC 与BOC 是邻补角，OD、OE分别是AOC 与BOC 的平分线，试判断OD 与 OE 的地点关系，并说明原因．21.阅读理解并在括号内填注原因：如图，已知AB ∥CD，∠1＝∠2，试说明 EP∥FQ．证明：∵ AB∥CD ，19. 如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．∴∠＝∠（）MEB MFD又∵∠1 ＝∠2 ，∴∠MEB－∠1＝∠MFD －∠2，即∠MEP＝∠______∴EP∥_____．（）三：兴趣拓展22.已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP均分∠平行线问题：平行线是我们平时生活中非经常有的图形．练习本每一页中的横线、BAC，求：⑴∠ BAC 的大小；⑵∠ PAG 的大小.直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是相互平行的线段．正因为平行线在生活中的宽泛应用，因此相关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为从古到今好多半学家特别重视的研究对象．历史上对于23.如图，已知ABC， AD BC 于D， E 为 AB 上平行公义的三种假定，产生了三种不一样的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧一点， EF BC于F， DG //BA交CA于G.几里得几何 )，它们在令人们认识宇宙空间中起着特别重要的作用．现行中学中所求证12学的几何是属于欧几里得几何，它是成立在这样一个公义基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判断定理及性质定理．下边我们举例说明这些知识的应用．24.已知：如图∠ 1= ∠2，∠C= ∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明原因．例 1 如图 1－18 ，直线 a∥b ，直线 AB 交 a 与 b 于 A，B，CA 均分例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC ∠1， CB 均分∠ 2 ，求证：∠C=90 °∥l．求证：A， B， C 三点在同一条直线上．例 2 如图 1－21 所示， AA1∥BA2求∠A1=∠B1 + ∠A2．例 7 如图 1－30 所示．∠1= ∠2，∠D=90 °，EF⊥ CD．求证：∠3= ∠B．例 3 如图 1－ 26 所示． AE∥BD ，∠1=3 ∠2，∠2=25 °，求∠C．四，课后思虑题例 4求证：三角形内角之和等于 180 °． 1 ．如图 1－31 所示．已知 AB ∥CD，∠B=100 °，EF均分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG 和∠DEG．例 5 求证：四边形内角和等于360 °．2．如图 1－ 32 所示． CD 是∠ACB 的均分线，∠ ACB=40 °，∠B=70 °，DE∥BC．求∠EDC 和∠BDC 的度数．3．如图 1－ 33 所示． AB ∥CD ，∠BAE=30 °，∠DCE=60 °，EF， EG 三均分∠AEC．问： EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线，为何？4．证明：五边形内角和等于540 °．5．如图 1－ 34 所示．已知 CD 均分∠ACB ，且 DE∥ACCD ∥EF．求证：EF 均分∠DEB．参照答案一：1.邻补角2. 对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行订交平行7.平行这两直线相互平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行 .9.平行10.两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补 .11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移同样平行且相等13.6cm8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28° 118°59°16. OD⊥ OE原因略17. 1 （两直线平行，内错角相等）DE∥ CF （平行于同向来线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等） .18.⑴∵∠ 1＝∠ 2，又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等），∴∠ 1＝∠ 3∴ a∥ b（同位角相等两直线平行）⑵∵ a∥ b ∴∠ 1＝∠ 3( 两直线平行，同位角相等)又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）∴∠ 1＝∠ 2.19. 两直线平行，同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°， 12°.21.Q AD BC,FE BC EFB ADB90oEF//AD23QDG//BA,311 2.22. ∠A＝∠ F.∵∠ 1＝∠ DGF（对顶角相等）又∠ 1＝∠ 2∴∠ DGF＝∠ 2∴ DB∥ EC （同位角相等，两直线平行）∴∠ DBA ＝∠ C（两直线平行，同位角相等）又∵∠ C＝∠ D∴∠ DBA＝∠ D∴DF∥ AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A三例 1 如图 1 － 18，直线 a∥b，直线 AB说明做完本题不如想想这个问题的“反问题”能否成立，即“两条交 a 与 b 于 A ，B，CA均分∠ 1，CB均分∠ 2 ，直线 a，b 被直线 AB所截 ( 如图 1－20 所示 ) ，CA，CB分别是∠ BAE与∠求证：∠ C=90°ABF的均分线，若∠ C=90°，问直线 a 与直线 b 能否必定平行？”剖析因为 a∥ b，∠ 1，∠ 2 是两个同侧内角，所以∠ 1+∠2=过 C 点作直线 l ，使 l ∥a( 或 b) 即可经过平行线的性质实现等角转移．因为这个问题与上述问题特别相像( 将条件与结论互换地点 ) ，所以，不妨模拟原问题的解决方法来试解．12112．例 2 如图 1－21 所示， AA∥BA求∠ A-∠B+∠A证过 C 点作直线 l ，使 l ∥a( 图 1－19) ．因为 a∥b，所以 b∥ l ，剖析本题对∠ A1，∠ A2，∠ B1的大小并无给出特定的数值，所以，答所以∠ 1+∠2=180° ( 同侧内角互补 ) ．因为 AC均分∠ 1，BC案明显与所给的三个角的大小没关．也就是说，不论∠A，∠A，∠ B121的大小怎样，答案应是确立的．我们从图形直观，有原因猜想答案大体均分∠ 2，所以又∠ 3=∠是零，即∠ A1+∠ A2 =∠ B1．①CAE，∠ 4=∠ CBF(内错角相等 ) ，所以∠ 3+∠4=∠CAE+∠CBF猜想，经常遇到直观的启迪，但猜想一定经过严格的证明．①式给我们一种启迪，能不可以将∠ B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠ A2．这就引起我们过 B 点引 AA( 进而也是 BA) 的平行线，它将∠ B 一分为二．- 6 -推行是一种展自己思虑能力的方法，有些的，假如抓住了的本，那么，在本不的状况下，能够将推行到复的状况．(2) 个也能够将条件与一下，成一个新．1 如 1－24 所示．∠ A1+∠A2=∠B1， AA1与 BA2能否平行？B1引 B1E∥AA1，它将∠ A1B1A2分红两个角：∠ 1，∠ 2( 如 1－22 所示) 因 AA1∥BA2，所以 B1E∥BA2．进而∠ 1=∠A1，∠2=∠A2( 内角相等 ) ，所以∠ B1=∠1+∠2=∠ A1 +∠ A2，即∠A1-∠B1 +∠ A2=0．2 如 1－25 所示．若∠ A1 +∠ A2 +⋯ +∠ A n=∠B1+∠B2+⋯+∠B n-1， AA1与 BA n能否平行？明 (1) 从的程能够，的在于AA1∥BA2，它与接A1，A2两点之的折段的数量没关，如1－23 所示．接 A1，A2之的折段增添到 4 条： A1B1，B1A2，A2B2， B2A3，仍旧有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．( 即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和 ) 即∠A1-∠ B1 +∠ A2 -∠B2+∠A3=0．两个同学加以思虑．一步能够推行∠ A1-∠B1+∠A2-∠ B2＋⋯ -∠B n-1+∠A n=0．例 3 如 1－26 所示． AE∥BD，∠ 1=3∠2，∠ 2=25°，， A1，A n之的折段共有n 段 A1B1，B1A2，⋯，B n-1A n( 自然，仍要保持 AA1∥BA n) ．剖析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一极点，并获取一个平角，问题即可解决，下边方法是最简单的一种．求∠ C．剖析利用平行线的性质，能够将角“转移”到新的地点，如∠ 1=∠DFC 或∠ AFB．若能将∠ 1，∠ 2，∠C“集中”到一个极点处，这是最理想可是的了，过 F 点作 BC的平行线恰能实现这个目标．解过 F 到 FG∥CB，交 AB 于 G，则∠C=∠AFG(同位角相等 ) ，∠2=∠BFG(内错角相等 ) ．因为 AE∥ BD，所以∠ 1=∠ BFA(内错角相等 ) ，所以∠ C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠ 1-∠2=3∠2-∠ 2=2∠2=50°．说明 (1) 运用平行线的性质，将角集中到适合地点，是增添协助线 ( 平行线) 的常用技巧． (2) 在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简易的解法：∠ 1=∠DFC=∠C+∠ 2，即∠ C=∠1-∠2=2∠ 2=50°．例 4 求证：三角形内角之和等于180°．证如图 1－27 所示，在△ ABC中，过 A 引 l ∥BC，则∠B=∠1，∠ C=∠2( 内错角相等 ) ．明显∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠ C=180°．说明事实上，我们能够运用平行线的性质，经过增添与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到随意一点获取平角的结论．如将平角的极点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其余任何一点处，可是，解法将较为麻烦．同学们不如试一试这类较为麻烦的证法．例 5 求证：四边形内角和等于360°．剖析应用例 3 近似的方法，增添适合的平行线，将这四个角“聚合”在一同使它们之和恰为一个周角．在增添平行线中，尽可能利用本来的内角及边，应能减少推理过程．如 1－28 所示，四形 ABCD中，点 B 引 BE∥AD， BF∥CD，并延AB，CB到H，G．有∠A=∠2( 同位角相等) ，∠D=∠1( 内角相等) ，∠1=∠3( 同位角相等) ．∠C=∠4( 同位角相等) ，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(角相等 ) ．因为∠ 2+∠ 3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠ C+∠D=360°．明 (1) 同例 3，周角的点能够取在平面内的随意地点，明的本不．(2)例 3、例 4，并将的表达形式化，可将加以推行：三角形内角和=180°=(3 -2) ×180°，四形内角和 =360°=2×180°=(4 -2) ×180°．人不由会猜想：五形内角和=(5 -2) ×180°=540°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ n 形内角和 =(n -2) ×180°．个猜想是正确的，它的明在学三角形内角和以后，明将特别． (3) 在解程中，将一些表面其实不同样的，从形式上加以适合形，找到它本上的共同之，将加以推行或一般化，是展人的思能力的一种重要方法．例 6 如 1－ 29 所示．直 l 的同有三点 A，B，C，且 AB∥l ，BC∥l．求： A ，B，C三点在同一条直上．剖析 A，B，C三点在同一条直上能够理解∠ ABC平角，即只需明射 BA与BC所的角 180°即可，考到以直 l 上随意一点点，点分直所成的两条射所成的角均平角，合所平行条件， B 作与 l 订交的直，便可将 l 上的平角到点 B ．B 作直 BD，交 l 于 D．因 AB∥l ， CB∥l ，所以∠1=∠ABD，∠ 2=∠CBD(内角相等 ) ．又∠ 1+∠2=180°，所以∠ ABD+∠CBD=180°，即∠ ABC=180° =平角． A，B，C三点共．思虑若将加以推行：在 l 的同有 n 个点 A1，A2，⋯，An-1，An，且有 AiAi+1 ∥ l(i=1 ，2，⋯， n-1) ．能否有同的？例 7 如 1－30 所示．∠ 1=∠ 2，∠ D=90°， EF⊥CD．求：∠ 3=∠B．剖析假如∠ 3=∠B，则应需 EF∥ BC．又知∠ 1=∠2，则有 BC∥AD．进而，应有 EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠ D=90°不难获取．证因为∠ 1=∠ 2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ．因为∠ D=90°及 EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行) ．所以 BC∥EF(平行公义 ) ，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等) ．-10-。

初一数学相交线与平行线28道典型题（含答案和解析及考点）1、若直线AB,CD相交于O，∠AOC与∠BOD的和为200°，则∠AOD的度数为．答案：80°.解析：∵∠AOC=∠BOD，∠AOC与∠BOD的和为200°.∴∠AOC=100°.∵∠AOD与∠AOC互补.∴∠AOD=80°.考点：几何初步——相交线与平行线——对顶角、邻补角.2、已知OA⊥OB，∠AOC∶∠AOB=2∶3，则∠BOC= ．答案：30°或150°.解析：当OC在∠AOB内部时，∠BOC=30°；当OC在∠AOB外部时，∠BOC=150°.考点：几何初步——相交线与平行线——对顶角、邻补角——垂线.3、若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3答案：C.解析: 直线b的交点两侧各有一点到直线a的距离等于2cm.考点：几何初步——相交线与平行线——点到直线的距离.4、如图所示，在平面内，两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p,q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2,1）的点共有个．答案：4.解析：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1、l2的距离分别是2、1，的点，即距离坐标是（2,1）的点，因而共有4个．考点：几何初步——相交线与平行线——点到直线的距离.5、若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）． A.45° B.135° C.45°或135° D. 不能确定 答案：D.解析：若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=50°，则∠2的度数为不能确定． 考点：几何初步——相交线与平行线——三线八角.6、平面上n 条直线最少能将平面分为__________部分，最多能将平面分为__________部分． A. 最少能将平面分成n+1部分；最多分为n2+n+22.B. 最少能将平面分成n+2部分；最多分为n2+n−22.C. 最少能将平面分成n+1部分；最多分为n2+n−22. D. 最少能将平面分成n+2部分；最多分为n2−n+22.答案：A.解析：1条直线将平面分成2部分.2条直线最少将平面分成3部分，最多将平面分成4部分，其中4=1+1+2. 3条直线最少将平面分成4部分，最多将平面分成7部分，其中7=1+1+2+3. 4条直线最少将平面分成5部分，最多将平面分成11部分，其中11=1+1+2+3+4. ……n 条直线最少将平面分成n+1部分，最多将平面分成n2+n+22部分，其中n2+n+22=1+1+2+3+…+n .综上，n 条直线最少能将平面分成n+1部分,对多能将平面分成n2+n+22部分．考点：几何初步——相交线与平行线——相交线.7、如图，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，则需（ ）．A. ∠1=∠2B. ∠2=∠4C. ∠1=∠4D. AB ∥CD答案：D.解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE.由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD.故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论.8、如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③．（1）若图①中的∠DEF=20°，则图②中的∠CFE度数是．（2）若图①中的∠DEF=α，则图③中的∠CFE度数是．（用含有α的式子表示）答案：（1）160°.（2）180°-3α.解析：（1）在图①中：∵AD∥BC.∴∠BFE=∠DEF=20°.∴∠CFE=160°.在图②中，根据折叠性质，∠CFE大小不变.∴∠CFE=160°.（2）在图①中，∠CFE=180°-∠BFE=180°-α.在图②中，∠CFB=∠CFE-∠BFE=180°-α.根据折叠性质，图③中∠CFB与图②中∠CFB相等.在图③中，∠CFE=∠CFB-∠BFE=180°-3α.∴图③中的∠CFE度数是180°-3α.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）——轴对称基础——轴对称的性质.9、已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2.求证：∠3=∠B.证明：∵∠D=110°，∠EFD=70°，（已知）.∴∠D+∠EFD=180°.∴_____∥ _____．（）.又∵∠1=∠2，（已知）.∴_____∥ _____．（）.∴_____∥ _____．（）.∴∠3=∠B．（）.答案：答案见解析．解析：∵∠D=110°，∠EFD=70°，（已知）.∴∠D+∠EFD=180°.∴AD∥EF．（同旁内角互补，两直线平行）.又∵∠1=∠2，（已知）.∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）.∴EF∥BC．（平行于同一直线的两直线平行）.∴∠3=∠B．（两直线平行，同位角相等）.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.10、车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（）．A.150°B.180°C.270°D.360°答案：C.解析：过B作CD的平行线BF，则CD∥BF∥AE.∴∠DCB+∠CBF=180°，∠ABF=90°.∴∠ABC+∠BCD=∠DCB+∠CBD+∠ABF=180°+90°=270°.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的性质.11、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是．答案：150°.解析：如图，作BE∥AD.∴∠1=∠A=120°.∴∠2=∠ABC=∠1=150°-120°=30°.∵AD∥CF.∴BE∥CF.∴∠C+∠2=180°.∴∠C=180°-30°=150°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论——平行线的性质.12、如图所示，若AB∥CD，则角α，β，γ的关系为（）．A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°答案：D.解析：过β角的顶点为E，作EF∥AB，α+β-γ=180°.考点：几何初步——相交线与平行线平行线的判定——平行线的性质——平行有关的几何模型.13、如图AB∥CD∥EF，CG平分∠ACE，∠A=140°，∠E=110°，则∠DCG=（）.A.13°B.14°C.15°D.16°答案：C.解析：∵EF∥CD，∴∠ECD=180°-∠E=70°.同理∠ACD=40°.∴∠ACE=110°.∵CG平分∠ACE.∴∠ECG=55°.∴∠DCG=∠ECD-∠ECG=70°-55°=15°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行线的性质——平行有关的几何模型.14、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.A.15°B.20°C.25°D.30°答案：D.解析：由AB∥EF∥CD,可知∠BED=∠B+∠D.已知∠B+∠BED+∠D=192°．∴2∠B+2∠D=192°，∠B+∠D=96°.又∠B-∠D=24°，于是可得关于∠B、∠D的方程组：{∠B+∠D=96°∠B−∠D=24°.解得∠B=60°．由AB∥EF知∠BEF=∠B=60°.因为EG平分∠BEF，所以∠GEF=12∠BEF=30°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行有关的几何模型.15、把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式：.答案：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行”.解析：略.考点：命题与证明——命题与定理.16、下列命题中，假命题是（）．A. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.C. 两直线平行，内错角相等.D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.答案：B.解析：两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，只有两直线平行时，同旁内角互补．考点：命题与证明——命题与定理.17、已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°.（1）求证：AB∥CD.（2）求∠C的度数．答案：（1）证明见解析．（2）∠C=25°.解析：（1）∵AE⊥BC,FG⊥BC.∴AE∥FG.∴∠2=∠A.∵∠1=∠2.∴∠1=∠A.∴AB∥CD.（2）∵AB∥CD.∴∠C=∠3.∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∠C+∠D+∠CBD=180°.∴∠C+∠C+60°+70°=180°.∴∠C=25°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.18、已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为BC上一点，过E点作EF⊥AC，垂足为F，过点D作DH∥BC交AB于点H．（1）请你补全图形．（2）求证：∠BDH=∠CEF.答案：（1）画图见解析．（2）证明见解析．解析：（1）补全图形.（2）∵BD⊥AC，EF⊥AC.∴BD∥EF.∴∠CEF=∠CBD.∵DH∥BC.∴∠BDH=∠CBD.∴∠BDH=∠CEF.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.尺规作图——过一点作已知直线的垂线——过一点作已知直线的平行线.19、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.答案：证明见解析．解析：过E点作EF∥AB，则∠B=∠3.又∵∠1=∠B.∴∠1=∠3.∵AB∥EF，AD∥CD.∴EF∥CD.∴∠A=∠D.又∵∠2=∠D.∴∠2=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∴∠3+∠4=90°，即∠BED=90°.∴BE⊥ED.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.20、如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC.求证：AB∥GF.答案：证明见解析．解析：延长CD、GF交于点H，∠1=∠H.故∠2+∠H=∠ABC.易得AB∥GF.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.21、如图，已知点A，E，B在同一条直线上，设∠CED=x，∠C+∠D=y.（1）若AB∥CD，试用含x的式子表示y，并写出x的取值范围．（2）若x=90°，且∠AEC与∠D互余，求证：AB∥CD.答案：（1）y=180°-x，其中x的取值范围是（0＜x＜180）.（2）证明见解析．解析：（1）∵AB∥CD.∴∠AEC=∠C，∠BED=∠D.∵∠C+∠D=y.∴∠AEC+∠BED=y.∵∠CED=x，∠AEC+∠CED+∠BED=180°.∴x+y=180°.∴y=180°-x，其中x的取值范围是（0＜x＜180）.（2）∵x=90°，即∠CED=90°.∴∠AEC+∠BED=90°.∵∠AEC与∠D互余.∴∠AEC+∠D=90°.∴∠BED=∠D.∴AB∥CD.考点：函数——函数基础知识——函数自变量的取值范围.几何初步——角——余角和补角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.22、阅读材料：材料1：如图（a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2.材料2：如图（b）所示，已知△ABC，过点A作AD∥BC，则∠DAC=∠C，又∵AD∥BC，∴∠DAC+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即三角形内角和为180°.根据上述结论，解决下列问题：（1）如图（c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2= ，∠3= .（2）在（1）中，若∠1=40°，则∠3= ，若∠1=55°，则∠3= .（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．答案：（1）1．100°.2．90°.（2）1．90°.2．90°.（3）90°.解析：（1）∵∠1=50°.∴∠4=∠1=50°.∴∠6=180°-50°-50°=80°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=100°.∴∠5=∠7=40°.∴∠3=180°-50°-40°=90°.故答案为：100°，90°.（2）∵∠1=40°.∴∠4=∠1=40°.∴∠6=180°-40°-40°=100°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=80°.∴∠5=∠7=50°.∴∠3=180°-50°-40°=90°.∵∠1=55°.∴∠4=∠1=55°.∴∠6=180°-55°-55°=70°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=110°.∴∠5=∠7=35°.∴∠3=180°-55°-35°=90°.（3）当∠3=90°时，m∥n.理由是：∵∠3=90°.∴∠4+∠5=180°-90°=90°.∵∠4=∠1，∠7=∠5.∴∠1+∠7+∠4+∠5=2×90°=180°.∴∠2+∠6=180°-（∠1+∠4）+180°-（∠5+∠7）=180°.∴m∥n.故答案为：90°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.23、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）如图1，当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD.，（2）如图2，当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（请画出图形并直接回答成立或不成立）（3）如图3，当动点P落在第③部分时，探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，请画出图形并直接写出相应的结论．答案：（1）证明见解析．（2）不成立．（3）证明见解析．解析：（1）过点P作直线AC的平行线，易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD.又∵∠APB=∠1+∠2，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）①当动点P在射线BA的右侧时（如图4）.结论是∠PBD =∠PAC+∠APB.②当动点P在射线BA上（如图5）.结论是∠PBD =∠PAC+∠APB或∠PAC =∠PBD +∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.③当动点P在射线BA的左侧时（如图6）.结论是∠PAC =∠PBD +∠APB.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质——平行有关的几何模型.24、如图所示，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠3=∠4且∠ABC=∠ADC；④∠BAD+∠ABC=180°；⑤∠ABD=∠ACD；⑥∠ABC+∠BCD=180°．能判定AB∥CD的共有（）个．A.2B.3C.4D.5答案：A.解析：由平行的判定知③⑥可以判定AB∥CD.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定.25、有下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直.④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中所有正确的命题是（）．A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④答案：B.解析：①④正确；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，需要两条直线平行；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． 考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论——平行线的判定——平行线的性质.26、如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ABD=60°，∠ACE=30°，AP 平分∠BAC ，求∠PAG 的度数.A.11°B.12°C.13°D.14°答案：B.解析：由DB ∥FG ∥EC.可得∠BAC=∠BAG+∠CAG=∠DBA+∠ACE=60°+36°=96°.由AP 平分∠BAC 得∠CAP=12∠BAC=12×96°=48°. 由FG ∥EC 得∠GAC=∠ACE=36°.∴∠PAG=48°-36°=12°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行有关的几何模型.27、如图，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=（ ）．A.10°B.15°C.20°D.30°答案：B.解析：得∠APC=∠BAP+∠DCP .∴45°+α=60°-α+30°-α.解得：α=15°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的性质.28、已知，如图，AB∥CD，直线α交AB、CD分别于点E、F，点M在线段EF点上，P是直线CD 上的一个动点，（点P不与F重合）.（1）当点P在射线FC上移动时，∠FMP、∠FPM和∠AEF之间的数量关系是：.（2）当点P在射线FD上移动时，∠FMP、∠FPM和∠AEF之间的数量关系是：. 答案：（1）∠FMP+∠FPM=∠AEF.（2）∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°.解析：（1）当点P在射线FC上移动时.∵AB∥CD.∴∠AEF+∠CFE=180°.又∵∠FMP+∠FPM+∠CFE=180°.∴∠FMP+∠FPM=∠AEF.（2）当点P在射线FD上移动时.∵AB∥CD.∴∠AEF=∠MFD.又∵∠FMP+∠FPM+∠CFE=180°.∴∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的性质.。

数学篇的一元二次方程或不等式，然后求其解.需要注意的是，求解后还得根据题目的实际情况确定适当的值.例3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分析：此题只涉及盈利的涨价与否问题，可以设一个未知数（设每千克应涨价x 元），涨价x 元以后，每千克盈利为（10+x ）（元），日销售减少量为x ×20=20x （千克），每天可售出量为（500-20x ）（千克）.此时每天的盈利可表示为（10+x ）×（500-20x ）.题目中指出使顾客得到实惠（即x 尽量取较小值），又要保证每天盈利6000元，所以可以转化为求满足（10+x ）×（500-20x ）≥6000条件的x 的最每千克盈利：10+x （元），日销售量减少：x ×20=20x （千克）日销售量为：500-20x （千克）据题意得（10+x ）（500-20x ）≥6000，解一元二次不等式得，5≤x ≤10.因为题目中要求“使顾客得到实惠”，所以x 应当尽量小，故而x =5.答：现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.点评：该题是一元二次方程与不等式的结合问题，设一个未知数x 即可，但用含有x 的式子表示其他量时容易出错，特别是涨价x 元后每千克盈利是10+x 元，而不是10x 元，一定要细心以避免出错.总之，列方程解应用题可以化逆向思维为正向思维，让解题更加容易.列方程解应用题的难点在于设未知数，以及如何用未知数表示其他量，再根据等量关系列出方程求解.相交线与平行线是平面几何的重点内容，是以后深入学习三角形、四边形等几何知识的基础.其中互余和互补的概念、平行线的性质与判定等都是考试中常考的重要内容.现对与相交线与平行线相关的常见考点进行归纳说明.考点一补角与余角的概念如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.例1（1）如图1，已知：线段AB ，延长线段AB 到C ，使AC ＝32AB ，反向延长线段AB到D ，使AD ＝2AB ，①请画出图形；②若AB ＝4，计算CD 的长度．（2）如图2，已知A 、O 、E 三点在同一条直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．①∠2和∠3互余吗？为什么？②∠3和∠4有什么关系，为什么？《相交线与平行线》的考点归纳青海西宁杜海清数苑纵横数学篇数苑纵横③∠3的补角是哪个角？若∠AOC ：∠COE ＝2：7，请计算这个补角的度数．图1图2解：（1）①画出图形，如图3：DABC图3②∵AC ＝32AB ，AB ＝4，∴BC ＝12AB ＝2，又∵AD ＝2AB ＝8，∴CD ＝AD +AB +BC ＝8+4+2＝14．（2）①∠2与∠3互余，∵∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝180°-（∠1+∠4）＝90°，即∠2与∠3互余，②∠3＝∠4，∵∠1+∠4＝90°，∠1＝∠2，由①∠2+∠3＝90°，即∠3＝∠4（等角的余角相等），③∠3的补角是∠AOD ，若∠AOC ：∠COE ＝2：7，又∵∠AOC +∠COE ＝180°，∴∠AOC ＝40°，∠COE ＝140°，又∵∠1＝∠2＝12∠AOC ＝20°，∴∠4＝90°-∠1＝70°（∠1与∠4互为余角），又∵∠AOD +∠4＝180°，即∠AOD ＝180°-∠4＝180°-70°＝110°．评注:本题考查了余角、补角和两点间的距离以及角与角之间的关系.解答这类题目时，我们要熟悉线段和角的概念.考点二对顶角的定义及其性质若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角互为对顶角.对顶但反过来，若∠1=∠3，则∠1和∠3不一定是对顶角.例2如图4所示，直线AB 交CD 于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ：∠BOE =4：1，则∠AOF 等于（）.A.130°B.120°C.110°D.100°解：设∠BOE =α，∵∠AOD ：∠BOE =4：1，∴∠AOD =4α，∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE =∠BOE =α,∴∠AOD +∠DOE +∠BOE =180°，∴4α+α+α=180°，∴α=30°，∴∠AOD =4α=120°，∴∠BOC =∠AOD =120°，∵OF 平分∠COB ，∴∠COF =12∠BOC =60°，∵∠AOC =∠BOD =2α=60°，∴∠AOF =∠AOC +∠COF =120°，故选B 项.评注:解本题的关键是找到角与角之间的关系，然后运用方程思想解题．考点三垂线的性质两条直线相交所成的角中，若有一个为直角，则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，这两条直线互相垂直的交点叫垂足.垂线具有如下性质：①一条线段有无数条垂线；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.例3在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使OC ⊥OD ，当∠AOC =30°时，∠BOD 的度数是（）．A.60°B.120°BAF E OCD图4数学篇数苑纵横确定，存在两种情况，画出图形，再分类讨论才能解题.O B AOBADDC C (1)(2)图5解：如图5(1)所示，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =120°，∴∠BOD =60°；如图5(2)，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =90°-∠AOC =60°，∴∠BOD =120°.故答案选D 项.评注:正确画出示意图，灵活运用分类讨论思想及垂线的性质，才能顺利解答此题.考点四平行线的性质在同一平面内，两条直线若没有公共点，则这两条直线必为平行线.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.平行线具有如下性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.例4如图6，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C =50°，则∠AED =（）.A.65°B.115°C.125°D.130°解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB =180°，∵∠C =50°，∴∠CAB =180°-50°=130°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB =65°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB +∠AED =180°，∴∠AED =180°-65°=115°，故选B 项．评注：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.考点五平行线的判定当两条直线被第三条直线所截，要判定这两条直线为平行线，可借助如下方法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②若同位角相等，则这两条直线平行；③若内错角相等，则这两条直线平行；④若同旁内角互补，则这两条直线平行.例5如图7所示，DE 、BE 分别为∠BDC ，∠DBA 的角平分线，且∠DEB =∠1+∠2.求证：（1）AB ∥CD ；（2）∠DEB =90°.D CABF E21图7证明：（1）以点E 为顶点，DE 为一边，在∠DEB 的内部作∠DEF =∠2.∵DE 为∠BDC 的平分线，∴∠2＝∠EDC ，∴∠FED =∠EDC ，∴EF ∥CD ，∵∠FEB =∠DEB -∠DEF =∠DEB -∠2，∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠FEB =∠1，∵∠1=∠ABE ，∴∠FEB =∠ABE ，∴EF ∥AB ，又∵EF ∥CD ，∴∠CDF ＋∠DFE =180°，∴∠CDF ＋∠FBA =180°，∴AB ∥CD ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠BDC +∠DBA =180°，又∵∠1=12∠DBA ，∠2＝12∠BDC ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠DEB =90°.评注：解答第（1）题时，平行线的性质和判定定理可以帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系；解答第（2）题时，我们要对条件进行综合分析，对结论进行转化.这是找寻思路、顺利解题的一般方法.622。

相交线与平行线知识点及主要题型汇总班级姓名使用时间01、对顶角与邻补角1、定义：①两条直线相交所组成的四个角中，只有公共顶点，没有公共边的两个角叫做。

既有公共顶点，又有公共边的两个角叫做。

②如下图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）③如图1所示，∠AOC的对顶角是，∠AOD的邻补角是。

2、性质：①对顶角，邻补角。

②如图1所示，∠AOD=100°，则∠BOC= °,∠BOD= °.③如图1所示，∠AOC+∠BOD =140°, 则∠BOD= °,∠BOC= °.④如图1所示，若∠BOC比∠AOC的两倍少30°，则∠BOD= °。

02、垂线1、垂线的定义：①当两条直线相交所成的四个角中有一个为时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．②如右图，已知∠1=40°，当∠2= °时，能使OA⊥OB.③关于两条相交直线，下列说法中不正确的有（）a、有一条角是直角，则两条直线互相垂直。

b、有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

c、四个角都相等，则两条直线互相垂直。

d、有一组邻补角相等，则两条直线互相垂直。

A、3个B、2个C、1个D、0个2、垂线的性质①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。

③如图，过C作C D⊥OA，垂足为点D，过C作CE⊥OB，交OA于E03、距离1、三种距离的定义①两点的距离：连接两点的线段的叫做两点的距离②点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离.③两条平行线间的距离：两条平行线中的一条上的一点到另一平行线的，叫做两条平行线间的距离。

2、说明①垂线是，作图时既要，又要标，垂线段是一条线段，作图时只需要标，两头要露头；②点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离.③平行线间的距离处处相等.3、练习：①如图1，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。