最新相交线与平行线单元复习小结

《相交线与平行线》知识点总结一: 相交线（1）相交线旳定义两条直线交于一点, 我们称这两条直线相交．相对旳, 我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成旳角中有特殊旳数量关系和位置关系旳有对顶角和邻补角两类.（3）在同一平面内, 两条直线旳位置关系有两种: 平行和相交（4）对顶角: 有一种公共顶点, 并且一种角旳两边分别是另一种角旳两边旳反向延长线, 具有这种位置关系旳两个角, 互为对顶角．∠1和∠3, ∠2和∠4是对顶角.（5）邻补角：只有一条公共边，它们旳另一边互为反向延长线，具有这种关系旳两个角，互为邻补角.如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角.（6）对顶角旳性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3, ∠2＝∠4）（7）邻补角旳性质：邻补角互补, 即和为180°．（如图∠1＋∠2＝180°）（8）邻补角、对顶角成对出现, 在相交直线中, 一种角旳邻补角有两个. 邻补角、对顶角都是相对与两个角而言, 是指旳两个角旳一种位置关系. 它们都是在两直线相交旳前提下形成旳。

二、垂线（1）、垂线旳定义: 当两条直线相交所成旳四个角中, 有一种角是直角时, 就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线旳垂线, 它们旳交点叫做垂足.如图, OD⊥AB, 垂足为O（2）、垂线旳性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意: “有且只有”中, “有”指“存在”, “只有”指“唯一”“过一点”旳点在直线上或直线外都可以。

（3）、垂线段: 从直线外一点引一条直线旳垂线, 这点和垂足之间旳线段叫做垂线段.（4）垂线段旳性质: 垂线段最短.对旳理解此性质, 垂线段最短, 指旳是从直线外一点到这条直线所作旳垂线段最短. 它是相对于这点与直线上其他各点旳连线而言.（如图, PA,PB,PC等线段中, PO最短）（4）、点到直线旳距离（如图, PO旳长）（1）点到直线旳距离：直线外一点到直线旳垂线段旳长度, 叫做点到直线旳距离．（2）点到直线旳距离是一种长度, 而不是一种图形, 也就是垂线段旳长度, 而不是垂线段．它只能量出或求出, 而不能说画出, 画出旳是垂线段这个图形．三、平行线1.在同一平面内, 两条直线旳位置关系有两种: 平行和相交.（1）平行线旳定义:在同一平面内,不相交旳两条直线叫平行线.记作: a∥b；读作: 直线a平行于直线b.（2）同一平面内, 两条直线旳位置关系: 平行或相交, 对于这一知识旳理解过程中要注意:①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说, 指旳是它们所在旳直线.（3）平行公理：通过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行.如图, 过点P只有直线a 与直线b 平行（4）平行公理中要精确理解“有且只有”旳含义．从作图旳角度说, 它是“能但只能画出一条”旳意思．（5）平行公理旳推论：假如两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行．如图, 假如a∥c, b∥c, 那么a∥c2.同位角、内错角、同旁内角（1）同位角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳同侧, 并且在第三条直线（截线）旳同旁, 则这样一对角叫做同位角.例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6.（2）内错角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳之间, 并且在第三条直线（截线）旳两旁, 则这样一对角叫做内错角. 例如∠3和∠5, ∠4和∠6.（3）同旁内角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳之间, 并且在第三条直线（截线）旳同旁, 则这样一对角叫做同旁内角。

相交线和平行线知识点总结在平面内不重叠旳两条直线相交与平行旳两种位置关系: 相交与平行。

在初中, 我们会愈加深入地研究角度旳关系。

角度旳关系和直线旳位置关系亲密有关。

5.1相交线一、邻补角与对顶角有关测试:（1） .若三条直线交于一点, 则共有对顶角(平角除外)( )A.6对B.5对C.4对D.3对（2）下列各图中, 与是对顶角旳是( ).直线AB.CD相交于点O, ⑴假如, 那么；⑵假如旳2倍大, 那么二、两条直线相交旳特殊位置: 垂线⑴定义, 当两条直线相交所成旳四个角中, 有一种角是直角时, 就说这两条直线互相垂直, 其中旳一条直线叫做另一条直线旳垂线, 它们旳交点叫做垂足。

符号语言记作:如图所示：AB⊥CD, 垂足为O⑵垂线性质1: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点旳所有线段中, 垂线段最短。

简称：垂线段最短。

有关测试:（1）如图, 点O 是直线CD 上一点, , , 求旳度数．（2）三角形ABC 中, , cm ,cm,cm.那么点B 到直线 AC 旳距离是___________, A.B 两点旳距离是________.怎样理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线旳距离”这些相近而又相异旳概念分析它们旳联络与区别⑴垂线与垂线段 区别: 垂线是一条直线, 不可度量长度；垂线段是一条线段, 可以度量长度。

联络: 具有垂直于已知直线旳共同特性。

(垂直旳性质) ⑵两点间距离与点到直线旳距离 区别: 两点间旳距离是点与点之间, 点到直线旳距离是点与直线之间。

联络: 都是线段旳长度；点到直线旳距离是特殊旳两点(即已知点与垂足)间距离。

⑶线段与距离 距离是线段旳长度, 是一种量；线段是一种图形, 它们之间不能等同。

三. 平行线1.平行线旳概念: 同一平面内两条直线旳位置关系有两种 1.相交;2.平行 在同一平面内, 不相交旳两条直线叫做平行线, 直线与直线互相平行, 记作∥。

第五章 相交线与平行线一．知识框架 二．知识梳理 1.邻补角互补注意：（1）邻补角指明了位置关系，又指明了数量关系，“邻”指位置上的相邻；“补”指两个角的和为180°； （2）邻补角的条件：①有公共顶点；②其中一边公共；③另一组边互为反向延长线； （3）邻补角是成对的 2.对顶角相等注意： （1）定义：有一个公共顶点，且有一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线（2）性质：对顶角相等3.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 5.三线八角概念两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角.内错角与同旁内角. 如图，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方 叫做同位角（位置相同）；（一边共线）②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）； ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角. 6.如何判别三线八角判别同位角.内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.模型：同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型.ABC DO abl1 2 3 45 6 7 87.平行线的概念及公理一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作“a∥b”平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行8.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

相交线与平行线知识点总结在初中数学的几何部分，相交线与平行线是非常基础且重要的知识点。

理解和掌握这些内容，对于后续更复杂的几何学习有着至关重要的作用。

下面就让我们一起来详细梳理一下相交线与平行线的相关知识点。

一、相交线1、邻补角两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

邻补角的特点是：它们的和为 180°。

例如，在图中，∠AOC 与∠AOD 就是一组邻补角。

2、对顶角一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

对顶角的性质是：对顶角相等。

比如，∠AOC 与∠BOD 就是一对对顶角。

3、垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质包括：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

二、平行线1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行线的表示方法通常用“／／”表示平行，例如，直线 a 与直线 b 平行，可以记作 a/／b 。

3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

例如，若 a/／b，则∠1 ＝∠2 。

（2）两直线平行，内错角相等。

比如，若 a/／b，则∠2 ＝∠3 。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

即若 a/／b，则∠3 ＋∠4 ＝180°。

4、平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

5、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

6、平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

三、平行线的证明在证明两条直线平行或者角的关系时，常常需要综合运用平行线的性质和判定。

例如，已知某些角的关系，要证明两条直线平行，就需要根据角的关系找到对应的判定定理；反之，如果已知两条直线平行，要证明角的关系，就需要运用平行线的性质。

的一元二次方程或不等式，然后求其解.需要注意的是，求解后还得根据题目的实际情况确定适当的值.例3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分析：此题只涉及盈利的涨价与否问题，可以设一个未知数（设每千克应涨价x元），涨价x元以后，每千克盈利为（10+x）（元），日销售减少量为x×20=20x（千克），每天可售出量为（500-20x）（千克）.此时每天的盈利可表示为（10+x）×（500-20x）.题目中指出使顾客得到实惠（即x尽量取较小值），又要保证每天盈利6000元，所以可以转化为求满足（10+x）×（500-20x）≥6000条件的x的最小值问题.解：设每千克应涨价x元，由题意可得每千克盈利：10+x（元），日销售量减少：x×20=20x（千克）日销售量为：500-20x（千克）据题意得（10+x）（500-20x）≥6000，解一元二次不等式得，5≤x≤10.因为题目中要求“使顾客得到实惠”，所以x应当尽量小，故而x=5.答：现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.点评：该题是一元二次方程与不等式的结合问题，设一个未知数x即可，但用含有x 的式子表示其他量时容易出错，特别是涨价x元后每千克盈利是10+x元，而不是10x 元，一定要细心以避免出错.总之，列方程解应用题可以化逆向思维为正向思维，让解题更加容易.列方程解应用题的难点在于设未知数，以及如何用未知数表示其他量，再根据等量关系列出方程求解.最后还要重视方程解完后的检验环节，这样才能确保解题的准确率．相交线与平行线是平面几何的重点内容，是以后深入学习三角形、四边形等几何知识的基础.其中互余和互补的概念、平行线的性质与判定等都是考试中常考的重要内容.现对与相交线与平行线相关的常见考点进行归纳说明.考点一补角与余角的概念如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.例1（1）如图1，已知：线段AB，延长线段AB到C，使AC＝32AB，反向延长线段AB到D，使AD＝2AB，①请画出图形；②若AB＝4，计算CD的长度．（2）如图2，已知A、O、E三点在同一条直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．①∠2和∠3互余吗？为什么？②∠3和∠4有什么关系，为什么？《相交线与平行线》的考点归纳③∠3的补角是哪个角？若∠AOC：∠COE＝2：7，请计算这个补角的度数．图1图2解：（1）①画出图形，如图3：D A B C图3②∵AC＝32AB，AB＝4，∴BC＝12AB＝2，又∵AD＝2AB＝8，∴CD＝AD+AB+BC＝8+4+2＝14．（2）①∠2与∠3互余，∵∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝180°-（∠1+∠4）＝90°，即∠2与∠3互余，②∠3＝∠4，∵∠1+∠4＝90°，∠1＝∠2，由①∠2+∠3＝90°，即∠3＝∠4（等角的余角相等），③∠3的补角是∠AOD，若∠AOC：∠COE＝2：7，又∵∠AOC+∠COE＝180°，∴∠AOC＝40°，∠COE＝140°，又∵∠1＝∠2＝12∠AOC＝20°，∴∠4＝90°-∠1＝70°（∠1与∠4互为余角），又∵∠AOD+∠4＝180°，即∠AOD＝180°-∠4＝180°-70°＝110°．评注:本题考查了余角、补角和两点间的距离以及角与角之间的关系.解答这类题目时，我们要熟悉线段和角的概念.考点二对顶角的定义及其性质若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角互为对顶角.对顶角是两条直线相交所成的角，它们是成对出现的，若∠1和∠3为对顶角，则必有∠1=∠3；但反过来，若∠1=∠3，则∠1和∠3不一定是对顶角.例2如图4所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF等于（）.A.130°B.120°C.110°D.100°解：设∠BOE=α，∵∠AOD：∠BOE=4：1，∴∠AOD=4α，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=α,∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴4α+α+α=180°，∴α=30°，∴∠AOD=4α=120°，∴∠BOC=∠AOD=120°，∵OF平分∠COB，∴∠COF=12∠BOC=60°，∵∠AOC=∠BOD=2α=60°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=120°，故选B项.评注:解本题的关键是找到角与角之间的关系，然后运用方程思想解题．考点三垂线的性质两条直线相交所成的角中，若有一个为直角，则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，这两条直线互相垂直的交点叫垂足.垂线具有如下性质：①一条线段有无数条垂线；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.例3在直线AB上任取一点O，过点O 作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）．A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°分析：本题没有图形，OC、OD的位置不BAFEOCD图4确定，存在两种情况，画出图形，再分类讨论才能解题.O B AOBADDC C (1)(2)图5解：如图5(1)所示，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =120°，∴∠BOD =60°；如图5(2)，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =90°-∠AOC =60°，∴∠BOD =120°.故答案选D 项.评注:正确画出示意图，灵活运用分类讨论思想及垂线的性质，才能顺利解答此题.考点四平行线的性质在同一平面内，两条直线若没有公共点，则这两条直线必为平行线.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.平行线具有如下性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.例4如图6，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C =50°，则∠AED =（）.A.65°B.115°C.125°D.130°解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB =180°，∵∠C =50°，∴∠CAB =180°-50°=130°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB =65°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB +∠AED =180°，∴∠AED =180°-65°=115°，故选B 项．评注：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.考点五平行线的判定当两条直线被第三条直线所截，要判定这两条直线为平行线，可借助如下方法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②若同位角相等，则这两条直线平行；③若内错角相等，则这两条直线平行；④若同旁内角互补，则这两条直线平行.例5如图7所示，DE 、BE 分别为∠BDC ，∠DBA 的角平分线，且∠DEB =∠1+∠2.求证：（1）AB ∥CD ；（2）∠DEB =90°.D CABF E21图7证明：（1）以点E 为顶点，DE 为一边，在∠DEB 的内部作∠DEF =∠2.∵DE 为∠BDC 的平分线，∴∠2＝∠EDC ，∴∠FED =∠EDC ，∴EF ∥CD ，∵∠FEB =∠DEB -∠DEF =∠DEB -∠2，∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠FEB =∠1，∵∠1=∠ABE ，∴∠FEB =∠ABE ，∴EF ∥AB ，又∵EF ∥CD ，∴∠CDF ＋∠DFE =180°，∴∠CDF ＋∠FBA =180°，∴AB ∥CD ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠BDC +∠DBA =180°，又∵∠1=12∠DBA ，∠2＝12∠BDC ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠DEB =90°.评注：解答第（1）题时，平行线的性质和判定定理可以帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系；解答第（2）题时，我们要对条件进行综合分析，对结论进行转化.这是找寻思路、顺利解题的一般方法.6。

人教版七年级数学下册相交线与平行线单元系统总结与复习【归纳拓展1】两条直线相交包括垂直和斜交两种情形.相交时形成了两对对顶角和四对邻补角.其中垂直是相交的特殊情况，它将一个周角分成了四个直角.【归纳拓展2】点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键.【归纳拓展3】平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直思维导图理解记忆线平行.【归纳拓展4】平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连线段平行（或共线）且相等.【归纳拓展5】利用方程解决问题,是几何与代数知识相结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便.在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.考点1：相交线【例题1】如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点,∠AOE=65°,求∠DOF的度数.考点2：点到直线的距离【例题2】如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条考点3：平行线的性质和判定【例题3】(1)如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.(2)已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=180°,求证:EF//BC.考点4：平移【例题4】如图所示,下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是（）考点5：相交线中的方程思想【例题5】如图所示，三条直线交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.DCBA参考答案考点1：【答案】25°【解析】∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.∵∠AOE=65°,∴∠COE=25°又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等）∴∠DOF=25°.考点2：【答案】B【解析】从图中可以看到共有三条，A到BC的垂线段AD,B到AD的垂线段BD,C到AD的垂线段CD.考点3：【答案】见解析。

平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。

平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。

若两条直线平行，则可表示为l，m。

平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。

2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。

这一性质被称为垂直平行线定理。

3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。

4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。

二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。

2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。

3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。

4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。

三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。

相交线两两相交于一点，称之为交点。

相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。

2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。

3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。

四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。

2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。

3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。

4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。

五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。

2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。

3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。

4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。

在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。

5.5 相交线、平行线复习小结·教学设计教学目标1．知识储备：理解对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的概念，能在图形中正确地辨认它们；掌握垂线，点到直线的距离的概念，会用三角板或量角器画直线的垂线，了解垂线段最短的性质，会度量点到直线的距离；了解平行线的概念，掌握平行公理及其推论，平行线的判定、性质，会用三角板和直尺画各种位置的直线的平行线；了解命题的题设和结论，把命题改成“如果……那么……”的形式；2．能力培养点：熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号表示出来，也能用语言说明几何图形；训练学生观察图形和利用图形解决问题的能力；3．情感体验点：使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的教育．教学重点难点1．相交线、平行线的性质与判定，命题证明的步骤、格式；2．本章知识点的综合理解与应用．教学方法由题组引发概念，再由题组巩固概念与性质等知识点．教学准备教师准备三角板、演示文稿．教学过程一、引发概念组题．师：请同学们看一组题，通过这一组题我们来归纳本章的知识结构．1．平面内两直线的位置关系有________种，即________和________．2．如图5—5—1，直线a和b相交，∠3和∠2叫________角，∠3和∠2的数量关系是________；∠1和∠2叫________角，它们的数量关系是________．3．如图5—5—2，直线AB、CD交于O，且∠AOC＝90°，则直线AB与CD的位置关系是________，几何符号表示为AB________CD．根据垂直定义∠AOC＝90°时，则AB________CD；若AB⊥CD，则∠AOC＝________度．4．过直线外一点有且只有________条直线垂直于已知直线．5．如图5—5—3，PO ⊥AB ，则P A 、PO 、PB 三条线段中最短线段为_________，根据是_________．6．如图5—5—4，直线a 、b 被直线c 所截，则∠1与∠2叫_______角；∠2与∠3叫_________角；∠2与∠4叫_________角．7．若a ∥b ，c ∥b ，则有结论___________．8．经过直线外一点有且只有_________条直线与已知直线平行．9．如图5—5—5，因为 ∠1＝∠2，所以 a ∥b ．根据______________________．因为 ∠2＝∠3，所以 a ∥b ．根据______________________．因为 ∠2＋∠4＝180°，所以 a ∥b ．根据______________________．10．如图5—5—6，因为 a ∥b ，所以 ∠3＝∠2．根据______________________．因为 a ∥b ，所以 ∠2＝∠1．根据______________________．因为a∥b，所以∠2＋∠4＝180°．根据______________________．11．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式为__________，其中题设为____________，结论为____________．点评：这一组题都是直接体现基本概念的题目，让学生完成题目的同时回忆本章的有关概念、性质及判定等．二、知识结构．点评：引导学生整理结构图，再与教材对照．三、例题选讲．例1 已知：如图5—5—7，直线．a∥b，c∥d，∠1＝100°，求∠2，∠3的度数．解：因为c∥d（已知），所以∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）．因为∠3＝∠4（对顶角相等），所以∠1＝∠3（等量代换）．因为∠1＝100°（已知），所以∠3＝100°（等量代换）．因为a∥b（已知），所以∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠2＝180°－100°＝80°．点评：教学中要严格要求几何解答题的推理格式变式练习：1．如图5—5—8，AB∥CD，AD∥BC，能否推出∠1＝∠2，∠3＝∠4．要求学生写出已知、求证和证明过程．2．如图5—5—9，AB∥CD，AD∥BC，能否推出∠1＋∠3＝180°．要求学生写出已知、求证和证明过程．点评：要引导学生认清图形，明确哪两条平行线可推出相应的结论．例2 如图5—5—11，已知AB∥EF，∠BED＝∠B＋∠D，求证：AB∥CD．分析：要证AB∥CD，需证EF∥CD，需证∠2＝∠D，需证∠1＝∠B．以上可由AB∥EF一步一步推出．证明：因为AB∥EF（已知），所以∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）．Array因为∠BED＝∠B＋∠D（已知），因为∠BED＝∠1＋∠2（已知），所以∠2＝∠D（等量代换），所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．又因为AB∥EF（已知），所以AB∥CD（平行公理推论）．教师进一步引导学生，能否直接证明AB∥CD，思路是看能否找到相等的内错角和同位角、或同旁内角互补，提示作辅助线．思路：要证AB∥CD，需证∠1＝∠D，需证∠D＝∠2，需证∠B＝∠3．证明：如图5—5—12，延长DE交AB于G因为AB∥EF（已知），所以∠B＝∠3，∠1＝2（两直线平行，同位角、内错角相等）．又因为∠BED＝∠2＋∠3＝∠B＋∠D（已知），所以∠2＝∠D（等量代换），所以∠1＝∠D（等量代换）．所以AB∥CD（内错角相等，两条直线平行）．师：能否利用“同位角相等，两条直线平行”来证明呢？提示学生做出同位角，如图5—5—13，证出∠1＝∠D即可．师：能否通过证明“同旁内角互补”，得到AB∥CD？学生自行完成．点评：初学几何，就使学生感受一题多解的奥妙，提高学习的兴趣．四、综合应用，巩固练习．1．已知：如图5—5—14，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，C M平分∠DCE，求：∠4的度数．Array解：因为∠3＝∠6（对顶角相等），∠1＋∠3＝180°（已知），所以∠1＋∠6＝180°（等量代换），所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．因为CD⊥AD（已知），所以∠7＝90°（垂直定义）．因为 AD ∥BC （已知），所以 ∠7＋∠DCE ＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以 ∠DCE ＝90°．因为 CM 平分工DCE （已知），所以 ∠4＝21∠DCE ＝45°（角平分线定义）． 2．已知：如图5—5—15，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A ，求证：BE ∥CF ． 证明：因为 ∠3＝∠4（已知），所以 AE ∥BC （内错角相等，两直线平行）．所以 ∠FDC ＝∠5（两直线平行，内错角相等）．因为 ∠5＝∠A （已知），所以 ∠FDC ＝∠A （等量代换），所以 DC ∥AB （同位角相等，两直线平行），所以 ∠5＋∠2＋∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为 ∠1＝∠2（已知），所以 ∠1＋∠5＋∠3＝180°（等量代换），所以 BE ∥FC （同旁内角互补，两直线平行）．3．已知：如图5—5—16，DC ∥AB ，∠ABD ＋∠4＝90°求证：AD ⊥DB ．证明：因为 DC ∥AB （已知），所以 ∠CDB ＝∠DBA （两直线平行，内错角相等）．∠CDB ＋∠ADB ＋∠A ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以 ∠DBA ＋∠ADB ＋∠A ＝180°（等量代换）．因为 ∠ABD ＋∠A ＝90°（已知），所以 ∠ADB ＋90°＝180°（等量代换），所以∠ADB＝90°（等式性质），所以AD⊥DB（垂直定义）．五、课堂小结．全章知识结构图．六、课外练习．p29—41复习题5 1—3．评析：本节课是平面几何入门后的第一次复习小结课，作者在教案中，设计了引发概念题组，构建知识结构图，综合例题选讲和变式训练四个教学环节，这对于初学几何的七年级学生来说，是非常及时和必要的．相信该课上完后，将有力地促使他们系统地掌握知识，初步掌握数学的论说形式，领略到一题多解的魅力，提高数学学习的兴趣．。