2011年高考数学一轮精品复习课件：第7章《立体几何》——空间几何体的表面积与体积

跟踪训练 2:(1)(2017·云南省第二次统一检测)在棱长为 6 的正方体 ABCD-A′B′C′D
′中,P,Q 是直线 DD′上的两个动点.如果 PQ=2,那么三棱锥 P-BCQ 的体积等于
;
解析:(1)VP-BCQ=VB-PQC= 1 ×S△PQC×BC= 1 × 1 ×2×6×6=12,
3
又∠BDC=90°.
DB=DA=DC=1,
所以 AB=BC=CA= 2 .
从而 S =S =S = △DAB △DBC △DCA 1 ×1×1= 1 ,
2
2
S = △ABC 1 × 2 × 2 ×sin 60°= 3 .
2
2
所以三棱锥 D-ABC 的表面积 S= 1 ×3+ 3 = 3 3 .
2
(3)内切球:球心是正四面体的中心;半径 r= 6 a(a 为正四面体的棱长). 12
双基自测
1.圆柱的侧面展开图是边长为6π 和4π 的矩形,则圆柱的表面积为( C )
(A)6π (4π +3)
(B)8π (3π +1)
(C)6π (4π +3)或8π (3π +1) (D)6π (4π +1)或8π (3π +2)
图,则该几何体的表面积为
.
解析:(2)该几何体是一个长方体和一个三棱柱拼接而成,其直观图如图所示,其表
面积为 3 (3×3+3×4)+2×3×4+ 3 ×5=63.
2
2
答案:(2)63
反思归纳 (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面几何问题, 即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、 台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表 面积.注意衔接部分的处理.

1．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )
A．12π
B．332π
C．8π
D．4π
1．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )
A．12π
B．332π
C．8π
D．4π
2．(易错题)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 _________． 解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱 和 一 个 棱 台 组 成 ， 其 表 面 积 S ＝ 3×4×2 ＋ 2×2×2＋4×2 2×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2 ＝72＋16 2． 答案：72＋16 2
②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a． (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R， 则 2R＝ a2＋b2＋c2． (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1．
必明易错 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及 几何体的结构特征认识不准易导致失误． 3．易混侧面积与表面积的概念．
V＝43πR3
2．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各__面__面__积__之__和__． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是___矩__形____、____扇__形___、 ___扇__环____；它们的表面积等于___侧__面__积__与底面面积之和．
二级结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；

截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭
圆12/的11/20一21 部分．故选 C.
答案：C
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突破点二 空间几何体的表面积与体积
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抓牢双基·自学(zìxué)回扣
[基本知识]
空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
表面积 再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 12/11/2021
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考法二 空间几何体的体积
[例 2] (1)如图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长 均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1 的体积为 ( )
3 A. 12
3 B. 4
6 C. 12
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二、填空题 1．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正
确的序号)
答案：③⑤
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2．下列命题中正确的是________． ①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥； ②棱锥的高线可能在几何体之外； ③仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台； ④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥． 答案：②
误的，只需举出一个反例即可
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[针对训练]
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个
几何体一定是
()
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．

积．12/8/2021
搞清组合体构成部分，分别求其表面
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解析 由三视图可得圆锥的母线长为 22＋2 32＝4， ∴S 圆锥侧＝π×2×4＝8π.又 S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S ＝ 圆柱底 4π，∴该几何体的表面积为 8π＋16π＋4π＝28π.故选 C.
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解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个 圆柱的底面半径为 2 cm，高为 4 cm；另一个圆柱的底面半 径为 3 cm，高为 2 cm.则零件的体积 V1＝π×22×4＋ π×32×2 ＝ 34π(cm3) ． 而 毛 坯 的 体 积 V ＝ π×32×6 ＝ 54π(cm3)，因此切削掉部分的体积 V2＝V－V1＝54π－34π＝ 20π(cm3)，所以VV2＝5240ππ＝1207.故选 C.
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝
12－122＝
3 2.
∴圆柱的体积为 V＝πr2h＝34π×1＝34π.故选 B.
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2．正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，
16π 侧棱长为 2，则球 O 的表面积为____3____．
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A．110 B．116 C．118 D．120 此题应采用割补法求解．
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解析 如图，过点 A 作 AP⊥CD，AM⊥EF，过点 B 作 BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM， QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底 面积为12×10×3＝15.棱柱的高为 8，体积 V＝15×8＝120. 故选 D.