2020年高考数学空间几何体解答题专练
1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为
棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C－BEP的体积．
2.如图，在直三棱柱ABC－A
B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。
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（1）求证：PQ//平面A1BC1；
（2）求证：BC⊥PQ。
3.如图，在直三棱柱ABC－A
B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：
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（1）DE∥平面B1BCC1；
（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．
4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC，
CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．
（1）求证：OM∥平面PAD；
（2）求证：OM⊥平面PCD．
5.如图，在直四棱柱ABCD–A
B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．
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（1）求证：AC1∥平面PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
6.如图，直四棱柱ABCD–A
B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，
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BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中
点．
（1）证明：ED⊥PE；
（2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，，
M是PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACM；
（2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB．
（1）求证：AQ⊥CD；
（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
（3）求二面角C-AQ-D的余弦值．
10.如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段
PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．
（1）求证：FG∥平面EBO；
（2）求证：PA⊥BE．
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平
面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E
为PC的中点．
（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）求直线DE与平面PAC所成角的正弦值；
（3）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
13.如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直
径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.
(1)证明:GH∥平面ACD;
(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.
14.如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，
O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
15.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△SAB是等边三角形，∠ABC=120°，
SD=3，M，N分别是SC，CD的中点。
(1)求证：CD⊥平面BMN；
(2)求直线SA与平面SCD所成角的正弦值。
16.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC与BD交于O点．
（1）求证：FO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．
17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在
PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E﹣PC﹣A的正弦值．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB=AD=1,AB//CD,AB⊥AD，点E为PC的中点.
平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形.
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）若二面角A-PB-C的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值.
参考答案1.解：
2.解：
3.解：
4.解：
5.解：
（1）连接AC交BD于O点，连接OP，
因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，
所以O点是AC的中点，所以AO=OC．
又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，
在△ACC1中，，所以AC1∥OP，
又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，所以AC1∥平面PBD．6分
（2）连接A1C1．
因为ABCD–A1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，
又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，
因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．
6.解：
