武汉大学大一高数下五年期末考试试题

.

. 一、填空题（共21分 每小题3分）

1．曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz．

2．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2．

3．设函数22232),,(zyxzyxf，则)1,1,1(gradf}6,4,2{．

4．设级数1nnu收敛，则nnulim0．

5．设周期函数在一个周期内的表达式为,0,10,0)(xxxxf 则它的傅里叶级数在x处收敛于21．

6．全微分方程0ddyxxy的通解为 Cxy．

7．写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*．

二、解答题（共18分 每小题6分）

1．求过点)1,2,1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程．

解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin (4分)

所求平面方程为 032zyx (6分)

2．将积分vzyxfd),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面

)(222yxz及22yxz所围成的区域．

解： 20 ,10 ,2 :2rrzr (3分) .

. vzyxfd),,(221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr (6分)

3．计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22yxD

解 2020dd2rreIr20220)(dd212rer202d221re)1(4e

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时）

专业班级 学号_______________ 姓名

一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a，试写出此微分方程及通解。

（8分）

二、 设幂级数∑∞

=−

0)1(

nn

nxa

在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。

（8分）

三、 求曲面323

=+xzyx

在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分）

四、 设)(,0xfx>

为连续可微函数，且2)1(=f

，对0>x

的任一闭曲线L，有

0)(43

=+∫

Ldyxxfydxx

，求)(xf

。（10分）

五、 设曲线L（起点为A，终点为B

）在极坐标下的方程为)

36(,2sinπ

θπ

θ≤≤=r

，

其中θ=

6π

对应起点A，

3π

θ=

对应终点B，试计算∫+−

Lxdyydx

。（10分）

六、 设空间闭区域Ω

由曲面222

yxaz−−=

与平面0=z

围成，其中0>a

，Σ

为Ω

的

表面外侧，且假定Ω

的体积V已知，计算：

∫∫

Σ=+−.)1(2222

dxdyxyzzdzdxzxydydzyzx

。（10分）

七、 函数),(yxzz=由0),(=

zy

yx

F

所确定，F具有连续的一阶偏导数，求dz 。（12分）

八、 计算∫∫∫

Ω+,)(22

dxdydzyx

其中Ω

是由平面z =2与曲面222

2zyx=+

所围成的闭

区域。（12分）

九、 已知级数∑∞

=1nnU

的部分和arctgnS

n=

，试写出该级数，并求其和，且判断级数

∑∞

=1nntgU

的敛散性。（12分）

十、 设)(xf

连续，证明∫∫∫

−−=−A

A

DdttAtfdxdyyxf|)|)(()(

，其中A为正常数。D：

2||,

2||A

yA

x≤≤

。（8分）

第 1 页 （共 10 页） 班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批：

----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 -------------------------------------------------------

（答题不能超出密封线） 20 ∼20 学年第二学期 《高等数学二》科目第十、十一章测试题

闭卷考试；时间120分钟；可以使用没有记忆功能的普通计算器：是（否）

使用班级（老师填写）：

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分

得 分

阅卷人

一、单项选择题（14题选10题，每题2分，共20分）

1.空间直角坐标系中，方程1941222zyx所表示的封闭几何体的体积为( )

A.364 B.2 C.4 D.8

2.已知}94),({22yxyxD，则dyxD)(=( )

A. B.4 C.0 D.16

3.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，其中L取正向，函数(,)Pxy，(,)Qxy在D上具有一阶连续偏导数，则LQdxPdy=( )。

A.()DQPdxdyxy B.()DPQdxdyxy

C.()DQPdxdyyx D.()DPQdxdyyx

武汉2023-2024学年度下学期期末考试

高一数学试卷

（答案在最后）

命题教师：

考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若复数z

满足(2i)3iz

，则z

（）

A.1iB.1iC.1iD.1i

【答案】A

【解析】

【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解.

【详解】因为(2i)3iz，所以3i(3i)(2i)

1i

2i41z



，所以1iz.

故选：A

2.△ABC中，60A，53BC，52AC，则角C的大小为（）

A.75B.45C.135D.45或135

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理可得2

sin

2B，即可求解45B

，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得

sinsinBCAC

AB,故3

52

2

2

sin

253B

,

由于60A，故0120B,故45B

，

18075CAB,

故选：A

3.已知数据

1x

，

2x

，L

，

9x

的方差为25，则数据

131x

，

231x

，L

，

931x

的标准差为（）

A.25B.75C.15D.53

【答案】C

【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.

【详解】因为数据

1x

，

2x

，L

，

9x

的方差为25，

所以另一组数据

131x

，

231x

，L

，

931x

的方差为2325225

，

故所求的标准差为22515.

故选：C

4.在正方形ABCD中，M是BC的中点．若ACAMBD

，则

的值为（）A.4

3B.5

3C.15

8D.2

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.

【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，