线性系统理论第四章 线性系统的能控性和能观测性

第4章 控制系统的能控性和能观性

第1节 能控性和能观性的定义

◆设线性连续时变系统为

()()xAtxBtu

()yCtx

如果在[ftt,0]上，对任意初始状态00)(xtx，必能找到控制作用()ut，能使)(tx由0x转移到0)(ftx，则称系统在0t时刻是状态完全能控的，简称系统能控。

如果由[ftt,0]上的)ty（，能惟一地确定0t时刻的初始状态00)(xtx，则称系统在0t时刻是状态完全能观的，简称系统能观。 注意：

能控性描述入)(tu支配状态)(tx的能力，能观性描述)(ty反映)(tx的能力。

能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。

◆线性定常连续系统

xAxBu

yCx

的能控性和能观性与0t无关，常取00t。

对线性定常系统，能控性实质上是描述)(tu支配模态(1,2,,)itein的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是)(ty反映模态(1,2,,)itein的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。

第2节 线性时变系统的能控性能观性判据

1、格拉姆矩阵判据

n阶线性时变连续系统((),(),())SAtBtCt在0t时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian）矩阵

0000(,)(,)()()(,)dftttCftWttttBtBtttt

满秩；在0t时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵

0000(,)(,)()()(,)dftttOftWttttCtCtttt

满秩。

证明：

1）能控性判据证明 ◆充分性证明。

假设),(0fCttW满秩，则),(01fcttW存在。

用构造法。对任意的初始状态0()xt，系统的状态解为

000()()(,)(,)(()dttxttButtxt）

]d)((),()()[,(0000uBttxtttt）

实 验 报 告

课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日

专业班级 学号 同组人

实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现

评分

批阅教师签字

一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；

（b）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23sssassG，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c）已知系统矩阵为2101013333.06667.10666.6A，110B，201C，判别系统的能控性与能观测性；

（d）求系统1827101)(23sssssG的最小实现。

（2）稳定性

（a）代数法稳定性判据

已知单位反馈系统的开环传递函数为：)20)(1()2(100)(sssssG，试对系统闭环判别其稳定性

（b）根轨迹法判断系统稳定性

已知一个单位负反馈系统开环传递函数为)22)(6)(5()3()(2ssssssksG，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

ssssGssssG457.2)(,457.2)(232231

线性系统的可控性和可观性

摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性

Linear system controllability and observability

Hou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin Huan

Abstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts

of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form

of linear system controllability and observability of the standard normal form, and

the system controllability and observability criterion for a detailed description.

This study is beneficial to the linear system controllability and observability of

knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性

第四章 线性控制系统的能控性和能观性

在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。

能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。4-1 线性连续定常系统的能控性

定义 对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x

+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []

f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别

4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输⼊系统 具有约旦标准型系统

bu x x

+Λ=

=Λn λλλλ

0000000

00

0000321

n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x

+=

=++n m m J λλλλλλ

0000000000000

001000

00000121

1

11