《概率论》计算与证明题
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第三章 随机变量与分布函数
1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p
或p−1
向右或向左移动一格，若该质点在时刻
0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以
nS
表示时间n时
质点的位置）。
2、设ξ
为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ
的概率分布。
3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(Nk
Nc
kfL==
（2）,,2,1,
!)(L==k
kckfkλ
0>λ
。
4、证明函数)(
21
)(||
∞<<−∞=−
xexfx
是一个密度函数。
5、若ξ
的分布函数为N（10，4），求ξ
落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若ξ
的分布函数为N（5，4），求a使：（1）90.0}{=
；（2）01.0}|5{|=>−aPξ
。
7、设}{)(xPxF≤=ξ
，试证)(xF
具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F
1)(=+∞F
。
8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{
12xPxP
，则)(1}{
21βαξ+−≥≤≤xxP
。
9、设随机变量ξ
取值于[0，1]，若}{yxP<≤ξ
只与长度xy−
有关（对一切10≤≤≤yx
），试证ξ
服
从[0，1]均匀分布。
10、若存在Θ
上的实值函数)(θQ
及)(θD
以及)(xT
及)(xS
，使
)}()()()(exp{)(xSDxTQxf++=θθ
θ，
则称},{Θ∈θ
θf
是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(2
0σmN
，已知
0m
，关于参数σ
；
（2）正态分布),(2
00σmN
，已知
0σ
，关于参数m
；（3）普阿松分布),(λkp
关于λ
都是一个单参数
的指数族。
但],0[θ
上的均匀分布，关于θ
不是一个单参数的指数族。
11、试证)2(22
),(cybxyax
keyxf++−
=
为密度函数的充要条件为,0,0,02
1 概率统计
通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：
X
0
1 2 3 4 5
P 136 112 19 13 19 13
于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.
考点1：二点分布
1.如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p 1p
其中01p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生
婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲
解两点分布，让学生从直观上理解二点分布．
屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩
下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的
挑选一个撞过去，那么成功率就是13.随机变量X为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败定义为0，则X的分布列满足二点分布．
X 1 0
P 13 23 知识点睛
543210PX
2 2.二点分布的期望与方差：
若随机变量X服从参数为p的二点分布，则
101EXppp；221011DXpppppp
【教师备案】二点分布严格定义是01分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是1pp，由均值不等式很容易得出当12p的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的．
1本质:随机变量即为定义在上的一个单值函数.第二章随机变量及其概率分布
1.定义设,若对其中每一个基本事件都有
唯一的实数与之对应,则称
为随机变量, 或记为X.Ωω
)(ω
X
)(ω
X
Ω§1 随机变量及其分布函数
.,,,,ζηξ
YX
其他表示随机变量的符号:例2某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客
在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间.
ω候车时间
Y [0, 10]E
1 :掷硬币
⎩⎨⎧
=
tail 0head 1
X例1
二、随机变量的分布函数
定义设X是随机变量, x 任意实数,则称
)()(xXPxF≤=
为X的分布函数.分布函数可以表示X在任何区间的概率
比如:)(
1xF)()(xXPxF≤=
)()(
12xFxF−=)(1
2xF−=>)(
2xXP=≤)(
1xXP
=≤<)(
21xXxP=≤−)(1
2xXP
)()(
12xXPxXP≤−≤=)]()[(
12xXxXP≤−≤
2.对任意实数有分布函数的性质
.1)()(0 .1≤≤=≤xXPxF)()(xXPxF≤=
).()()(
1221xFxFxXxP−=≤<)(,
2121xxxx<
4. F(x)是右连续的函数,即
)(xF=Ω)(P
.0=+∞)( .3F)(limxF
x+∞→
=≤=
+∞→)(limxXP
x,1
)(lim)(xFF
x−∞→=−∞
=≤=
−∞→)(limxXP
x=)(φ
P
=+)0(xF=
+
→)(limtF
xt
25. F(x)是单调不减函数,即
).()(
2121xFxFxx≤<
)0≥
注: 例题以后讲=−)()( (
12xFxF)(
21xXxP≤<
因为时,§2 离散型随机变量及其概率分布
1. 定义若某个随机变量的全部可能值是有限个
或无限可列个,则称之为离散型随机变量.一、离散型随机变量及其概率分布
2.概率分布律:是对离散型随机变量概率的全面
描述.
概率分布律提供的信息
1.离散型随机变量X的所有可能值.
2.各个值处的概率.
00.1 0.30.6
xP(x)
12概率分布律的三种表现形式
正态分布3个区间概率
正态分布是概率论与统计学中非常重要的一种概率分布。它具有很多特点和应用场景，其中包括三个区间的概率计算。本文将详细介绍正态分布以及如何计算三个不同区间的概率。
让我们简单了解一下正态分布。正态分布又称高斯分布，是一种在统计学中经常出现的连续概率分布。它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值周围。正态分布的特点是均值、方差和标准差完全决定了分布的形状。
接下来，我们来讨论如何计算三个不同区间的概率。
第一个区间是一般情况下的概率计算，即计算在正态分布曲线下某一区间的概率。在正态分布中，大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。因此，我们可以使用标准正态分布表或统计软件来计算这些概率。
第二个区间是计算大于或小于某个特定值的概率。对于大于某个特定值的概率，我们可以使用标准正态分布表中的累积概率来计算。例如，要计算大于2的概率，我们可以查表得到该值对应的累积概率，然后用1减去这个累积概率即可。同样地，对于小于某个特定值的概率，我们也可以使用类似的方法计算。
第三个区间是计算两个特定值之间的概率。对于这种情况，我们需要计算两个特定值之间的累积概率差。首先，我们需要将两个特定值转化为标准正态分布的z-score，然后查表得到这两个z-score对应的累积概率，最后计算两个累积概率的差值即可得到所需的概率。
除了使用标准正态分布表之外，我们还可以使用统计软件来计算正态分布的概率。常见的统计软件包如R、Python中的scipy和numpy模块等都提供了计算正态分布概率的函数。通过编写相应的代码，我们可以很方便地计算出任意区间的概率。
总结起来，本文介绍了正态分布以及计算三个不同区间的概率的方法。正态分布在实际应用中非常广泛，特别是在统计学和金融学领域。通过对正态分布的概率计算，我们可以更好地理解和分析数据，从而做出更准确的决策。希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！
