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概率与概率分布

概率与概率分布
第五章 概率及概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布

概率论二维随机变量及其分布 ppt课件

概率论二维随机变量及其分布 ppt课件

二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )

概率与概率分布.ppt

概率与概率分布.ppt
– 可以在相同的条件下重复进行
–
–
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
事件的概念
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
– 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
–
– –
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
事件与样本空间
1. 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 2. 主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的 判断 3. 例如，我认为2011年的中国股市是一个震荡 向上的状况
概率的性质与运算法 则
概率的性质
1. 非负性
– 对任意事件A，有 0 P 1
概率的统计定义
在相同条件下进行 n次随机试验，事件 A 出现
m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为
m P( A) p n
概率的统计定义
（实例）
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有 超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30

《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)

《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.

随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件

随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件
天气系统，如高压、冷锋等
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立

概率与概率分布PPT课件

概率与概率分布PPT课件
其概率分布见下表
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出

概率论课件：第二章随机变量及其概率分布

概率论课件：第二章随机变量及其概率分布

π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi

心理统计学课件第六章 概率分布

心理统计学课件第六章 概率分布

（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：

《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数

《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数


4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx


1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)

F(x)


2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)

随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)

f (x)dx
3e3xdx e3
1
1

第五章 概率及概率分布

第五章 概率及概率分布

P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布

概率分布及概率分布图

概率分布及概率分布图

概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。

人大《统计学》第五章 概率和概率分布

人大《统计学》第五章 概率和概率分布

3.乘法的一般定理
• 更多的时候，事件并不是独立的，概率的计算是有条件的。一般
意义上，两个事件之积（同时发生）的概率，为： AB P A P B | A P • 上式也可以写作 P AB P B P A | B
§1.2 概率
• 求两个以上事件之积（同时发生）的概率与之相似。
当离散型随机变量X的只有两个可能的取值，并且其中一个赋值为1，另 一个赋值为0，则X服从0-1分布。 设取1的概率为 p ，则取0的概率 q 1 p 对于服从0-1分布的离散型随机变量X，有：
E X 1 p 0 1 p p
V X 1 p p 0 p 1 p p 1 p
P • 若 P Ai 0 i 1, 2,, n ，则对任意事件B，有： B P B | Ai P Ai
n i 1
§1.2 概率
【例5.1】 某厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品的次品率分别为4%
、6%、7%，各种产品的数量分别占总数量的30%、20%、50%，将三种产品
对连续变量，可计算某段（区间）取值的概率（或概率密度），相应地
便构成了连续变量的概率分布。
§2 离散变量的概率分布
首先看离散型随机变量的概率分布。 为得到离散型随机变量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值， 以及X取这些值的概率。用下面的表格来表示：
§2 离散变量的概率分布
P X xi pi 称为离散型随机变量的概率函数。并有：
§1.2 概率
2.贝叶斯公式 • 贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。 • 它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（或事件是在什么 条件下发生的）。 • 贝叶斯公式也称作逆概公式。

概率分布-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件

概率分布-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件

(2) P() 1(必然事件）; P() 0 (不可能事件)
(3) o1,o2,,ok
P(o1) P(o2 ) P(ok ) 1 例如: 掷骰子
6
P(oi
i1
)
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1
(4) 对立事件 P( A) 1 P( A)
A={1, 2} P( A) 2 / 6 1/ 3 P( A) 1 P( A) 2 / 3
n=10 个球, x1=绿色: P(x2 | x1=绿色) = ? (1)放回抽样
红黄 蓝
绿
44
1
1
4/10 4/10 1/10 1/10
(2) 不放回抽样
红黄 蓝 绿
44
1
0
4/9 4/9 1/9
0
3.2 随机变量（Random Variable X ）
为了方便研究随机现象，能够把随机事件与一种 变量联系起来。用随机变量的不同取值来表达不 同的基本领件。
Distribution)
Antoine de Moivre (1733)
X 服从正态分布: X ~ N (, 2 )
• 密度函数
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2 2
F(x)
P( X
x)
x
f
( x)dx
E(X )
Var( X ) 2
正态分布的性质
(1) 有关 X= 对称，钟形曲线（见第
n=10, p = 1/5, k = 5,6,7,8,9,10
二项分布的数学盼望值与方差
问题：手上有一枚均匀硬币，持续抛掷100次， 有多少次正面朝上？

概率及概率密度分布函数ppt课件

概率及概率密度分布函数ppt课件
出现A1和单独P出A 现AP2A的i 概率。
i1
假设A为假设干个互不相容随机事件的“或
3.根本随机事件组中各事件的概率归一 . (概率的归一化条件 )
假设A1至An构成一随机根身手件组,亦即 包含了某随机景象一切能够独立出现的 全部根本随机事件n,那么A便是必然事件:
PA PAi 1
i1
[例1-2-2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币 值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随 机的。我们可以事先商定，令刻着国徽的一面 朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面 朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显 现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随 机变量把它们标识出来。
[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规那么的热 运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运 动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子 的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取 做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取 做随机变量组。
计规律可循 .
伽尔顿板实验 :
如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽 的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木 槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种安装为伽 尔顿板。
令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进展 无规那么的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节 是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃 至大量小球同时或延续沿钉板撒下时，我们不 能够一一控制它们落下的初始形状，而且它们 除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球 的运动呈现随机形状。虽然各个小球的运动都 服从牛顿力学定律，但它们分开钉槽时的速度 无论在大小还是方向上都具有偶尔性，以致， 就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒 中的哪一个格子里，是不能预知的。
4.乘法定理

《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布

《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
o
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
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A×B=A和B同时发生。 概率的乘法法则：有限个独立事件乘积的概率等于这 些事件概率的乘积。 例：两个学生从5个试题中任意抽取一题，第一个学生 把抽出的题还回去后，第二个学生再抽，则两个学生 都抽到试题2的概率为1/25。
例：根据统计结果，男婴出生的概率是22/43，女 婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇，问两名孕 妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？ 其中一男一女的概率是多少？
• 例：某班有20名男生，25名女生，现随机从全班同 学中抽取一名同学，抽到男生的概率为20/45=4/9， 抽到女生的概率为25/45=5/9。
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
三、概率的加法和乘法
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
• 概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽管 我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数分布， 但我们知道这是的频数分布会无限接近概率分布。
四、概率分布
概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法进行描述。
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响， 某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度的占 30％，只有母亲具有大学文化程度的占20％，而双方 都具有大学文化程度的占有10％，问从学生中任抽一 名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
2. 概率的乘法
独立事件：出现概率相互不影响的事件。 事件之积：有限个互相独立事件同时发生。如：
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它 一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果 计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 P(X)
频率分布与概率分布的区别
经验分布：
频率分布是经资料整理而来;频 率分布随样本不同而不同;频率 分布有对应的频数分布。
的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后， 法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯 (1777—1855)提出了最小平方法。
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
四、概率分布
• 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结 果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率 分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥) 的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果， 以及每种结果所伴随的概率是多少。
• 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈 现的宏观结果而言的。它可以在宏观层次加以识 别而与特定排列次序无关。
理论分布： 概率分布是先验的；概 率分布是唯一的；概率 分布无频率分布所对应 的频数分布。
• 概率分布是理论性的或理念性的，它描绘了在一个完美的世 界中百分比应该是多少。不幸的是，根据现实的（实际得到 的）数据得到的百分比和理论上的总是不完全一致。
• 假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
2. 概率
• 概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
• 在相同的条件下，某个事件A发生的概率是一个常 数。
• 根据概率的计算方法，概率可分为后验概率和先 验概率。
⑴ 后验概率（统计概率）
• 以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率作 为随机事件A概率的估计值。
第五章 概率及概率分布
• 掌握概率的概念、性质和法则 • 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布的基础知识。
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保 险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料， 这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数 学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和 为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事 件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
概率的加法法则：有限个互不相容事件之和的概率 等于这些事件概率的和。
例：某学生从5个试题中任意抽取一题，则抽到试题 2或试题3的概率为2/5。
例：根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的 概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的概 率是多少？
• 事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变 化，但是随着试验次数的无限增大，事件A的频率 会逐渐趋近于一个常数P，P就是随机事件A出现概 率的近似值。
⑵ 先验概率（古典概率）
• 如果某个随机现象所有可能结果是有限的，其总数 为n，每一种可能结果出现的可能性相等，这个现 象中的随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概 率为ｍ与ｎ的比值，即 P（A）=ｍ/ｎ。
根据随机变量取值情况可分为：离散变量概率分布 连续变量概率分布
离散变量概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可 能取值xi计算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型 随机变量的概率分布，即
离散变量概率分布
离散型随机变量的概 率分布也可以用表格 和图形两种形式来表 示。由于离散型随机 变量的特点，表示离 散型随机变量概率分 布多为折线图。
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰 子连掷四次，只出现一个6 点的机会比较多，而同 时将两枚掷24次，只出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马 (1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题 时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754) 发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705) 提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749— 1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论