3.3.1垂径定理导学案
课题
垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九年级
知识目标 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
重点
难点 垂径定理及其应用
垂径定理的证明
教学过程
知识链接 问题：
轴对称有什么特点？我们学过哪些轴对称图形?
合作探究 一、教材76页
合作学习
1.在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
总结：圆是 图形，每一条 都是对称轴。
2.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
点 与点 重合， 与 重合， ，⌒AC＝⌒AD ．
你能将你的发现归纳成一般结论吗？
。
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明
已知CD是直径，CD⊥AB，
求证：CD平分AB，CD平分⌒AD和⌒ADB
总结：弧的中点： 。
二、教材77页
例1
已知⌒AB,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
三、教材77页
例2
一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离.
总结：弦心距： 。
自主尝试 1、下列说法正确的是（ ）
A. 直径是圆的对称轴
垂径定理
课 题 27.3(1) 垂径定理
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填） 教材章节分析：本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；
学生学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系
课 型 新授课
教
学
目
标 1. 经历利用圆的轴对称性探究垂直于弦的直径的性质的过程，掌握垂径定理；
2. 能初步运用垂径定理解决有关数学问题；
3. 培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；
结合例题进行爱国主义教育.
重 点 掌握垂径定理的内容并初步学会运用.
难 点 垂径定理的探索和证明.
教 学
准 备 圆形纸片，圆规，三角尺，多媒体课件
学生活动形式 讲练结合，
教学过程 设计意图
课题引入：
课前练习一
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?
通过今天的学习我们将可解决这个问题.
课前练习二
线段,角,等腰三角形,矩形等都是轴对称图形;平行四边形是中心对称图形.
圆是一个怎样的对称图形?
任意一条直径所在直线都是它的对称轴,它的对称中心是圆心.
知识呈现：
新课探索一（1）
思考 如图,AB是 O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
问题 你发现图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外).
新课探索一（2）
如图，AB是 O的一条弦，CD是 O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.请说明AE=BE，AD=BD，AC=BC.
利用圆是轴对称图形的性质，以直径CD为折痕将⊙O翻折，A，B两点一定重合，由此可知上述的结论是正确的.
华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
1 / 6 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长
圆中处理问题的思路
①找圆心，连半径，转移边；
②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；
③遇直径，找直角，由直角，找直径；
④由弧找角，由角看弧．
补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；
②30°所对的直角边等于斜边的一半；
③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．
➢ 精讲精练
一选择题：
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．CB︵=BD︵ C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
DBCMOA
2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD为10，截面圆圆心A到水面的距离AE为6，则水面宽CD的长为（ ）
A．16 B．10 C．8 D．6 华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
2 / 6
第2题图 第3题图
3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE
4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（ ）
第1页（共16页）
垂径定理27.1.3
一．选择题（共5小题）
1．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．5
2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
3．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC为6cm，则AB的长是（ ）
A．16cm B．10cm C．8cm D．6cm
4．在⊙O中，弦AB垂直且平分一条半径，则劣弧的度数等于（ ）
A．30° B．120° C．150° D．60°
5．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共10小题）
第2页（共16页）
6．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是
．
7．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6cm，则OD＝
cm．
8．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是 ．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，BC＝8，则⊙O的半径为 ．
10．如图，⊙O的直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件： ，使得＝．
11．AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是 cm2．
12．如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 cm．
第3页（共16页）
13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝
．
14．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是
