广东省中山市第一中学2013届高三第五次月考数学(理)试题

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实用文档 2013届中山市第一中学第五次月考

数学（理科） 2012.12

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集UR，集合{|22}Axx，2{|20}Bxxx，则AB （ ）

A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2) D．[0,2]

2. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是

（ ）

A．19、13

B．13、19

C．20、18

D．18、20

3. 已知函数2log(0)()2(0)xxxfxx，若1()2fa，则实数a

（ ）

A．1 B．2 C．1或2 D．1或2 甲 乙

7 9 8 0 7 8 5

5 7 9 1 1 1 3

3 4 6 2 2 0

2 3 1 0

1 4 0

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实用文档 4. 直线20axya与圆229xy的位置关系是

（ ）

A．相离 B．相交 C．相切

D．不确定

5. 在区间[0,1]上任取两个数a、b，则方程220xaxb有实根的概率为 （ ）

A．18 B．14 C．12 D．34

6. 已知aR，则“2a”是“22aa”的

（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1％，则至少要抽（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）

（ ）

A．15次 B．14次 C．9次 D．8次

8. 在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是

（ ） 精品文档

实用文档 A．13 B．12 C．23 D．34

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第912题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9. 若复数2(56)(3)izmmm是实数，则实数m ．

10. 已知3cos5，则cos2

．

11. 根据定积分的几何意义，计算：1204dxx ．

12. 按如图所示的程序框图运算：

若输入8x，则输出k ；

若输出2k，则输入x的取值范围是 ．

（注：“1A”也可写成“:1A”或“1A”，均

表示赋值语句）

（二）选做题：第1315题为选做题，考生只能选做其中的两

题，三题全答的，只计算前两题的得分．

13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π22,4

作圆4sin的切线，则切线的极坐标方程是 ．

14. （不等式选讲选做题）若a、b、cR，且222236abc，则abc的最小值等于 ． 否

是 开始

输入0k

21xx

1kk

115x

输出、结束 精品文档

实用文档 15. （几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且:1:2AEEB，DE与AC交于点F，若AEF的面积为26cm，则ABC的面积为 2cm．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

已知函数()sincosfxaxbx的图像经过点π,03和π,12．

（Ⅰ）求实数a和b的值；

（Ⅱ）当x为何值时，()fx取得最大值．

17. （本小题满分12分）

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456Nnnnnnn，其

中N的各位数字中，161nn，kn（2,3,4,5k）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456nnnnnn，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分面列和数学期望．

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18. （本小题满分14分）

如图1所示，在边长为12的正方形11AAAA中，点B、C在线段AA上，且3AB，

4BC，作1BB∥1AA，分别交11AA、1AA于点1B、P，作1CC∥1AA，分别交11AA、1AA于点1C、Q，将该正方形沿1BB、1CC折叠，使得1AA与1AA重合，构成如图2所示的三棱柱111ABCABC．

（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC中，求证：AB平面11BCCB；

（Ⅱ）求平面APQ将三棱柱111ABCABC分成上、下两部分几何体的体积之比；

（Ⅲ）在三棱柱111ABCABC中，求直线AP与直线1AQ所成角的余弦值．

19. （本小题满分14分） 图2图1PQA1C1QPC1B1CBA'1A1AA'BCAB1精品文档

实用文档 已知数列{}na中，15a，1221nnnaa（nN且2n）．

（Ⅰ）若数列2nna为等差数列，求实数的值；

（Ⅱ）求数列{}na的前n项和nS．

20. （本小题满分14分）

已知函数()xfxex（其中e为自然对数的底）．

（Ⅰ）求函数()fx的最小值；

（Ⅱ）若nN，证明：1211nnnnnnennnne．

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21. （本小题满分14分）

已知抛物线2:2Lxpy（0p）和点(2,2)M，若抛物线L上存在不同的两点A、B

满足0AMBM．

（Ⅰ）求实数p的取值范围；

（Ⅱ）当2p时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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2013届中山市第一中学第五次月考

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C A C B

B A D C

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第912题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．3 10．725 11．π332 12．4，(28,57]

（二）选做题：第1315题为选做题，考生只能选做其中的两题，三题全答的，只计算前两题的得分．

13．cos2 14．11 15．72 精品文档

实用文档 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 解：（Ⅰ）依题意，有

π3103221,3π12fababfa；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

π()sin3cos2sin3fxxxx．

因此，当ππ2π32xk，即5π2π6xk（kZ）时，()fx取得最大值2．

17. 解：依题意，知的可能取值为2,3,4,5,6，其概率分别为

2表示kn（2,3,4,5k）中全为零，故404216(2)381PC；

3表示kn（2,3,4,5k）中恰有一个1，故3142132(3)3381PC；

4表示kn（2,3,4,5k）中恰有两个1，故22242124(4)3381PC；

5表示kn（2,3,4,5k）中恰有三个1，故334218(5)3381PC；

6表示kn（2,3,4,5k）中全部为1，故44411(6)381PC．

因此，的分布列为

 2 3 4 5 6 精品文档

实用文档 P 1681

3281 2481 881 181

的数学期望为

16322481102345681818181813E．

18. 解：（Ⅰ）证明：因为3AB，4BC，所以5AC，从而有

222ACABBC，即ABBC．

又因为1ABBB，而1BCBBB，所以

AB平面11BCCB；

（Ⅱ）因为3BPAB，7CQAC，所以

()(37)42022BCQPBPCQBCS，

从而112032033ABCQPBCQPVSAB． 又因为

111113412722ABCABCABCVSAA，

所以平面APQ将三棱柱111ABCABC分成上、下两部分几何体的体积之比为

7220521320205VV上下；

（Ⅲ）如图建立空简直角坐标系，则

(3,0,0)A、(0,0,3)P、

1(3,0,12)A、(0,4,7)Q，

所以(3,0,3)AP，1(3,4,5)AQ．

设直线AP与直线1AQ所成角为，则