北师大版九年级数学下册第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题

北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案）

一、选择题

1．在△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是( )

A．sinA＝ACAB B．sinA＝BCAB

C．sinA＝ACBC D．sinA＝BCAC

2．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于链接听P2例1归纳总结( )

图1

A.35

B.45 C.34

D.43

3．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为( )

图2

A．4 B．2 5 C.181313 D.121313

4．如图3，A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )

图3

A.CDAC B.BCAB

C.BDBC D.ADAC

5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( )

图4

A．sinα的值越小，梯子越陡

B．cosα的值越小，梯子越陡

C．tanα的值越小，梯子越陡

D．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关

6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )

图5

A.43 B.34 C.35 D.45

7．如果等腰三角形的底边长为10 cm，周长为36 cm，那么底角的余弦值是( )

A.513 B.1213 C.1013 D.512

二、填空题

8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则cosB＝________．

9．如图6，点A(t，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝23，则t的值为________．

图6

10．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝12，则sinB＝________.

11．已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上的一点．若DP＝1，则sin∠BPC的值是____________．

12．如图7，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，如果BC＝4，sin∠DBC＝23，那么线段

AB的长是________．

图7

三、解答题

13．如图8，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝45，求∠BAD的正弦值和余弦值及AC的长度.链接听P2例2归纳总结

图8

14．如图9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N的坐标为(20，0)，点M在第一象限内，且OM＝10，sin∠MON＝35.

求：(1)点M的坐标；

(2)cos∠MNO的值．

图9

15．如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.已知AC＝15，cosA＝35.

(1)求线段CD的长；

(2)求sin∠DBE的值．

图10

16．如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．

(1)求sinA，cosB.

(2)求tanA，tanB.

(3)观察(1)(2)中的计算结果，你发现sinA与cosB，tanA与tanB之间有什么关系？

(4)应用：

①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosB＝________；

②在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝2，则tanB＝________．

图11

附加题

如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.

(1)求sin2A＋cos2A的值；

(2)比较sinA和cosB的大小；

(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两小题相同的结果？若有，请说明理由．

图12

参考答案

1．[解析] B 如图所示，sinA＝BCAB.故选B.

2．[解析] A 在Rt△ABC中，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC＝AB2－AC2＝102－82＝6，

∴sinA＝BCAB＝610＝35.

故选A.

3．[解析] A 由余弦的定义可得cosB＝BCAB＝23.又∵AB＝6，∴BC＝4.故选A.

4．[解析] D cosα＝BDBC＝BCAB＝CDAC.故选D.

5．[解析] B sinα的值越小，∠α越小，梯子越平缓；

cosα的值越小，∠α越大，梯子越陡；

tanα的值越小，∠α越小，梯子越平缓，所以B正确．

故选B.

6．[解析] D 如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝90°，

∴AC＝AD2＋CD2＝32＋42＝5，

∴sin∠BAC＝CDAC＝45.

故选D.

7．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值是513.

8．[答案] 513

9．[答案] 2 5

[解析] 如图，过点A作AB⊥x轴于点B，

∴sinα＝ABOA.

∵sinα＝23，∴ABOA＝23.

∵A(t，4)，∴AB＝4，∴OA＝6，∴t＝2 5.

10．[答案] 2 55

11．[答案] 2 55或2 1313

12．[答案] 2 5

13．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠BAD＝90°，∠B＋∠C＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠CAD.

∵cosB＝45，∴cos∠CAD＝ADAC＝45.

又∵AD＝4，∴AC＝5，

∴CD＝AC2－AD2＝3，

∴sin∠BAD＝sinC＝ADAC＝45，

cos∠BAD＝cosC＝CDAC＝35.

14．解：(1)如图，过点M作MP⊥ON，垂足为P.

在Rt△MOP中，由sin∠MON＝35，OM＝10，得MP10＝35，∴MP＝6.

由勾股定理，得OP＝102－62＝8，

∴点M的坐标是(8，6)．

(2)由(1)知MP＝6，PN＝20－8＝12，

∴MN＝62＋122＝6 5，

∴cos∠MNO＝PNMN＝126 5＝2 55.

15．解：(1)因为AC＝15，cosA＝35，∠ACB＝90°，所以ACAB＝35，所以AB＝25.

又因为D是AB的中点，所以CD＝252.

(2)由D是AB的中点，得CD＝BD＝252，

所以∠ECB＝∠ABC，

所以sin∠ECB＝sin∠ABC＝ACAB＝35.

又BC＝AB2－AC2＝20，

所以BE＝BC·sin∠ECB＝12.

由勾股定理得CE＝16，

所以DE＝16－252＝72，

所以sin∠DBE＝DEBD＝72×225＝725.

16．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

∴sinA＝BCAB＝ac，cosB＝BCAB＝ac.

(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

∴tanA＝BCAC＝ab，tanB＝ACBC＝ba.

(3)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则sinA＝cosB，tanA·tanB＝1.

(4)①23 ②12

附加题

解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，

∴AB＝AC2＋BC2＝122＋52＝13，

∴sinA＝BCAB＝513，cosA＝ACAB＝1213，

cosB＝BCAB＝513.

(1)∵sin2A＝5132＝25169，

cos2A＝12132＝144169，

∴sin2A＋cos2A＝25169＋144169＝1.

(2)sinA＝cosB.

(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两小题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A，都有sin2A＋cos2A＝1；在Rt△ABC中，若∠C为直角，则必有sinA＝cosB.

理由如下：设在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin2A＝BCAB2，cos2A＝ACAB2，BC2＋AC2＝AB2，

∴sin2A＋cos2A＝BCAB2＋ACAB2＝BC2＋AC2AB2＝AB2AB2＝1.

∵sinA＝BCAB，cosB＝BCAB，

∴sinA＝cosB.