《材料力学》第9章压杆稳定习题解文件.doc
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第九章 压杆稳定 习题解 [ 习题 9-1] 在§ 9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆， 按图 a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI
Pcr 。
试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标系及挠曲线形
2 l
状时，压杆在 F 作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得 F
cr 公式又
cr
是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的 y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（ b）图与（ a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（ c）、 (d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：
" M x EIw ( )，显然，这微分方程与（ a）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、 长度与两端的支承情况有关， 与坐标系的选取、 挠曲线的
位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI
Pcr 。
2 l
1[ 习题 9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？
解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI
Pcr 。由这公式可知， 对于材料和截面相同的压杆，
2 ( .l)
它们能承受的压力与 原压相的相当长度 l 的平方成反比， 其中， 为与约束情况有关的长 度系数。
（a） l 1 5 5m （b） l 0.7 7 4. 9m （c） l 0.5 9 4.5m （d） l 2 2 4m （e） l 1 8 8m （f ） l 0.7 5 3.5m （下段）； l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆 F 最小，图 f 所示杆 F
cr 最大。
cr
[ 习题 9-3] 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆 （图 a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图 b）的基础放在刚性地基上。 试问两杆的临界力是否均为 Pcr
2 EI
min 2 ( 2.l )
？为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于 2。
2 螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时， 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 l 的压杆是否偏于安全？
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。 因为(a) 的下支座不同于 (b) 的下支座， 所以它们的 临界力计算公式不同。 (b) 为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素 2 ，其临界
力为： 2 EI
min Pcr 。但是， (a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
2 (2.l)
2 ，因此，不能用
2 EI
min Pcr 来计算临界力。
2 ( 2.l) 为了考察（a）情况下的临界力， 我们不妨设下支座 （B）的转动刚度 M EI C 20 ，
l
且无侧向位移，则：
EIw "
M x F w
( ) ( ) cr
令 Fcr
EI
k 2 ，得： " k 2 w k w 2
微分方程的通解为： w Asin kx B coskx ' w Ak cos kx Bk sin kx
由边界条件： x 0，w 0， M F cr ' x l w
w C C
解得： A
F cr Ck Fcr
， B ， sin kl cos kl
Ck
C 整理后得到稳定方程： 20 kl tan kl EI /l
用试算法得： kl 1.496
故得到压杆的临界力： 2 EI EI
2 Fcr (1.496) 。
2 l ( 2.1l )
因此，长度因素 可以大于 2。这与弹性支座的转动刚度 C有关， C越小，则 值越大。 当C 0时， 。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。 因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的 弹性支座较合适。这种情况， 2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、 长度为 l 的压杆” 算出来的临界力要小。 譬如，设转动刚度 M EI C 20 ，
l P 2 2.1
cr固端 则： 1.
1025 2 P 2
cr弹簧
， Pcr固端 1.1025 Pcr , 。因此，校核丝杆稳定性
时，把它 弹簧
看作下端固定 （固定于底座上） 、上端自由、 长度为 l 的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。
[ 习题 9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为 EI ，长度为 l 的等截面中心受压直杆的临界应力 P 的欧拉公式。
cr
4[ 解 ] ：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反
力为P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用 M e 表示， cr
下标e 表示端部 end 的意思。 若取下截离体为研究对象， 则 M 的
e
转向为逆转。
M (x) Pcr v( x) M e
EIv "
M x M P v
x ( ) ( ) e cr " EIv Pcr v( x) M e
" v P cr ( ) v x EI M e EI ，令 k 2 P cr EI
2 k
，则 P cr
1 EI
" v k 2 v k 2 M e P cr
上述微分方程的通解为：
M e v A sin kx B cos kx ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ .(a)
P cr
' v Ak cos kx Bk sin kx
边界条件：① x 0； v 0：
M e 0 A sin 0 B cos0 ； P cr M
e B 。
P cr
' ② x 0 v 0 ： 0 Ak cos0 Bk sin 0； A 0。
把 A、B 的值代入（ a）得：
v M M e ' k kx
e sin (1 cos kx) v P P cr cr M
e 边界条件：③ x L ； v 0： 0 (1 cos kL)
P cr
， 1 coskL 0 M ' e sin ④ x 0 v 0 ： 0 k kL sin kL 0 P cr
以上两式均要求： kL 2n ， (n 0,1,3,......)
5 2 L 。故有： k
2
2
(0.5L) 2 P
cr EI
其最小解是： kL 2 ，或 k ，因此：
2 EI
Pcr 。
2 (0.5L )
0 [ 习题 9-5] 长 5m 的 10 号工字钢， 在温度为 C
0 时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受
力。已知钢的线膨胀系数 125 10 C 7 (0 ) 1 7 (0 ) 1
l ， E 210GPa。试问当温度升高至多少 度时，杆将丧失稳定性？
解：
[ 习题 9-6] 两根直径为 d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。
试根据杆端的约束条件， 分析在总压力 F 作用下， 立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线 形状，分别写出对应的总压力 F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力 算式。 P
的
cr
