考研数学大纲——概率论与数理统计解析

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度正确答案：B解析：解一由命题3．2．1．2知，仅(B)入选．解二F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)．取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选．解三因故(A)不正确．又故(C)错误．取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有因而(D)也不成立．仅(B)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计2．[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．A．f1(x)f2(x)B．2f2(x)F1(x)C．f1(x)F2(x)D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)正确答案：D解析：解一因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选．解二由题设有则f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’．因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1，X2)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1，X2}的概率密度．仅(D)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计3．[2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1－x)，且则P{X ≤0}=( ).A．0．2B．0．3C．0.4D．0.5正确答案：A解析：因为f(1+x)=f(1－x)，所以f(x)的图形关于x=1对称，因此P(x≤0)=P(x≥2)．又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1－0．6=0．4，从而P(x≤0)=0．2，故选(A)．知识模块：概率论与数理统计4．[2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( )．A．0B．1／2C．1／2－e-1D．1－e－1正确答案：C解析：因P(X=1)=P(X≤1)－P(X＜1)=F(1)－F(1－0)，而故P(X=1)=1－e－1－1／2=1／2－e-1．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计5．[2013年] 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{－2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则( )．A．p1＞p2＞p3B．p2＞p1＞p3。

考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(一)(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.假设随机变量序列X1，…，X n…独立同分布且EX n=0(A) 0． 1.00）A.B.C.D.2.设X1，…，X n…是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为n的指数分布(n=1，2，…)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是(A) X1，X2/2，…，X n/n，…． (B) X1，X2，…，X n，…．(C) X1，2X2，…，nX n，…． (D) X1，22X2，…，n2X n，…．（分数：1.00）A.B.C.D.3.假设X n，n≥1n充分大时，可以用正态分布作为S n的近似分布，如果(A) X n，n≥1相互独立、同分布．(B) X n，n≥I(C) X n，n≥1(D) X n，n≥1 1.00）A.B.C.D.4.设X n，n≥1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为λ的指数分布，则1.00）A.B.C.5.设随机变量X1，…，X n-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S n近似服从正态分布，只要X1，…，X n(A) PX i=m=p m q1-m，m=0，1，…(1≤i≤n)．≤i≤n)．≤i≤n) 1.00）A.B.C.D.6.假设X1，…，X n，…为独立同分布随机变量序列，且EX n=0，DX n=σ2(A) 0． 1.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律．(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律．(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．（分数：1.00）A.B.C.D.8.设随机变量X1，X2，…，X n，…独立同分布，EX i=μ(i=1，2，…)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X2，…，X n，…依概率收敛于μ，只要X1，X2，…，X n，…(A) 共同的方差存在． (B) 服从指数分布．(C) 服从离散型分布． (D) 服从连续型分布．（分数：1.00）A.B.C.D.9.假设天平无系统误差．将一质量为10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是(A) 切比雪夫大数定律． (B) 辛钦大数定律．(C) 伯努利大数定律． (D) 中心极限定理．（分数：1.00）A.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理P5≤X≤10≈______．（分数：1.00）填空项1:__________________11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.00）填空项1:__________________12.设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 1.00）填空项1:__________________13.设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4则数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用．(假定一年按2000个工作小时计算，Ф(1.64)=0.95．)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 15.假设每人每次打电话通话时间X(单位：分)服从参数为l的指数分布，试求800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率α，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出α的近似值(e-2=0.1353，e-6=0.00248，Ф(0.707)=0.7611，Ф(1.41)=0.9207)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________16.假设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为λ与μ 5.00）__________________________________________________________________________________________17.编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令X i数：5.00）__________________________________________________________________________________________18.已知随机变量X，Y的概率分布分别为 5.00）__________________________________________________________________________________________19.已知随机变量X与Y0-1分布，即5.00）__________________________________________________________________________________________20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知试将其余数值填入空白处．5.00）__________________________________________________________________________________________。

考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )A．X与Y一定独立．B．(X，Y)服从二维正态分布．C．X与Y未必独立．D．X+Y服从一维正态分布．正确答案：C解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．知识模块：概率论与数理统计2．边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )A．必为二维正态分布．B．必为均匀分布．C．不一定为二维正态分布．D．由两个边缘分布确定．正确答案：C解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )A．a＞b．B．a＜b．C．a=b．D．a，b大小不能确定．正确答案：A解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X 一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．知识模块：概率论与数理统计4．设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( ) A．f1(x)f2(x)．B．f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C．f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．正确答案：C解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为( ) A．fX(x)．B．fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C．．D．考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．正确答案：A解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )A．X+Y服从E(2λ)．B．X-Y服从E(2λ)．C．min(X，Y)服从E(2λ)．D．max(X，Y)服从E(2λ)．正确答案：C解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：B解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．知识模块：概率论与数理统计8．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．知识模块：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正确答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计填空题10．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。

随着我国高等教育的普及，考研人数逐年增加，竞争日益激烈。

概率论与数理统计作为考研数学的重要科目之一，其教材的选择对考生备考起着至关重要的作用。

本文将针对考研概率论与数理统计教材进行推荐与解析，帮助考生更好地备战考研。

一、教材推荐1. 《概率论与数理统计教程》（第三版）——茆诗松、周纪芗本书为普通高等教育“十二五”规划教材，是考研概率论与数理统计的推荐教材之一。

全书共八章，前四章为概率论部分，后四章为数理统计部分。

本书从实例出发，图文并茂，通俗易懂，注重基本概念与统计思想的讲解，强调各种方法的应用。

本书适合初次接触概率统计的读者阅读，同时也可供其他专业类似课程参考。

2. 《概率论与数理统计》（高等教育出版社）——程依明、濮晓龙本书为高等教育出版社出版的考研数学教材，是考研概率论与数理统计的另一推荐教材。

全书共八章，内容涵盖了概率论与数理统计的基本概念、性质、方法及应用。

本书注重基础知识的讲解，强调理论联系实际，适合考生在备考过程中系统地学习。

3. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》本书紧扣教材，共分10章，包括概率论与数理统计的基本概念、性质、方法及应用。

每一章由精选习题、习题精解、阅读与提高三部分组成，将一些新的研究成果融入其中。

本书适合理工科、经管类等专业考生阅读，也可作为考研参考用书。

二、教材解析1. 《概率论与数理统计教程》（第三版）（1）优点：本书结构清晰，内容全面，注重基本概念的讲解，强调各种方法的应用。

插图、例题、习题丰富，有助于考生理解和掌握知识点。

（2）缺点：部分章节内容较为深入，对初学者可能存在一定难度。

2. 《概率论与数理统计》（高等教育出版社）（1）优点：本书内容系统，注重基础知识，强调理论联系实际。

例题、习题丰富，有助于考生提高解题能力。

（2）缺点：部分章节内容较为基础，对有一定基础的考生可能存在重复。

3. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》（1）优点：本书紧扣教材，习题精选，解析详细，有助于考生巩固知识点。