．． 置 三角恒等变换的几种常见技巧 万艳红 （南安市南星中学，福建南安３６２３００） 三角怛等变换是三角函数邵分的重点内答．《考试说明》 明确指出对三角公式和三角恒等变换的考查通常与三角函数 的图像与性质相结合，或直接化简求值．化简求值的问题，不 仅考查学生对相关公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角 公式（倍、半、和差、诱导等）为素材，重点考查相关的数学思想 和方法，比如函数与方程思想，化归与转化思想，等等．所以同 学们熟练掌握三角恒等变换的一般方法和技巧是解决三角函 数问题的关键．本文归纳了几种三角恒等变换的常用技巧，仅 供参考． 虽然三角变换的技巧多且灵活，但是万变不离其宗，多 是通过观察角、名、形、幂之间的差异，进行差异分析，实现 异角化同角、异名化同名、高次化底次、弦切互化等的变异 求同． １．变“角” 例１．设仅∈（０， ），Ｂ∈（詈， ３ｑＴ），ｃ。ｓ（仪一 ）＝ ，ｓｉｎ （Ｂ＋孚 吾 ｉｎ（ 的值． 【分析】条件角是 一 ４，ｐ ３＇ｗ，目标角是 ＋ｐ，运用转化 与化归思想得到叶 号）＋（１３＋孚）÷ 【解答】由ｄ ｅ（０，詈）得到 一詈 （一号，０），所以ｓｉｎ（ 一 号 一、／・一ｃ号 一詈． 邮ｅ（寻，孚）得到ｐ＋ ３＇ｗ （订， ３＇ｗ）斯以ｃ。ｓ（１３ 了３＇ｗ） 一 ｃ吾 一罟． 所 ｎ（ ＋１３）＝ｓｉｎ 一手）＋（１３ ３＇ＩＴ）一 ｑ＇ｒ ｃ。ｓ 一 詈）＋（１３ ３ｑＴ）］＝ ５６． 【评析】本题可以直接利用和角、差角公式展开ｃ。ｓ（ 一罟 ＝ ，ｓｊｎ（１３ ３＇ｒｒ）：一吾得到ｓｉｎｏ￣，ｓｉｎｌ３，ｃ。ｓ ，ｃ。ｓｐ．这也是一种 思路，但是计算量太大．本题的解法通过配角化异求同，沟通 已知角与未知角的关系，大大提高了解题效率．但是解题中要 注意角的范围， 一 ∈（一 ，０），１３＋ ３＇ｗ∈（订， ３＇ｗ）是不可缺 ４ ４ ４ ７ 少的，忽视角的范围限制，容易产生运算错误． 常用的角度变换有：ｄ＝（仅＋Ｂ）一１３＝（ａ一１３）＋１３，２０ｌ＝（ ＋ｐ）＋ （ａ－１３），（詈 ）＋（ ） 詈，等等・ ２．变“名” 例２・已知函数ｆ（ｘ）＝ｔａｎ（２ｘ＋三）， （Ｉ）求ｆ（ｘ）的定义域与最小正周期： （ＩＩ）设仅∈（０， ＂ＩＴ），若ｆ（詈）＝２ｃ。ｓ２ｏ【，求 的大小・ 【分析】解决三角函数问题要三看，即看角、看名、看式．由ｆ （詈）＝２ｃ０ｓ２ 得到ｔａｎ（ 十号）＝２ｃｏｓ２仪，这里有复角仪＋号，倍角 ２０Ｉ，单角 ，首先得消除角的差异，即 ＋｛，２ＯＬ￣ＯＬ；其次函数 化切化弦． 【解签】（Ｉ）易解得定义域为ｆｘｌｘ≠ 詈＇ｋ∈ｚ｝，最小正 周期Ｔ－ ． （ＩＩ）解：由ｆ（詈）＝２ｃｏｓ２ 得到ｔａｎ（Ｏｒ＋ ＇ＩＴ）＝２ｃｏｓ２ｄ，即 ｓｉｎ（ ＋ ） ——— 一＝２（ｃｏｓ￣ａ－ｓｉｎｃａ），ｆｉｌｌ ｓｌｎＣｔ＋ｃｏｓｏｔ ＝２（ｃｏｓａ＋ｓｉｎ０【） ｃｏｓ（仅＋ ） ｃｏｓ 一ｓ ｎ ４ （ｃｏｓ —ｓｉｎａ）． 因为Ｏｆ．∈（０，一＂ｌ１），所以ｓｉｎｃｔ＋ｃｏｓｃ￣≠０，所以（ｃｏｓａ—ｓｉｎｏＯ ＝ ４ —１．即ｓｉ ２０【： ． ２ ２ 由仪 （０， ），得２ （０，詈），￣．ｆＩ）Ｘ２ｃｔ＝詈， ・ 【评析】弦切互化是化函数异名为同名的最常用方法．忽 视角的范围限制是产生错误的重要原因． ３．变“式” 例３．求值：ｔａｎｌ７。＋ｔａｎ４３。＋、／３ ｔａｎｌ７。ｔａｎ４３。． 【分析】非特殊角一特殊角，利用公式变形整体求解． 【解答】ｔａｎ６０￣＝ｔａｎ（１７。＋４３ ＝ ，所以 ｔａｎ１７。＋ｔａｎ４３。＝、／３（１一ｔａｎｌ７。ｔａｎ４３。），所以ｔａｎｌ７。＋ｔａｎ４３。＂４－ 、／了ｔａｎｌ７。ｔａｎ４３。＝、／了． ’ 【评析】在进行三角变换时，顺用公式的情况比较普遍，但 如果能根据题目的结构。联想到公式的变形、逆用，那么就会 “柳暗花明又一村”．本题的巧妙之处在于将两角和的正切公 式变形为ｔａｎ仅＋ｔａｎＢ：【ａｎ（ｏ【＋ｐ）（１－ｔａｎｏａａｎｌ３）． ４．变“次” 例４．函数ｆ（ ）＝ｓｉ （２ 一 ）一２、／ ８ｉｎ２ｘ的最小正周期是 — 】已知条件中存在次数的差异，应先运用降次、升幂 公式消除次数差异． 】ｆ（ ｓｉｎ（２ｘ一号）＿２ｈ／２ １－ｃ２ｏｓ２ｘ，＝孚ｓｉｎ２ｘ一 一Ｘ／２２－ｃｏｓ２ｘ＿ ＋ ｃｏｓ２ｘ＝Ｘ／２￣ｓｉｎ２ｘ＋Ｘ／２２－一ＣＯＳ２Ｘ－－
1 / 3 三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
二倍角
sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]
cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]
tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3（α）
cos3α=4cos^3（α）-3cosα
tan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））
sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）
cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)
tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）
半角公式
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
半角变形
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限
=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限
=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限2 / 3 tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
贾老师数学
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
❖ 基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos
α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.
二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．
❖ 常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.
考点一 三角函数公式的直接应用
[典例] 贾老师数学
(1)已知sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )
A．－211 B.211
C.112 D．－112
(2)(2019·呼和浩特调研)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )
二轮复习微专题三角恒等变换
考点一 给值求值、给值求角、给角求值
【必备知识】
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
⑴coscoscossinsin；⑴coscoscossinsin；
⑴sinsincoscossin；⑴sinsincoscossin；
⑴tantantan1tantan （tantantan1tantan）；
⑴tantantan1tantan （tantantan1tantan）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式
⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1
⑴2222cos2cossin2cos112sin
升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122
降幂公式2cos21cos2，21cos2sin2．
(3)半角公式：sincos1cos1sincos1cos12tan,2cos12sin,2cos12cos
（4）辅助角公式:)sin(cossin22xbaxbxa，其中2222cos,sinbaabab。
3、常数“1”的代换:1=sin2α+cos2α,1=2cos2α-cos 2α,1=cos 2α+2sin2α,1=tan π4. 【典型例题】
【例1】已知cos（α+π6）-sin α=435,则sin（α+11π6）的值是( )
A.-235 B.-45 C.235 D.45
