若干Double图的点可区别边染色

图的邻点可区别正常边染色赵新梅;曾贤灏【摘要】图的邻点可区别正常边染色是指图G的一个正常边染色f使得任意相邻两点的着色集合不同．针对染色色数的上界进行研究，通过Vizing定理以及Lovasz一般局部引理，用概率方法得到了邻点可区别正常边染色色数的一个较好的上界Δ＋4．【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2016(023)002【总页数】3页(P90-92)【关键词】Vizing定理邻点可区别正常边色数 Lovasz局部引理【作者】赵新梅;曾贤灏【作者单位】[1]兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050;[2]兰州工业学院学报编辑部,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O157.5图的染色理论一直是图论的研究课题之一.1993年，Burris等在文[1] 中介绍并研究了图的邻强边染色，Schelp等人做了更深入的研究.2002年，针对实际生活中的“局域网中交换机的优化连接”和手机频率，张忠辅等在文[2]中研究了图的邻强边染色，得到了若干结果，并提出猜想：对任意连通简单图G(V,E),若顶点数至少为6，则χ'a(G)≤Δ(G)+2.本文通过Vizing定理以及Lovasz一般局部引理，得到实现该染色最少使用的色数为Δ+4.定义1[2] 对图G(V,E), 映射 f：E(G)→{1，2，…，k}满足对任意相邻的边e1,e2，有f(e1)≠f(e2)，则称f是G的一个k-正常边染色，且对任意u∈V(G),记,如果对任意的,则称f为G的一个k-邻点可区别正常边染色,简记作k-AVDPEC,且称χ'a(G)=min{k|G有k-邻点可区别正常边染色}为G的邻点可区别正常边色数.定义2[3]设随机试验E的样本空间为Ω；A为随机事件；Pr是定义在Ω→[0,1]上的概率函数，若Pr满足以下几点：3)令,则).引理1[4](Vizing定理)对于简单图G, 有Δ(G)≤χ'(G)≤Δ(G)+1.猜想1[2]对于的简单图G, 且G不是长为5的圈，则χ'a(G)≤Δ(G)+2.引理2[5-6] (Lovasz局部引理)考虑(典型的坏的)事件的集合ε={A1,A2,…,An},对每一个Ai,都存在Di⊆ε(Di可以为空)，使得每一个Ai与ε-(Di∪Ai)互相独立.如果有实数x1,x2,…,xn∈[0,1)使得对每个1≤i≤n,有,则ε中所有事件都不发生的概率至少是.文中未加说明的术语,符号可参阅文[7].定理1 设G(V,E)是简单连通图，若，则χ'a(G)≤Δ+4.证明由引理3，G存在使用了Δ+1种颜色的正常边染色.因此假设G的Δ+1正常边染色已经给出，接下来按以下(I),(II),(III)三步对G的边重新染色.(I) 对G的边uv，取一种新颜色X，对u, v的关联边，随机独立地选一条用颜色X 重染.则边被X重染的概率为.(II) 完成(I)染色后，另取一种新颜色Y，按(I)，对u, v的关联边用Y重染.(Y可能覆盖X)则边被Y重染的概率为.(III) 完成(II)染色后，再取一种新颜色Z，按(I)，对u, v的关联边用Y重染.(Z可能覆盖X,Y)则边被Y重染的概率为.接下来利用局部引理证明以下事件：A(e1,e2),B(u,v)不发生的概率为正，即G存在使用了Δ+4种颜色的邻点可区别的正常边染色.定义事件如下：(A)令A(e1,e2)表示相邻边e1,e2着色相同.(B)对uv∈E(G)，令d(u)=d(v)=d，令B(u,v)表示u,v着色正常，C(u)=C(v)的事件.下面计算每个(A),(B)事件发生的概率Pr[A(e1,e2)]，Pr[B(u,v)](坏事件的概率)，有1) 对(A)的每个事件A(e1,e2)，若A(e1,e2)发生，则e1,e2被同种颜色重染，设与e1,e2关联的三个顶点为u,v,w，故同时被染的概率为.2) 对(B)的每个事件B(u,v)，若B(u,v)发生，则C(u)=C(v)，且C(u)，C(v)中都包含了新颜色X,Y,Z中至少一种.则(a) 若在Δ+1正常边染色后就有C(u)=C(v)，那么新染色后仍有C(u)=C(v)的概率为(或,或，均有(b) 若在Δ+1正常边染色后有C(u)≠C(v),那么新染色后仍有C(u)=C(v)的概率为(或或，均有下面构造相关图并计算相关事件数.构造相关图D，D的顶点为{A(e1,e2),B(u,v)}，D的两个顶点相邻当且仅当这两个顶点至少包含一条公共边.由于D的顶点的每个事件发生依赖于其中的边，因此D 是相关事件图.计算相关事件数，有a) 对(A)的每个事件A(e1,e2)，在D中A(e1,e2)的相关点至多与(A)的4Δ-5个事件相关，至多与(B)的3Δ-2个事件相关；b) 对(B)的每个事件B(u,v)，在D中B(u,v)的相关点至多与(A)的(2Δ-1)(2Δ-2)个事件相关，至多与(B)的2Δ2-2Δ+1个事件相关；应用Lovasz一般局部引理，可构造常数，分别表示与事件A(e1,e2)，B(u,v)相对应的常数，由Lovasz一般局部引理的条件，只要以下2个不等式成立即可：..因为对所有的实数z≥2，有，所以(当Δ≥67)..为证明(1)式，需要证明.由条件，可得(1)式成立.为证明(2)式，需要证明.由，故Δ.又δ≥270，故).即(2)式成立.定理得证.【相关文献】[1] A C Burris, R H Schelp. Vertex-distinguishing proper edge-colorings[J].J of Graph Theory, 1997,26(2):73-82.[2] Zhong-fu Zhang, Lin-zhong Liu, Jian-fang Wang. Adjacent strong edge coloring of graphs[J]. Applied Mathematics Letters，2002，15：623-626.[3] Alon N, Spencer J. The Probabilistic Method[M]. New York:Wiley,1992.[4] 孙宜蓉.概率方法与图的染色问题[D].兰州：西北师范大学，2004.[5]Molloy M, Reed B. Graph Coloring and the Probabilistic Method[M]. New York:Springer,20 02.[6] 刘利群, 陈祥恩.关于图的邻点可区别全色数的上界研究[J]. 纯粹数学与应用数学,2012,28(6):744-748.[7]Bondy J A, Murty U S R. Graph Theory with Applications[M]. Macmillan.Longdon and Elsev ier, New York,1976.。

关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种对图中顶点进行染色的方法，目的是使得相邻的顶点颜色不相同。

本文将介绍几类常见图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法。

1. 树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色树图是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间只有一条简单路径。

对于树图，其直径等于它的最长路径的长度。

树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法比较简单，只需要从树的根节点开始，依次往下染色，保证每个顶点的颜色与其父节点不同即可。

这样可以确保相邻的顶点颜色不相同。

2. 平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色平面图是指可以绘制在平面上，使得任意两条边不相交的图。

平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法可以采用四色定理进行染色。

根据四色定理，任何平面图最多需要四种颜色即可进行染色，保证相邻顶点的颜色不相同。

这是一个非常重要的数学定理，对于解决平面图的染色问题提供了基本思路和方法。

3. 完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色完全图是指任意两个不同顶点之间都有一条边的图。

对于完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法，需要考虑图中顶点数量的奇偶性。

当顶点数量为奇数时，可以选择其中一个顶点作为起始点，将其染成一种颜色，然后从该起始点出发，依次将相邻的顶点染成不同的颜色。

当顶点数量为偶数时，染色方法类似，只是需要选择两个不同的起始点，并依次染色。

总结起来，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法。

在树图中，只需要从根节点开始往下染色；在平面图中，可以利用四色定理进行染色；在完全图中，需要考虑顶点数量的奇偶性并选择合适的起始点。

通过这些方法，可以有效地实现Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色的目标综上所述，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法，适用于树图、平面图和完全图。

第59卷 第4期吉林大学学报(理学版)V o l .59 N o .4 2021年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2021d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2020334单圈图的D (2)-点可区别边染色贾秀卿,李沐春(兰州交通大学应用数学研究所,兰州730070)摘要:用数学归纳法㊁反证法及构造具体染色函数法,并结合H a l l 定理讨论单圈图的D (2)-点可区别边染色,并给出其确切的D (2)-点可区别边色数.关键词:单圈图;边染色;D (2)-点可区别边染色;D (2)-点可区别边色数中图分类号:O 157.5 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2021)04-0807-09D (2)-V e r t e x -D i s t i n g u i s h i n gE d g eC o l o r i n g o fU n i c y c l i cG r a ph s J I A X i u q i n g,L IM u c h u n (I n s t i t u t e o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n ,r e d u c t i oa da b s u r d u ma sw e l l a s c o n s t r u c t i o no f s pe c if i c c o l o r i ng f u n c t i o n ,t o g e th e r wi t h H a l lt h e o r e m ,w ed i s c u s s e dt h e D (2)-v e r t e x -d i s t i n g u i s h i n g e d g e c o l o r i n g o f u n i c y c l i c g r a p h s ,a n d g a v e t h e i r p r e c i s e D (2)-v e r t e x -d i s t i n g u i s h i n g e d g e c h r o m a t i c n u m b e r s .K e y w o r d s :u n i c y c l i c g r a p h ;e d g e -c o l o r i n g ;D (2)-v e r t e x -d i s t i n g u i s h i n g e d g ec o l o r i n g ;D (2)-v e r t e x -d i s t i n g u i s h i n ge d ge c h r o m a t i c n u m b e r 收稿日期:2020-11-03. 网络首发日期:2021-04-25.第一作者简介:贾秀卿(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事图论的研究,E -m a i l :759338867@q q.c o m.通信作者简介:李沐春(1964 ),女,汉族,硕士,教授,从事图论与组合优化的研究,E -m a i l :l i m u c h u n m a t h 2@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961041).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.O.20210423.1500.001.h t m l .1 引言与主要结果图染色问题在资源分配㊁优化控制及信息科学等领域应用广泛.图染色理论有很多分支,如边染色㊁点染色㊁全染色以及在此基础上添加其他约束产生的一些特殊染色等.Z h a n g 等[1]通过在正常边染色的基础上添加一个约束条件,提出了图的邻强边染色(即邻点可区别边染色)的概念,即给定图G的一个正常边染色f ,若对任意一条边u v ɪE ,都有S (u )ʂS (v ),则称f 为图G 的一个邻强边染色,并给出了圈㊁完全图㊁完全二部图的邻强边色数.赵新梅等[2]刻画了单圈图的邻点可区别边染色;刘卓雅等[3]用权转移法研究了无相交三角形平面图的邻点可区别边染色.之后,张忠辅等[4]提出了图的D (β)-点可区别边染色的概念,并证明了至少有3个顶点的树,当存在两个最大度点的距离不超过2时,其D (2)-点可区别边色数等于最大度加1,当任意两个最大度点的距离至少为3时,其D (2)-点可区别边色数等于最大度;黄丽娜等[5]给出了最大度不小于2的简单图的D (β)-点可区别边色数的上界;李泽鹏等[6]研究了树的D (r )-点可区别边染色,得到了树的D (3)-点可区别边色数的上界;杨佳睿等[7]研究了K 3,5,p 的点可区别的一般全染色;席美丽[8]证明了对于最大度等于3,g ʉ1(m o d3)且圈上只有一个3度点的单圈图,有χᶄ2-v d (G )=4;王琰雯[9]研究了D (2)-点可区别边染色的特殊情形,即任意两个距离为2的点其色集合可区别,并给出了单圈图在该染色下的具体边色数.本文所讨论的图均为简单无向连通图.一个图G 对应于一个有序三元组(V ,E ,ϕ),其中V (G )表示图G 的顶点集,E (G )表示图G 中与V (G )不相交的边集,ϕ(G )表示图G 顶点集与边集的关联函数,使得对∀e ɪE (G ),u ,v ɪV (G ),有ϕ(e )=u v ,此时称u 和v 相邻,u 和v 是边e 的两个端点,同时也称u 和v 分别与e 相关联.若图G 中的两条边e 1和e 2仅有一个公共端点,则称e 1与e 2相邻.与顶点x 关联边的数目称为顶点x 的度数,记为d (x ).称Δ(G )=m a x {d (x )x ɪV (G )}为图G 的最大度,简记为Δ.图G 中度数为1的顶点称为悬挂点,与悬挂点相邻的点称为次悬挂点.点u 和v 之间的距离定义为图G 中最短的(u ,v )路长,记为d (u ,v ).一个边数等于点数的简单连通图称为单圈图.图G 中最短圈的长称为图G 的围长,记为g (G ).图G 的一个正常k -边染色是指映射f :E ң{1,2, ,k },使得对任意两条相邻的边e 1和e 2,均有f (e 1)ʂf (e 2).一个顶点x ɪV 在f 下的色集合S f (x )是指所有与x 关联的边在f 下的颜色构成的集合.定义1[4] 若图G 的一个正常k -边染色f 满足∀u ,v ɪV 且1ɤd (u ,v )ɤβ都有S (u )ʂS (v ),则称f 为G 的一个k -D (β)-点可区别边染色(简记为k -D (β)-V D E C );将图G 进行D (β)-点可区别边染色所需颜色的最小值称为G 的D (β)-点可区别边色数,记为χᶄβ-v d (G ).特别地,当β=2时,D (β)-点可区别边染色称为D (2)-点可区别边染色.如果两个距离不超过2的顶点u ,v 在D (2)-点可区别边染色函数f 下满足S f (u )ʂS f (v ),则称u 与v 在f 下是D (2)-点可区别的.基于文献[9],本文考虑单圈图在2-距离以内的D (2)-点可区别边染色.用数学归纳法并结合H a l l 定理,得到如下结论:定理1 设G 是围长为g 的非圈单圈图,C 是G 中唯一的圈.如果G 满足下列条件:1)当Δ(G )=3时,圈上只有一个3度点,g ʉ0(m o d3)且次悬挂点在圈上;或圈上有至少两个3度点且任意两个3度点的距离至少为3;2)当Δ(G )=4时,任意两个4度点的距离至少为3且不包含如图1所示的S 5作为子图;3)当Δ(G )ȡ5时,任意两个最大度点的距离至少为3.图1 图S 5F i g .1G r a pho f S 5则有χᶄ2-v d (G )=Δ(G ).否则,除Δ(G )=3且G 包含S 5作为子图外均有χᶄ2-v d (G )=Δ(G )+1.特别地,当Δ(G )=3且G 包含S 5作为子图时,有χᶄ2-v d (G )=5.设G 是围长为g (g ≢0(m o d3))的单圈图,C g是G 中唯一的圈且G 不包含S 5作为其子图.设H为G 的真子图.由定理1可知,在单圈图G 中存在子图H 满足χᶄ2-v d (G )<χᶄ2-v d (H)的情形.当Δ(G )=3时,若C g 上只有一个3度点或C g 上至少有两个3度点且存在距离不超过2的两个3度点,则χᶄ2-v d (G )=4.若图H 包含C 5作为其分支,则有χᶄ2-v d (H )=5;若C g 上至少有两个3度点且任意两个3度点的距离至少为3,则χᶄ2-v d (G )=3.若H 包含C g 或圈上恰有一个3度点的单圈图作为其分支,则有χᶄ2-v d (H )=4.当Δ(G )=4时,若任意两个4度点的距离至少为3,则χᶄ2-v d (G )=4.若H 包含C 5作为其分支,则有χᶄ2-v d (H )=5.2 引 理引理1[4] 对不含孤立边的图G ,有χᶄ2-v d (G )ȡΔ(G ).引理2 对不含孤立边的图G ,若G 中存在距离不超过2的两个最大度点,则χᶄ2-v d (G )ȡΔ(G )+1.证明:设u 和v 为图G 中距离不超过2的两个最大度点,即d (u )=d (v )=Δ且d (u ,v )ɤ2.由引理1知,χᶄ2-v d (G )ȡΔ.反设χᶄ2-v d(G )=Δ,则G 用颜色1,2, ,Δ可D (2)-V D E C .由于æèçöø÷ΔΔ=1,808 吉林大学学报(理学版) 第59卷所以S (u )=S (v ),矛盾.因此,χᶄ2-v d (G )ȡΔ+1.引理3[4] 设C p (p ȡ3)是一个阶数为p 的圈,则χᶄ2-v d(C p )=3,p ʉ0(m o d 3),4,p ≢0(m o d 3)且p ʂ5,5,p =5ìîíïïïï.引理4[8]设G 是p (p ȡ3)阶的单圈图,C g 为图G 中唯一的圈,其中g 为图G 的围长.当Δ=3且圈C g 上仅含一个3度顶点,若g ʉ1(m o d 3),则χᶄ2-v d (G )=4.引理5[4] 对至少3阶的树T ,有χᶄ2-v d (T )=Δ(T ),T 的任意两个最大度点距离至少为3,Δ(T )+1,其他{.引理6(H a l l 定理)[10] 设G 为具有二分类(X ,Y )的二部图,则G 包含饱和X 的每个顶点的匹配当且仅当N (S )ȡS 对所有S ⊆X 成立.引理7 设G 是围长为g 的单圈图,C g 为G 中唯一的圈.如果Δ(G )=3且圈C g 上仅有一个3度点,则χᶄ2-v d (G )=3,g ʉ0(m o d 3)且G 中次悬挂点在圈上,4,其他{.证明:令C g =v 1v 2 v g v 1.不妨设d (v 1)=3,v 1不在圈上的邻点为x .由引理1知,χᶄ2-v d (G )ȡ3.下面根据围长g 分两种情形讨论.情形1)g ʉ0(m o d 3).若G 的次悬挂点在圈C g 上,则x 必为G 的悬挂点.设f 1:E (G )ң{1,2,3}为G 的一个正常边染色.先用颜色1,3,2对边v 1v 2, ,v gv 1进行循环染色,然后用3色染边v 1x .显然f 1是G 的一个3-D (2)-V D E C .若G 的次悬挂点不在圈C g 上,设点x 不同于v 1的邻点为w 1,w 2(若存在).先证χᶄ2-v d (G )ʂ3,反设χᶄ2-v d (G )=3,则存在染色函数f :E (G )ң{1,2,3}.由于v 1v 2与v g v 1相邻,所以f (v 1v 2)ʂf (v g v 1),不妨设f (v 1v 2)=1,f (v gv 1)=2,则f (v 1x )=3.又因为v 1v 2与v 2v 3相邻,所以v 2v 3只能染色2或3,不妨设f (v 2v 3)=3.为使v 2与v 3的色集合可区别,则f (v 3v 4)=2,以此类推,边v 1v 2, ,v gv 1依次用颜色1,3,2循环染色.当d (x )=2时,为保证正常边染色,边x w 1只能染颜色1或2,此时S (x )=S (v 2)={1,3}(或S (x )=S (v g )={2,3}),矛盾;当d (x )=3时,由引理2知χᶄ2-v d (G )ȡ4.下面证明G 是4色可染的.考虑如图2所示的图G 1和G 2,其中图G 1是圈C g 悬挂一条边v 1x 的单圈图,图G 2是一棵包含悬挂边v 1x 且最大度不超过3的树.图2 图G 1和G 2F i g .2G r a ph s o f G 1a n d G 2注意到粘合图G 1和G 2中的边v 1x 可得到所需的图G .下面分别考虑图G 1和G 2的D (2)-V D E C .对于图G 1,因为其次悬挂点恰好在圈上,故染色f 1是G 1的一个3-D (2)-V D E C .对于图G 2,由引理5知,4种色可以对其进行D (2)-V D E C ,记该染色方案为f 2.不妨设f 2(v 1x )=3,f2(x w 1)=4.908 第4期贾秀卿,等:单圈图的D (2)-点可区别边染色若w 2存在,不妨设f 2(x w 2)=1,再用{2,4}中的颜色染它的其余关联边.为证明图G 是4色可染的,只需验证图G 1和G 2在上述染色方案不变的条件下粘合边v 1x 后仍满足2距离之内的点的色集合不同即可.定义图G 的一个正常边染色f *为:对于∀z ɪE (G ),f *(z )=f1(z ),z ɪE (G 1),f2(z ),z ɪE (G 2){. 根据f *的构造可知,S (v 1)={1,2,3}, S (v 2)={1,3}, S (v g )={2,3},而4ɪS (x )ɘS (w 1),所以S (x )ʂS (v 1)ʂS (v g )ʂS (v 2)且S (w 1)ʂS (v 1).如果w 2存在,若d G 2(w 2)=2,由于d G (v 1)=3,故S (w 2)ʂS (v 1);若d G 2(w 2)=3,由染色f 2知S (w 2)={1,2,4},故S (w 2)ʂS (v 1).此外,G 中的其他点各自在f 1与f 2下色集合保持不变,所以仍然满足D (2)-点可区别.故f *是图G 的一个4-D (2)-V D E C .情形2)g ≢0(m o d 3).若g ʉ1(m o d3),则由引理4可知χᶄ2-v d (G )=4.若g ʉ2(m o d3),先证χᶄ2-v d (G )ʂ3.反设χᶄ2-v d (G )=3.由于d (v 1)=3,故3种颜色1,2,3在其关联边上全部出现.不妨设v 1v 2,v g v 1,v 1x 分别染颜色1,2,3,用色2染边v 2v 3.为使v 2与v 3的色集合可区分,v 3v 4只能染色3,以此类推,边v 1v 2, ,v g -2v g -1依次用颜色1,2,3循环染色.当染到边v g -1v g 时只能用色1,此时S (v g )={1,2}=S (v 2),矛盾,故χᶄ2-v d (G )ȡ4.下面证明χᶄ2-v d (G )=4.当图G 中次悬挂点在圈C g 上时,用颜色1,2,3对边v 1v 2, ,v g -2v g -1进行循环染色;分别用颜色4,2,3染边v g -1v g ,v g v 1,v 1x .由该染色方案知,v 2,v 3, ,v g -4的色集合依次循环等于{1,2},{2,3},{1,3},且v g -3,v g -2,v g -1,v g ,v 1的色集合分别为{1,2},{2,3},{3,4},{2,4},{1,2,3}.易见G 中的点都是D (2)-点可区别的.当图G 中次悬挂点不在圈C g 上时,证明与g ʉ0(m o d 3)类似,故略.注1 引理7中,若圈C g 上仅含一个3度顶点且g ʉ1(m o d 3),则可得文献[8]中定理3.11(3).因此,引理7在一定程度上可视为文献[8]中定理3.11(3)的推广.引理8 设G 是围长为g 的非圈单圈图且G ≇S 5(见图1),C 是G 中唯一的圈,G 中次悬挂点都在圈上.如果G 满足下列条件:1)当Δ(G )=3时,圈上只有一个3度点且g ʉ0(m o d 3);或圈上有至少两个3度点且G 中3度点之间的距离至少为3;2)当Δ(G )ȡ4时,G 中最大度点之间的距离至少为3.则有χᶄ2-v d (G )=Δ(G );否则,χᶄ2-v d (G )=Δ(G )+1.特别地,当G ≅S 5时,有χᶄ2-v d (G )=Δ(G )+2.证明:令C =v 1v 2 v g v 1.约定i =1时,v i -1表示点v g .令E (v i )\E (C )表示与v i 关联的不在圈上的边.下面分四步完成证明.1)证明G ≅S 5时χᶄ2-v d (G )=5.图3 图S 5的5-D (2)-点可区别边染色F i g .3 5-D (2)-V D E Co f g r a pho f S 5由引理2知χᶄ2-v d (G )ȡ4.下面证明G 不是4色可染的.反设χᶄ2-v d (G )=4.因为æèçöø÷43=4,故此时只有4种不同的三元素集.当对应于圈上的5个点时,必有2个点的色集合相同,矛盾.下面给出图G 的一个5-D (2)-V D E C ,染法如图3所示.2)证明G ≇S 5时χᶄ2-v d (G )ɤΔ(G )+1.下面根据围长g 分两种情形讨论.情形①g ʂ5.首先对E (C )进行染色,记染色方案为ψ1.按顺时针方向,当g ʉ0(m o d 3)时,用颜色1,2,3依次对边v 1v 2, ,v g v 1进行循环染色;当g ʉ1(m o d 3)时,用颜色1,2,3依次对边v 1v 2, ,v g -1v g 进行循环染018 吉林大学学报(理学版) 第59卷色,用颜色4染边v g v 1;当g ʉ2(m o d 3)时,用颜色1,2,3依次对边v 1v 2, ,v g -5v g -4进行循环染色,用颜色4,1,2,3,4依次对边v g -4v g -3, ,v gv 1进行循环染色.其次对E (G )\E (C )进行染色,记染色方案为ψ2.在色集合{1,2, ,Δ+1}\{ψ1(v i -1v i ),ψ1(v i v i +1),ψ1(v i +1v i +2)}中选取颜色正常染色E (v i )\E (C ).注意到在染色ψ1下,对∀i (1ɤi ɤg ),有v i -1v i ,v i v i +1,v i +1v i +2三边不同色.又由染色ψ2知,ψ1(v i +1v i +2)∉S (v i ),而ψ1(v i +1v i +2)ɪS (v i +1)ɘS (v i +2),故该染色可将v i 与v i +1,v i +2的色集合区分开.因此该染色是图G 的一个D (2)-V D E C .情形②g =5.当Δ=3时,由于G ≇S 5,所以至多有4个3度点.注意到æèçöø÷43=4,因此,圈C 上3度点是4色D (2)-点可区别的.当Δȡ4时.先用颜色1,2,3,4,5依次染C 上的边v 1v 2, ,v 5v 1,再从{1,2, ,Δ+1}除去v i -1v i ,v i v i +1,v i +1v i +2三边所染颜色后得到的色集合中选取颜色正常染色E (v i )\E (C ).易见该染色能使得G 中2-距离以内的点的色集合可区别.3)证明G 满足下列条件时都有χᶄ2-v d (G )=Δ(G ).根据引理1易知,χᶄ2-v d (G )ȡΔ(G ).(i )当Δ=3时,若圈上只有一个3度点且g ʉ0(m o d3),则由引理7知χᶄ2-v d (G )=3;若圈上有至少两个3度点且G 中3度点之间的距离至少为3,则g ʂ5.下面根据围长g 分两种情形讨论.情形①g ʉ0(m o d 3).设f 1:E (C )ң{1,2,3}是一个正常边染色.用颜色1,2,3按顺时针方向依次循环染色v 1v 2, ,v gv 1.设f 2:E (G )\E (C )ң{1,2,3}是一个正常边染色.对∀x ɪE (v i )\E (C ),f 2(x )=α,其中α满足{f 1(v i -1v i ),f 1(v i v i +1),α}={1,2,3}.在f 1和f 2不变的条件下,定义图G 的一个正常边染色f *为f*(z )=f 1(z ),z ɪE (C ),f2(z ),z ɪE (G )\E (C ){. 显然3度点与2度点是D (2)-点可区别的.此外,由于3度点之间的距离至少为3,故其色集合可以相同.对于v 2, ,v g ,v 1,其在f 1下的色集合依次循环为{1,2},{2,3},{1,3},故v 1, ,v g 中的2度点也是D (2)-点可区别的.因此,f *即为图G 的一个3-D (2)-V D E C .情形②g ≢0(m o d 3).当g ʉ1(m o d3)时.设G ᶄ是圈上恰有两个3度点的此类单圈图,不妨设d (v 1)=d (v m )=3,其中d (v 1,v m )ȡ3.首先对E (C )进行染色.设染色函数φ1:E (C )ң{1,2,3}.按逆时针方向,用颜色1,2,3依次对边v 1v g ,v gv g -1, ,v m +1v m 进行循环染色;对边v m v m -1,v m -1v m -2, ,v 2v 1,当d (v 1,v m )≢2(m o d 3)时,用颜色2,1,3依次循环染色,否则用1,3,2依次循环染色.其次对E (G ᶄ)\E (C )染色.设染色函数φ2:E (G ᶄ)\E (C )ң{1,2,3}.对∀x ɪE (v i )\E (C ),φ2(x )=α,其中α满足{φ1(v i -1v i ),φ1(v i v i +1),α}={1,2,3}.易知φ2是一个正常边染色.注意到在φ1下,当d (v 1,v m )ʉ0(m o d 3)时,边v 1v g ,v 2v 1,v m +1v m ,v m v m -1分别染颜色1,3,1,2;当d (v 1,v m )ʉ1(m o d 3)时,其分别染颜色1,2,3,2;当d (v 1,v m )ʉ2(m o d3)时,其分别染颜色1,3,2,1.故v 1v g 与v2v 1不同色,且v m +1v m 与v m v m -1不同色.又显然C 上其余边也满足相邻边染不同色,所以φ1是C 的一个正常边染色.在φ1和φ2保持不变的条件下,定义图G ᶄ的一个正常边染色φ*为φ*(z )=φ1(z ),z ɪE (C ),φ2(z ),z ɪE (G ᶄ)\E (C ){. 显然3度点与2度点是D (2)-点可区别的.由染色φ*知,对于v g ,v g -1,,v m +1,其色集合依次循118 第4期贾秀卿,等:单圈图的D (2)-点可区别边染色环为{1,2},{2,3},{1,3},故其为D (2)-点可区别的.对于v m -1,v m -2, ,v 2,当d (v 1,v m )≢2(m o d 3)时,其色集合依次循环为{1,2},{1,3},{2,3},否则循环为{1,3},{2,3},{1,2},故其也是D (2)-点可区别的.对于v m +1,v m -1,当d (v 1,v m )ʉ0(m o d 3)时,其色集合分别为{1,3},{1,2};当d (v 1,v m )ʉ1(m o d 3)时,其色集合分别为{2,3},{1,2};当d (v 1,v m )ʉ2(m o d3)时,其色集合分别为{1,2},{1,3}.故v m +1与v m -1可区别.又S (v g )={1,2},S (v 2)={1,3}或{2,3},故v g 与v 2也可区别.因此,2度点与2度点也满足D (2)-点可区别.设G 是满足上述条件且至少有3个3度点的单圈图,则G ᶄ⊆G .根据上述证明可知:φ*是图Gᶄ的一个3-D (2)-V D E C .由于图G 是由其子图G ᶄ通过在圈C 上添加悬挂边构成的,故对图G 进行染色时,先用φ*对E (G ᶄ)进行染色;再从色集合{1,2,3}中选取颜色正常染新添加的悬挂边.易见,此时G 中的点仍然满足D (2)-点可区别.因此3种颜色可以对图G 进行D (2)-V D E C .当g ʉ2(m o d3)时,类似可证明χᶄ2-v d (G )=3.(i i)当Δȡ4且G 中最大度点之间的距离至少为3时,根据围长g 分两种情形讨论.情形①g ʂ5.设ϕ1:E (C )ң{1,2, ,Δ}是一个正常边染色.用染色ψ1染圈C .设ϕ2:E (G )\E (C )ң{1,2, ,Δ}是一个正常边染色.当d (v i )=Δ时,用色集合{1,2, ,Δ}\{ϕ1(v i -1v i ),ϕ1(v i v i +1)}中的颜色正常染E (v i )\E (C );当3ɤd (v i )ɤΔ-1时,用色集合{1,2, ,Δ}\{ϕ1(v i -1v i ),ϕ1(v i v i +1),ϕ1(v i +1v i +2)}中的颜色正常染E (v i )\E (C ).在ϕ1和ϕ2保持不变的条件下,定义图G 的一个正常边染色ϕ*为ϕ*(z )=ϕ1(z ),z ɪE (C ),ϕ2(z ),z ɪE (G )\E (C ){. 显然两个度数不同的点是D (2)-点可区别的.此外,由于最大度点之间的距离至少为3,故其色集合可以相同.对于∀i (1ɤi ɤg ),在染色ϕ1下,有v i -1v i ,v i v i +1,v i +1v i +2三边不同色.当d (v i )<Δ时,由ϕ2知,ϕ1(v i +1v i +2)∉S (v i ),而ϕ1(v i +1v i +2)ɪS (v i +1)ɘS (v i +2),故v i 与v i +1,v i +2的色集合可区别.因此ϕ*是图G 的一个Δ-D (2)-V D E C .情形②g =5.首先对E (C )染色.当Δ=4时,不妨设d (v 1)=4,用颜色1,2,3,4,2依次染v 1v 2, ,v 5v 1;当Δȡ5时,用颜色1,2,3,4,5依次染v 1v 2, ,v 5v 1.然后对E (G )\E (C )染色.若d (v i )=Δ,用{1,2, ,Δ}除去v i -1v i ,v i v i +1两边所染颜色后得到的色集合中颜色正常染色E (v i )\E (C );当3ɤd (v i )ɤΔ-1时,从{1,2, ,Δ}中除去v i -1v i ,v i v i +1,v i +1v i +2三边所染颜色后得到的色集合中选取颜色正常染色E (v i )\E (C ).易见该染色可使得G 中2-距离以内的点的色集合不同.4)证明G ≇S 5且不满足下列条件时有χᶄ2-v d (G )=Δ(G )+1.当Δ=3时,若圈上只有一个3度点且g ≢0(m o d 3),由引理7知χᶄ2-v d (G )=4;若圈上有至少两个3度点且G 中存在距离不超过2的两个3度点,由引理2知χᶄ2-v d (G )ȡ4.又由2)知χᶄ2-v d (G )ɤ4.因此χᶄ2-v d (G )=4.当Δȡ4时,若图G 中存在距离不超过2的两个最大度点,同理可得χᶄ2-v d (G )=Δ+1.证毕.3 定理1的证明下面证明定理1.设C =v 1v 2 v gv 1为单圈图G 中唯一的圈.对任意v ɪV (G ),若d (v )ȡ2且v ∉V (C ),则称v 为图G 的内点,记图G 的内点个数为p .对任意一个悬挂点x ,设d (x ,C )=m i n {d (x ,u )u ɪV (C )},令x 0是满足d (x 0,C )=m a x {d (x ,C )}的一个悬挂点.设v 是x 0的邻点,则v 只有一个邻点w 是非悬挂点.令d (v )=k ,其中k ȡ2.设x 1,x 2, ,x k -2是v 的除w 和x 0处的邻点(如果有),则有d (x 0)=d (x 1)= =d (x k -2)=1.设y 1,y 2, ,yd (w )-1是w 的除v 处的邻点,不妨设y 1是在圈C 到x 0的最长路上.断言1 对于图G ,当Δ(G )=3且G 包含S 5作为子图时,χᶄ2-v d (G )=5.218 吉林大学学报(理学版) 第59卷证明:由引理2知χᶄ2-v d(G )ȡ4.因为æèçöø÷43=4,此时只有4种不同的三元素集,故不能将圈上的5个3度点D (2)-点可区别.因此G 是4色不可染的,故χᶄ2-v d (G )ȡ5.下面通过对p 利用数学归纳法,证明G 是5色可染的.当p =0时,由引理8知结论成立.假设结论对内点个数小于p 时均成立,设G 有p (p ȡ1)个内点.令G ᶄ=G -{x 0, ,x k -2},其中k ɤ3.由归纳假设知,G ᶄ有一个色数为5(不妨记色集合为S ={1,2,3,4,5})的D (2)-点可区别边染色f ᶄ.下面将f ᶄ延拓为图G 的一个D (2)-点可区别边染色f .由于有4k æèçöø÷-1ȡ4>d (w )种不同的方式染边v x 0,v x 1(若存在),因此存在一个颜色子集合S *⊂S ,在S *中选取颜色对边v x 0,v x 1(若存在)进行正常染色,使得S f (v )={f ᶄ(v w )}ɣS *满足S f (v )ʂS f (y i )且S f (v )ʂS f (w ),其中i =1,2(若存在).断言2 对于图G ,除Δ(G )=3且G 包含S 5作为子图外,均有χᶄ2-v d (G )ɤΔ(G )+1.证明:对p 利用数学归纳法.当p =0时,由引理8知结论成立.假设结论对内点个数小于p 时均成立.设G 有p (p ȡ1)个内点.令G ᶄ=G -{x 0,x 1, ,x k -2},其中k ɤΔ.由归纳假设知,(Δ+1)种色(不妨记色集合为S ={1,2, ,Δ+1})可以对图G ᶄ进行D (2)-V D E C ,记染色方案为f ᶄ.不妨设f ᶄ(y 1w )=Δ+1.令y 2,y 3, ,y t 是G 中与v 的度数相等的点.设f ᶄ(w v )=c 1,f ᶄ(w yi )=c i ,其中2ɤi ɤt .下面根据k 分两种情形将f ᶄ延拓为图G 的一个D (2)-点可区别边染色f .情形1)k <Δ.构建一个二部图B (X ,Y ),令X ={c 1,c 2, ,c t },Y ={A 1,A 2, ,A h },其中A j ⊂{1,2, ,Δ}且A j =k .此时Y =Δæèçöø÷k .当c i ɪA j 时,连接c i 与A j .由于f ᶄ(y1w )=Δ+1,故由正常边染色可知1ɤc i ɤΔ,其中1ɤi ɤt .因此在Y 中共有Δ-1k æèçöø÷-1个元素包含c i .又根据二部图的构造可知,d (c i )=Δ-1k æèçöø÷-1且d (A j )ɤk .为证明G 是(Δ+1)种颜色可染的,只需证明:对∀l (1ɤl ɤt )且任意的T ⊆X ,T =l ,T 在Y 中至少有l 个相邻点.假设T 在Y 中有至多(l -1)个相邻点.当l =1时,与d (c i )=Δ-1k æèçöø÷-1ȡ1矛盾;当2ɤl ɤt 时,T 中共有l Δ-1k æèçöø÷-1条边与Y 中的至多(l -1)个点相连.于是存在m ,使得点A m 的度数大于等于Y 中这(l -1)个点的平均度,此时有d (A m )ȡl Δ-1k -æèçöø÷1l -1>Δ-1k -æèçöø÷1ȡk k -æèçöø÷1=k ,矛盾.因此T 在Y 中至少有l 个相邻点.由引理6知,此时存在一个匹配能够饱和X 中的点.从而可选取满足f (w v )=c 1的一个色集合A j 中的颜色去染色与v 关联的边,使得v 与y 2,y 3, ,y t 的色集合可区别.又因为Δ+1ɪS f (w )ɘS f (y 1),而Δ+1∉S f (v ),故v 与y 1,w 的色集合也可区别.情形2)k =Δ.设a ,b 是两种颜色,使得a ∉S (y 1)且b ∉S (w ).为保证正常边染色,则w v ,w yi (2ɤi ɤt )中至少有(t -1)条边不染色a .不妨设为w v ,w y 2, ,w yt -1.下面在染色f ᶄ的基础上,通过对v 的关联边进行染色并重新染与y 2,y 3, ,y t 关联的边构造染色f .首先令f (w v )=c 1,f (w y i )=c i (2ɤi ɤt );其次用色集合S \{c 2}中的颜色正常染v 的其余关联边,用S \{c i +1}中的颜色正常染y i (2ɤi ɤt -2)的其余关联边,用S \{c 1}中的颜色正常染y t -1的其余关联边,用{1,2, ,Δ}中的颜色正常染y t 的其余关联边.由于{a ,b ,Δ+1}⊆S f (v )ɘS f (y i )(2ɤi ɤt -1), {a ,b }⊆S f (y t ),而a ∉S f (y 1),b ∉S f (w ),Δ+1∉S f (y t )且c 1ʂc 2ʂ ʂc t ,故v ,w ,y i 中的点满足D (2)-点可区别.断言3 对于图G ,满足题设中条件时都有χᶄ2-v d (G )=Δ(G ).318 第4期贾秀卿,等:单圈图的D (2)-点可区别边染色证明:由引理1知χᶄ2-v d (G )ȡΔ.下面通过对p 利用数学归纳法证明χᶄ2-v d (G )=Δ.当Δ=3时,若圈上只有一个3度点,g ʉ0(m o d3)且G 中次悬挂点在圈上,则由引理8知χᶄ2-v d (G )=3;若圈上至少有两个3度点且G 中3度点之间的距离至少为3,p =0时,由引理8知结论成立.假设结论对内点个数小于p 时均成立,设G 有p (p ȡ1)个内点,则G ᶄ=G -{x 0,x 1, ,x k -2}有一个3-D (2)-V D E C .由于3度点之间的距离至少为3且æèçöø÷32=3,故可以从色集合{1,2,3}中选取颜色正常染v x i ,使得v ,w ,yi 中的点是3色D (2)-点可区别的.当Δ=4时,若4度点之间的距离至少为3且不包含S 5作为子图,则p =0时,由引理8知结论成立.假设结论对内点个数小于p 时都成立,设G 有p (p ȡ1)个内点,于是G ᶄ有一个4-D (2)-V D E C .由于4度点之间的距离至少为3且æèçöø÷43=4,故可从色集合{1,2,3,4}中选取颜色正常染v x i ,使得v ,w ,yi 中的点是4色D (2)-点可区别的.当Δȡ5时,若最大度点之间的距离至少为3,则p =0时,由引理8知结论成立.假设结论对内点个数小于p 时均成立,设G 有p (p ȡ1)个内点,于是G ᶄ有一个色数为Δ(不妨记色集合为S ={1,2, ,Δ})的D (2)-点可区别边染色f ᶄ.令y 2,y 3, ,yt 是G 中与v 的度数相等的点.设f ᶄ(w v )=c 1,f ᶄ(w yi )=c i (2ɤi ɤt ).下面根据k 分3种情形将f ᶄ延拓为图G 的一个D (2)-点可区别边染色f .情形1)2ɤk <Δ-1.不妨设f ᶄ(y1w )=Δ.下面构建一个二部图B (X ,Y ).令X ={c 1,c 2, ,c t },Y ={A 1,A 2, ,A h },其中A j ⊂{1,2, ,Δ-1}且A j =k .若c i ɪA j ,则连接ci 与A j .注意到此时d (c i )=Δ-2k æèçöø÷-1且d (A j )ɤk .为证明χᶄ2-v d (G )=Δ,只需证明:对∀l (1ɤl ɤt )且任意的T ⊆X ,T =l ,T 在Y 中至少有l 个相邻点.假设T 在Y 中至多有(l -1)个相邻点.若l =1,则与d (c i )=Δ-2k æèçöø÷-1ȡ1矛盾;若2ɤl ɤt,则存在n ,使得d (A n )ȡl Δ-2k -æèçöø÷1l -1>Δ-2k -æèçöø÷1ȡk k -æèçöø÷1=k ,矛盾.故T 在Y 中至少有l 个相邻点.由引理6知,存在一个匹配能够饱和X 中的点.此时选取满足f (w v )=c 1的一个色集合A j 中的颜色去染与v 关联的边.情形2)k =Δ-1.当d (w )=Δ时,有d (y 1)<Δ.设a ɪ{1,2, ,Δ}\S (y1).由于d (w )=Δ,故色a 一定出现在w 的色集合中.不妨设f ᶄ(w y t )=a ,则边w v ,w y 2, ,w yt -1不染色a .下面在染色f ᶄ的基础上,通过对v ,y 2, ,y t 的关联边进行染色构造染色f .首先令f (w v )=c 1,f (w y i )=c i (2ɤi ɤt );其次用色集合S \{c 2}中的颜色正常染v 的其余关联边,用S \{c i +1}中的颜色正常染y i (2ɤi ɤt -2)的其余关联边,用S \{c 1}中的颜色正常染y t -1的其余关联边,用S \{f ᶄ(w y1)}中的颜色正常染y t 的其余关联边.由于a ɪS f (v )ɘS f (y i )(2ɤi ɤt -1),而a ∉S f (y 1),故f 可使得v ,y i 中的点是D (2)-点可区别的.当d (w )<Δ时.类似地可得图G 的一个Δ-D (2)-V D E C .情形3)k =Δ.显然v ,w ,yi 中只有v 是最大度点,用色集合S 中的颜色正常染v 的关联边即可.断言4 对于图G ,除Δ(G )=3且G 包含S 5作为子图外,若G 不满足题设条件时均有χᶄ2-v d (G )=Δ(G )+1.证明:当Δ=3时,若圈上只有一个3度点,g ʉ0(m o d3)且次悬挂点不在圈上或g ≢0(m o d3),则由引理8知χᶄ2-v d (G )=4;若圈上至少有两个3度点,存在距离不超过2的两个3度点,则由引理2知χᶄ2-v d (G )ȡ4.又由断言2知χᶄ2-v d (G )ɤ4,故χᶄ2-v d (G )=4.418 吉林大学学报(理学版) 第59卷当Δ=4时,若存在距离不超过2的两个4度点,同理可得χᶄ2-v d (G )=5;若4度点之间的距离至少为3且G 包含S 5作为子图,由引理1知χᶄ2-v d(G )ȡ4.由于æèçöø÷43=4,此时只有4种不同的三元素集,故不能将圈上的5个点D (2)-点可区别.因此G 是4色不可染的.进一步,由断言2可得,χᶄ2-v d (G )=5.当Δȡ5时,若存在距离不超过2的两个最大度点,同理可得χᶄ2-v d (G )=Δ+1.综上所述,定理1得证.参考文献[1] Z HA N GZF ,L I U L Z ,WA N GJF .A d j a c e n tS t r o n g E d g eC o l o r i n g o fG r a p h s [J ].A p p lM a t hL e t t ,2002,15(5):623-626.[2] 赵新梅,陈祥恩.单圈图的邻强边染色[J ].兰州交通大学学报(自然科学版),2005,24(6):138-140.(Z HA O X M ,C H E N XE .O n t h eA d j a c e n t S t r o n g E d g eC o l o r i n g o fM o n o c y c l eG r a ph [J ].J o u r n a l o fL a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e s 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图的全染色以及邻点可区别全染色的开题报告开题报告：图的全染色以及邻点可区别全染色一、研究背景及意义图的染色问题是图论中经典的问题之一，它是指对给定的图G的所有顶点进行染色，且相邻顶点染色不相同的问题。

最基础的染色问题是着色问题，即是否存在一种着色方案使得每个节点的颜色都不同。

全染色问题是指对于一个给定的图，每个节点必须被染色，即不能有节点未被染色的情况。

全染色问题与一些实际问题有关，例如约会问题、课程调度问题等。

因此，研究全染色问题对规划和管理等领域具有重要的实际意义。

邻点可区别全染色问题是全染色问题的一种扩展，它是指相邻顶点采用颜色方案不同的全染色方案。

它的优点在于它会给予我们更多的色彩选择机会，因此更符合实际需求。

邻点可区别全染色问题在优化领域被广泛应用，例如路线优化问题、资源分配问题等。

二、研究目标及内容本研究旨在探究邻点可区别全染色问题，研究如何利用图论算法有效解决这个问题，并尝试发现问题的一般性质和特征。

具体来说，本研究的内容包括以下几个方面：1.探究邻点可区别全染色的可行性和可解性。

2.研究邻点可区别全染色的最小化问题。

3.分析邻点可区别全染色的性质和特征。

4.开发图论算法，以实现高效解决邻点可区别全染色问题。

三、研究方法本研究采用以下方法解决邻点可区别全染色问题：1.图论分析方法：研究邻点可区别全染色问题的最优解和局部最优解的构成，分析其具有的一般性质和特征。

2.算法设计方法：设计图论算法，以有效地解决邻点可区别全染色问题，并验证算法的正确性和复杂度。

3.实验方法：通过计算机仿真，对比算法的性能和实际应用效果，进一步验证算法的优越性和可行性。

四、预期结果本研究预期通过图论算法有效解决邻点可区别全染色问题，并探究该问题的一般性质和特征。

在这个过程中，我们预期发现该问题的某些特征及其与其他优化问题的类比，为类似问题提供解决方案。

同时，我们还期望能够为如路线优化、资源分配等实际问题提供解决方案，并在实践中得到推广和应用。

图的着色与染色问题图的着色与染色问题是图论中的一个经典问题，旨在寻找一种给图中的每个顶点染上不同颜色的方法，使得相邻的顶点具有不同颜色。

本文将介绍图的着色和染色问题的基本概念，讨论几种常见的着色算法，并探讨该问题在实际应用中的一些应用场景。

一、基本概念在介绍图的着色与染色问题之前，首先需要了解一些基本概念。

图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，表示了顶点之间的关系。

图可以分为有向图和无向图，其中无向图的边没有方向性，有向图的边具有方向性。

对于图中的每个顶点，可以对其进行染色，也就是给顶点赋予一个颜色值。

染色是为了满足一个重要的条件：相邻的顶点不能具有相同的颜色。

相邻顶点是指在图中由一条边连接的两个顶点。

二、着色算法在解决图的着色问题时，常用的算法有贪心算法、回溯算法和深度优先搜索算法。

下面将分别介绍这三种算法的基本思想和应用场景。

1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的着色算法。

该算法会选择一个顶点，为其染上一个颜色，然后遍历与该顶点相邻的顶点，为其染色。

不断重复该过程，直到所有顶点都被染色。

贪心算法的应用场景包括地图着色问题和课程表问题。

在地图着色问题中，顶点表示不同的地区，边表示不同地区之间的邻接关系。

要求相邻的地区颜色不同，使用贪心算法可以高效地解决这个问题。

在课程表问题中，顶点表示不同的课程，边表示课程之间的先修关系。

贪心算法可以帮助安排合理的课程表。

2. 回溯算法回溯算法是一种递归的算法，它通过尝试所有可能的颜色组合，直到找到满足条件的染色方案为止。

如果在尝试的过程中发现无法满足条件，则会回溯到上一个状态，重新选择颜色。

回溯算法常用于解决复杂的着色问题，例如地图染色问题和调度问题。

在地图染色问题中，回溯算法可以找到一种合理的地图着色方案。

在调度问题中，回溯算法可以帮助制定一种合理的调度方案，例如安排会议或任务的时间表。

3. 深度优先搜索算法深度优先搜索算法是一种遍历算法，通过从起始顶点开始，沿着一条路径一直搜索到底，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径，直到所有顶点都被访问。

几类图的2-距离和可区别染色几类图的2-距离和可区别染色简介：图论是研究顶点和边构成的图的结构和性质的数学学科。

其中，图的距离和染色是图论中的两个重要概念。

本文将讨论几类特殊的图的2-距离和可区别染色，并探讨它们的性质和应用。

一、路径图的2-距离和可区别染色路径图是由一系列不相交的边连接的顶点构成的图，顶点按顺序排列，边只能连接相邻的两个顶点。

对于路径图，我们可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。

例如，路径图中相邻顶点的距离为1，隔一个顶点的距离为2，以此类推。

而在路径图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。

通过对路径图的研究，我们可以发现以下性质：1. 路径图的2-距离是唯一确定的，两个不同的顶点之间的2-距离不同。

2. 路径图的可区别染色需要至少n种颜色，其中n是顶点的个数。

3. 路径图是可完全染色的，即可以使用n种颜色将路径图的顶点染色，且相邻的两个顶点颜色不同。

二、环图的2-距离和可区别染色环图是由一系列相邻的顶点构成的图，首尾相连形成一个循环。

对于环图，我们同样可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。

而在环图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。

与路径图不同的是，环图的性质有所差异：1. 环图的2-距离是多样的，同一个顶点到不同顶点的2-距离可相同。

2. 环图的可区别染色需要至少2种颜色，即使顶点个数增加，所需的颜色数目也不变。

3. 环图是可完全染色的，可以使用2种颜色将环图的顶点染色，其中相邻的两个顶点颜色不同。

三、完全图的2-距离和可区别染色完全图是每两个顶点之间都存在边的图。

对于完全图，我们同样可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。

而在完全图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。

完全图的性质如下：1. 完全图的2-距离是唯一确定的，两个不同的顶点之间的2-距离不同。

2. 完全图的可区别染色需要至少n种颜色，其中n是顶点的个数。

3. 完全图是可完全染色的，可以使用n种颜色将完全图的顶点染色，其中相邻的两个顶点颜色不同。

图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。

图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。

一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。

给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。

这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。

解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。

贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。

贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。

二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。

给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。

这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。

解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。

回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。

深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。

三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。

1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。

树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。

2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。

平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。

对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。

四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。

若干冠图的邻点可区别的V-全染色王双莉;张荔;李沐春【摘要】According to the structure properties of some corona graphs,the adjacent vertex distinguishing V -total chromatic number is studied by using analysis method and constructing function, obtaining the adjacent vertex V-total chromatic number of Cm · Cn,Cm, · Sn,Cm · Fn and Cm· Wn. Furthermore,the adjacent vertex V-total coloring conjecture is checked.%根据圈与圈(星、扇、轮)构造的冠图的结构性质,应用分析和构造函数法研究了邻点可区别V-全色数,得到了Gm·Gn,Gm,·Sn,Gm,·Fn和Cm·Wn的邻点可区别V-全色数,进一步验证了图的邻点可区别V-全染色猜想.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2012(031)004【总页数】4页(P138-141)【关键词】冠图;邻点可区别全染色;邻点可区别全色数【作者】王双莉;张荔;李沐春【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州 730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州 730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O157.50 引言图的染色问题是非常困难的问题,许多数学工作者都致力于这一工作并提出了一系列的染色问题，如：点可区别全染色[2]、邻点可区别全染色[1]、邻点可区别E-全染色[3-6]及邻点可区别V-全染色[7]等,已成为染色研究的热门问题,得到了很重要的结果,本文研究了若干冠图的邻点可区别V-全染色.定义1[8] 图Ir(G),表示G的r-冠图,是指在图G每个顶点上都粘接r条悬挂边所得的图,I-冠图也称为王冠,记为I(G),在G的每一个顶点V上粘接的r条悬挂边的端点集简称r-为悬挂点,记为V*.定义2[7]对介数不小于2的连通图G(V,E),令f是从V(G)∪E(G)到{1,2,K,k}的映射,其中:k为正常数,如果f满足:1) 对任意的uv∈E(G),u≠v,有f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv);2)对任意的uv,uw∈E(G),w≠v,有f(uv)≠f(uw);3)对任意的uv∈E(G),C(u)≠C(v).f为图G的k-邻点可区别V-全染色.(简记为k-AVDVTC)记为图G的邻点可区别V-全色数.其中：C(u)={f(u)}∪{f(uv)|uv∈E(G)}.引理1[7] 对任意连通图G(V,E),且|G|≥2,则有引理2[7] 对有相邻的最大度点的连通图G(V,E),且|G|≥2,则有猜想1[7] 对于简单图G(V,E)则有其中：Δ(G)为图G的最大度.文中未加说明的符号或术语可参考文献[4-6].1 主要结论定理1 设Cm,Cn分别是m个点的圈和n个点的圈,其中：m,n≥3,则有证明下面分两种情况讨论：记V(Cm)={wi0|i=1,2,…,m},V(Cn)={wij|i=1,2,…,m;j=0,1,…,n-1}.情况1 当m为偶数,n为偶数时,由于Δ(Cm·Cn)=4,且最大度点相邻,由引理知,为证明只需给出一个Cm·Cn的6-AVDVTC法.令f为f(wi,n-1wi0)=4;对此染色法色集合如下：显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Cn的6-AVDVTC法.情况2 当m为偶数,n为奇数时,由于Δ(Cm·Cn)=4,且最大度点相邻,由引理2知,为证明只需给出一个Cm·Cn的6-AVDVTC法.令f为f(wi0wi,n-1)=3,i=1,2,…,m;对此染色法色集合如下：C(wi,n-1)={1,2,3},i=1,2,…,m.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Cn的6-AVDVTC法.情况3 当m为奇数,n为偶数时,由于Δ(Cm·Cn)=4,且最大度点相邻,由引理2知,,为证明只需给出一个Cm·Cn的6-AVDVTC法.令f为f(wi,n-1wi0)=6;对此染色法色集合如下：C(wm0)={2,3,4,5,6};C(w10)={1,3,4,5,6}显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Cn的6-AVDVTC法.情况4 当m为奇数,n为奇数时,由于Δ(Cm·Cn)=4,且最大度点相邻,由引理2知,为证明只需给出一个Cm·Cn的6-AVDVTC法.令f为f(wi,n-1wi0)=6;对此染色法色集合如下：j=1,2,…,n-1;C(wi,n-1)={2,5,6};C(wm0)={2,3,4,5,6};C(w10)={1,3,4,5,6}.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Cn的6-AVDVTC法.定理2 设Cm,Sn分别是m个点的圈和n+1个点的星,其中：m,n≥3,则有证明记V(Cm)={ui|i=1,2,…,m},V(Sn)={vj|j=1,…,n}由引理2知,,为证明只需给出一个Cm·Sn的n+4-AVDVTC法,下面分两种情况讨论：情况1 当m为偶数时，仅需n种色{1,2,…,n}循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um,umu1,用n+3和n+4交替染点ui,i=1,2,…,m,用n+4染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(vj)={j,n+4},j=1,2,…,n.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Sn的n+4-AVDVTC法.情况2 当m为奇数时，仅需n种色(1,2,…,n)循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um;用n+3染边umu1;用n+4和n+3交替染点ui,i=1,2,…,m；用n+4染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(vj)={j,n+4},j=1,2,…,n.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Sn的n+4-AVDVTC法.定理3 设Cm,Fn分别是m个点的圈和n+1个点的扇,其中m,n≥3,则有证明记V(Cm)={ui|=1,2,…,m},V(Fn)={vj|j=1,…,n}由引理2知,为证明只需给出一个Cm·Fn的n+4-AVDVTC法,下面分两种情况讨论：情况1 当m为偶数时，仅需n种色{1,2,…,n}循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um,umu1,用n+3和n+4交替染点ui,i=1,2,…,m,用n+4和n+3交替染边v1v2,v2v3,…,vn-1vn,用n+2染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(v1)={1,n+2,n+4};C(vn)={n,n+2,n+3};C(vj)={j,n+2,n+3,n+4},j=2,3,…,n-1.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Fn的n+4-AVDVTC法.情况2 当m为奇数时，仅需n种色{1,2,…,n}循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um;用n+3染边umu1;用n+4和n+3交替染点ui,i=1,2,…,m-1,用n+4染点um;用n+4和n+3交替染边v1v2,v2v3,…,vn-1vn,用n+2染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(v1)={1,n+2,n+4};C(vn)={n,n+2,n+4};C(vj)={j,n+3,n+4},j=2,3,…,n-1.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Fn的n+4-AVDVTC法.定理4 设Cm,Wn分别是m个点的圈和n+1个点的轮,其中m,n≥3,则有证明记V(Cm)={ui|i=1,2,…,m},V(Wn)={vj|j=1,…,n}由引理2知,为证明只需给出一个Cm·Wn的n+4-AVDVTC法,下面分两种情况讨论：情况1 当m为偶数时，仅需n种色{1,2,…,n}循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n}并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um,umu1,用n+4和n+3交替染点ui,i=1,2,…,m,用n+2和n+3交替染边v1v2,v2v3,…,vn-1vn,用n+4染边vnv1,用n+1染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(vn)={n,n+1,n+2,n+3};C(vj)={j,n+1,n+2,n+3},j=2,3,…,n-1.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Wn的n+4-AVDVTC法.情况2 当m为奇数时，仅需n种色{1,2,…,n}循环染{uivj|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n}并使之正常边着色;然后用n+1和n+2交替染u1u2,u2u3,…,um-1um;用n+4染边umu1,用n+3和n+4交替染点ui,i=1,2,…,m,用n+2和n+3交替染边v1v2,v2v3,…,vn-1vn,用n+4染边vnv1,用n+1染点vj,j=1,2,…,n.对此染色法色集合如下：C(vn)={n,n+1,n+2,n+4};C(vj)={j,n+1,n+2,n+3},j=2,3,…,n-1.显然,相邻两点的色集合不同,所以f为Cm·Wn的n+4-AVDVTC法.【相关文献】[1] 张忠辅,陈详恩,李敬文，等.关于图的邻点可区别全染色[J].中国科学( A辑:数学),2004(5):574-583.[2] Zhang Zhongfu,Qiu Pengxiang,Xu Baogen,et al.Vertex-diainguishing total coloring of graphs[J].Ars Comb,2008,87:33-45.[3] 李沐春,张忠辅.一类多重联图的邻点可区别E-全染色[J].纯粹数学与应用数学,2010(1):36-41.[4] Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Applications[M].London；Macmillan;New York:Elsevier,1986.[5] Douglas B.West.图论引导[M].北京:机械工业出版社,2006.[6] 李沐春,张忠辅.若干笛卡尔积的邻点可区别E-全染色[J].数学实践与认识,2009,39(3):215-219.[7] 李散文.图的若干可区别染色[R].中国电子学会电路与系统分会图论与系统优化专业委员会.[8] 刘西奎,王雅琴.几类冠图的邻强边色数[J].山东科技大学学报,2006,25(4)：101-103.。