中考数学总复习专题训练三角形与四边形综合题练习
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1 三角形与四边形综合题
04 三角形与四边形综合题
1.[2020·玉林] 如图ZT4-1,点A,B在双曲线y=3𝑥(x>0)上.点C在双曲线y=1𝑥(x>0)上,若AC∥y轴,BC∥x轴,且AC=BC,则AB等于 ( )
图ZT4-1
A.√2 B.2√2 C.4 D.3√2
2.[2020·泰州] 如图ZT4-2,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为 .(用含α的式子表示)
图ZT4-2
3.[2020·衢州] 如图ZT4-3,点A,B是反比例函数y=𝑥𝑥(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC.已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC= .
图ZT4-3
4.[2020·陕西] 如图ZT4-4,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E,F是AB边上的点,且EF=12AB,G,H是BC边上的点,且GH=13BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 . 2
图ZT4-4
5.如图ZT4-5,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k≠0)经过点(a,√3a)(a>0),线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上(点B,C均不与原点O重合)滑动,且BC=2,分别作BP⊥x轴,CP⊥直线y=kx,交点为P.经探究,在整个滑动过程中,P,O两点间的距离为定值 .
图ZT4-5
6.如图ZT4-6,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点P,O,Q,连接BP,EQ.
(1)求证:四边形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.
图ZT4-6
3
7.[2020·湖州] 如图ZT4-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥=m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.
(1)如图①,过点E作EH⊥AB于点H,连接DH.
①求证:四边形DHEC是平行四边形;
②若m=√22,求证:AE=DF.
(2)如图②,若m=35,求𝑥𝑥𝑥𝑥的值.
图ZT4-7
8.[2020·凉山州] 如图ZT4-8,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,将▱ABCD沿EF所在直线翻折,使点B与点D重合,且点A落在点A'处.
(1)求证:△A'ED≌△CFD;
(2)连接BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积. 4 图ZT4-8
参考答案
1.B [解析] 点C在双曲线y=1𝑥上,AC∥y轴,BC∥x轴,设Ca,1𝑥,则B3a,1𝑥,Aa,3𝑥.∵AC=BC,∴3𝑥-1𝑥=3a-a,解得a=1(a=-1舍去).∴C(1,1),B(3,1),A(1,3).∴AC=BC=2.在Rt△ABC中,AB=√𝑥𝑥2+𝑥𝑥2=2√2.故选B.
2.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α.∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD.∴∠CEF=
∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α.∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴AE=BE.∴∠EBA=
∠BAC=90°-α.∴∠BEC=180°-2α.∴∠BEF=∠CEF+∠BEC=270°-3α.
3.5
4.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正确
[解析] 如图,连接AC,BD.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.
∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB.
∴S△AOB=2S1.
∵GH=13BC,
∴S2=13S△BOC.
∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.
5.4√33 [解析] ∵直线y=kx(k≠0)经过点(a,√3a)(a>0),∴√3a=ka,k=√3.∴∠BOC=60°.由题意可知,∠PCO=∠PBO=90°,∴∠PCO+∠PBO=180°.∴O,B,P,C四点共圆,OP为直径,如图.设圆心为D,分别连接CD和BD,过点D作DE⊥BC 5 于点E,则BE=12BC=1.∵∠BDC=2∠BOC=120°,∴∠BDE=60°,在Rt△BDE中,sin∠BDE=𝑥𝑥𝑥𝑥,∴BD=1√32=2√33,∴OP=2BD=4√33.
6.解:(1)证明:∵PQ垂直平分BE,∴PB=PE,OB=OE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.在△EOP和△BOQ中,{∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∴△EOP≌△BOQ(ASA).∴PE=QB.又∵AD∥BC,∴四边形BPEQ是平行四边形.又∵PB=PE,∴四边形BPEQ是菱形.
(2)∵O,F分别为PQ,AB的中点,∴AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x.在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8,BE=18-x=10.∴OB=12BE=5.设PE=y,则AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=254.在Rt△BOP中,PO=√(254) 2-52=154.∴PQ=2PO=152.
7.解:(1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA,
∴△BHE∽△BAC.∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥.∵𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥,∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥.∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥.∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四边形DHEC是平行四边形.
②∵𝑥𝑥𝑥𝑥=√22,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵𝑥𝑥𝑥𝑥=√22,HE=DC,∴𝑥𝑥𝑥𝑥=√22.∵∠BHE=90°,∴BH=HE.∵HE=DC.∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=
∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.
(2)如图,过点E作EG⊥AB于点G.∵∠BAC=90°,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB.∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥.∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥=35.∵𝑥𝑥𝑥𝑥=35,∴EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,则BE=5x,BC=5y.∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,
∴∠AFM=∠AEG.又∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥=3𝑥-3𝑥4𝑥-4𝑥=34.
8.解:(1)证明:由翻折的性质可知,A'D=AB,∠DEF=∠BEF,∠BFE=∠DFE,∠A=∠A'.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,∠C=∠A,AD∥BC. 6 ∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠DEF=∠BFE.
∴∠DEF=∠BFE=∠BEF=∠EFD.
∴180°-(∠DEF+∠BEF)=180°-(∠BFE+∠EFD),
即∠AEB=∠DFC.
又∵∠AEB=∠A'ED,∴∠DFC=∠A'ED.
在△A'ED和△CFD中,{∠𝑥'𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∠𝑥'=∠𝑥,𝑥'𝑥=𝑥𝑥,
∴△A'ED≌△CFD(AAS).
(2)过点E作EH⊥BC于点H.
∵∠EBF=60°,∠BEF=∠BFE,EF=3,
∴△EBF是等边三角形.
∴FH=32,EH=√𝑥𝑥2-𝑥𝑥2=32 √3.
由折叠可知△DEF≌△BEF,
∴四边形BFDE的面积=2S△BEF=BF·EH=3×32 √3=92 √3.
