中考数学专题训练——圆与四边形综合 (1)
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中考数学专题训练——圆与四边形综合
1. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶 是对角线，∠𝐶𝐴𝐵=90∘，以点 𝐴 为圆心，以 𝐴𝐵
的长为半径作 ⊙𝐴，交 𝐵𝐶 边于点 𝐸，交 𝐴𝐶 于点 𝐹，连接 𝐷𝐸．
(1) 求证：𝐷𝐸 与 ⊙𝐴 相切；
(2) 若 ∠𝐴𝐵𝐶=60∘，𝐴𝐵=4，求阴影部分的面积．
2. 如图，𝑂 是正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 对角线 𝐴𝐶 上一点，以 𝑂 为圆心、 𝑂𝐴 的长为半径的 ⊙𝑂
与 𝐵𝐶 相切于 𝑀，与 𝐴𝐵，𝐴𝐷 分别相交于 𝐸，𝐹．
(1) 求证：𝐶𝐷 与 ⊙𝑂 相切．
(2) 若正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的边长为 1，求 ⊙𝑂 的半径．
(3) 对于以点 𝑀，𝐸，𝐴，𝐹 以及 𝐶𝐷 与 ⊙𝑂 的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明．
3. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以 𝐴𝐵 为直径的圆交 𝐴𝐶 于点 𝐷，交 𝐵𝐶 于点 𝐸，延长 𝐴𝐸 至点 𝐹，使 𝐸𝐹=𝐴𝐸，连接 𝐹𝐵，𝐹𝐶．
(1) 求证：四边形 𝐴𝐵𝐹𝐶 是菱形．
(2) 若 𝐴𝐷=7，𝐵𝐸=2，求半圆和菱形 𝐴𝐵𝐹𝐶 的面积． 4. 如图，已知 △𝐴𝐵𝐶 内接于 ⊙𝑂，且 𝐴𝐵=𝐴𝐶，直径 𝐴𝐷 交 𝐵𝐶 于点 𝐸，𝐹 是 𝑂𝐸 上的一点，使 𝐶𝐹∥𝐵𝐷．
(1) 求证：𝐵𝐸=𝐶𝐸．
(2) 试判断四边形 𝐵𝐹𝐶𝐷 的形状，并说明理由．
5. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 内接于 ⊙𝑂，且 𝐶𝐷∥𝐴𝐵，连接 𝐴𝐶，且 𝐴𝐶=𝐴𝐵，过点 𝐴 作
⊙𝑂 的切线 𝐴𝐸 交 𝐶𝐷 的延长线于点 𝐸．
(1) 求证：四边形 𝐴𝐵𝐶𝐸 为平行四边形；
(2) 若 𝐴𝐵=13，𝐴𝐸=10，求 ⊙𝑂 的半径．
6. 如图，在 ⊙𝑂 中，𝐴𝐵⏜=𝐴𝐶⏜，∠𝐴𝐶𝐵=60∘．
(1) 求证：∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶；
(2) 若点 𝐷 是 𝐴𝐵⏜ 的中点，求证：四边形 𝑂𝐴𝐷𝐵 是菱形．
7. 如图，扇形 𝑂𝐴𝐵 的半径 𝑂𝐴=3，圆心角 ∠𝐴𝑂𝐵=90∘，点 𝐶 是 𝐴𝐵⏜ 上异于 𝐴，𝐵 的动点，过点 𝐶 作 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴 于点 𝐷，作 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 于点 𝐸，连接 𝐷𝐸，点 𝐺，𝐻 在线段 𝐷𝐸 上，且 𝐷𝐺=𝐺𝐻=𝐻𝐸．
(1) 求证：四边形 𝑂𝐺𝐶𝐻 是平行四边形；
(2) 当点 𝐶 在 𝐴𝐵⏜ 上运动时，在 𝐶𝐷，𝐶𝐺，𝐷𝐺 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
(3) 求证：𝐶𝐷2+3𝐶𝐻2 是定值．
8. 过 ⊙𝑂 外一点 𝑃 向 ⊙𝑂 作切线 𝑃𝐴，𝐴 为切点，连接 𝐴𝑂 并延长交 ⊙𝑂 于点 𝐶，𝐵 为 ⊙𝑂 上一点，连接 𝐵𝑃．
(1) 如图，过点 𝐶 作 𝐶𝐷⊥𝑃𝐵，分别交 𝑃𝐵 于点 𝐸，交 ⊙𝑂 于点 𝐷，连接 𝐷𝐴，当 ∠𝐷𝐴𝐶=67∘ 时，求 ∠𝑃 的大小．
(2) 如图，点 𝑄 为 ⊙𝑂 上一点，当四边形 𝐴𝐵𝑄𝑃 为菱形时，求 ∠𝐴𝑃𝐵 的大小．
9. 如图，在直角梯形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=8 cm，𝐴𝐷=24 cm，𝐵𝐶=26 cm，𝐴𝐵 为 ⊙𝑂 的直径．动点 𝑃 从点 𝐴 开始沿 𝐴𝐷 边向点 𝐷 以 1 cm/s 的速度运动，动点 𝑄 从点 𝐶 开始沿 𝐶𝐵 边向点 𝐵 以 3 cm/s 的速度运动，𝑃，𝑄 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为 𝑡，求：
(1) 𝑡 分别为何值时，四边形 𝑃𝑄𝐶𝐷 为平行四边形、等腰梯形？
(2) 𝑡 分别为何值时，直线 𝑃𝑄 与 ⊙𝑂 相切、相离、相交？ 10. 如图，点 𝐴，𝐷，𝐵，𝐶 都在 ⊙𝑂 上，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐷𝐶=30∘．
(1) ∠𝐵𝑂𝐶 的度数．
(2) 求证：四边形 𝐴𝑂𝐵𝐶 是菱形．
11. 如图，平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐴𝐵𝐶 的平分线 𝐵𝑂 交边 𝐴𝐷 于点 𝑂，𝑂𝐷=4，以点
𝑂 为圆心，𝑂𝐷 长为半径作 ⊙𝑂，分别交边 𝐷𝐴，𝐷𝐶 于点 𝑀，𝑁．点 𝐸 在边 𝐵𝐶 上，𝑂𝐸 交 ⊙𝑂 于点 𝐺，𝐺 为 𝑀𝑁⏜ 的中点．
(1) 求证：四边形 𝐴𝐵𝐸𝑂 为菱形；
(2) 已知 cos∠𝐴𝐵𝐶=13，连接 𝐴𝐸，当 𝐴𝐸 与 ⊙𝑂 相切时，求 𝐴𝐵 的长．
12. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶=90∘，以 𝐴𝐵 上一点 𝑂 为圆心，𝑂𝐴 长为半径的圆与 𝐵𝐶 相切于点 𝐷，分别交 𝐴𝐶，𝐴𝐵 于点 𝐸，𝐹．
(1) 若 𝐴𝐶=6，𝐴𝐵=10，求 ⊙𝑂 的半径；
(2) 连接 𝑂𝐸，𝐸𝐷，𝐷𝐹，𝐸𝐹．若四边形 𝐵𝐷𝐸𝐹 是平行四边形，试判断四边形 𝑂𝐹𝐷𝐸
的形状，并说明理由．
13. 如图 1，直线 𝑦=−43𝑥+8 与 𝑥 轴、 𝑦 轴分别交于点 𝐴，𝐶，以 𝐴𝐶 为对角线作矩形 𝑂𝐴𝐵𝐶，点 𝑃，𝑄 分别为射线 𝑂𝐶 、射线 𝐴𝐶 上的动点，且有 𝐴𝑄=2𝐶𝑃，连接 𝑃𝑄，设点 𝑃 的坐标为 𝑃(0,𝑡)．
(1) 求点 𝐵 的坐标；
(2) 若 𝑡=1 时，连接 𝐵𝑄，求 △𝐴𝐵𝑄 的面积；
(3) 如图 2，以 𝑃𝑄 为直径作 ⊙𝐼，记 ⊙𝐼 与射线 𝐴𝐶 的另一个交点为 𝐸．
①若 𝑃𝐸𝑃𝑄=35，求此时 𝑡 的值；
②若圆心 𝐼 在 △𝐴𝐵𝐶 内部（不包含边上），则此时 𝑡 的取值范围为 （直接写出答案）．
14. 在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，以 𝐸𝐹 为直径的半圆 𝑀 如图所示位置摆放，点
𝐸 与点 𝐴 重合，点 𝐹 与点 𝐵 重合，点 𝐹 从点 𝐵 出发，沿射线 𝐵𝐶 以每秒 1 个单位长度的速度运动，点 𝐸 随之沿 𝐴𝐵 下滑，并带动半圆 𝑀 在平面滑动，设运动时间 𝑡(𝑡≥0)，当 𝐸 运动到 𝐵 点时停止运动．
(1) 发现：𝑀 到 𝐴𝐷 的最小距离为 ，𝑀 到 𝐴𝐷 的最大距离为 ；
(2) 思考：
①在运动过程中，当半圆 𝑀 与矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的边相切时，求 𝑡 的值；
②求从 𝑡=0 到 𝑡=4 这一时间段 𝑀 运动路线长；
(3) 探究：当 𝑀 落在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线 𝐵𝐷 上时，求 𝑆△𝐸𝐵𝐹．
15. 在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 于点 𝐸，点 𝑂 是线段 𝐴𝐶 上的一点，以 𝐴𝑂 为半径作圆 𝑂 交线段 𝐴𝐶 于点 𝐺，设 𝐴𝑂=𝑚．
(1) 直接写出 𝐴𝐸 的长：𝐴𝐸= ；
(2) 取 𝐵𝐶 中点 𝑃，连接 𝑃𝐸，当圆 𝑂 与 △𝐵𝑃𝐸 一边所在的直线相切时，求出 𝑚 的长；
(3) 设圆 𝑂 交 𝐵𝐸 于点 𝐹，连接 𝐴𝐹 并延长交 𝐵𝐶 于点 𝐻．
①连接 𝐺𝐻，当 𝐵𝐹=𝐵𝐻 时，求 △𝐵𝐹𝐻 的面积；
②连接 𝐷𝐺，当 tan∠𝐻𝐹𝐵=3 时，直接写出 𝐷𝐺 的长，𝐷𝐺= ．
16. 如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=6 cm，𝐴𝐷=8 cm．点 𝑃 从点 𝐵 出发，沿对角线 𝐵𝐷
向点 𝐷 匀速运动，速度为 4 cm/s，过点 𝑃 作 𝑃𝑄⊥𝐵𝐷 交 𝐵𝐶 于点 𝑄，以 𝑃𝑄 为一边作正方形 𝑃𝑄𝑀𝑁，使得点 𝑁 落在射线 𝑃𝐷 上，点 𝑂 从点 𝐷 出发，沿 𝐷𝐶 向点 𝐶 匀速运动，速度为 3 cm/s，以 𝑂 为圆心，0.8 cm 为半径作圆 𝑂，点 𝑃 与点 𝑂
同时出发，设它们的运动时间为 𝑡（单位：𝑠）（0<𝑡<83）．
(1) 如图，连接 𝐷𝑄，当 𝐷𝑄 平分 ∠𝐵𝐷𝐶 时，𝑡 的值为 ．
(2) 如图，连接 𝐶𝑀，若 △𝐶𝑀𝑄 是以 𝐶𝑄 为底的等腰三角形，求 𝑡 的值；
(3) 请你继续连行探究，并解答下列问题：
① 证明：在运动过程中，点 𝑂 始终在 𝑄𝑀 所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当 𝑄𝑀 与圆 𝑂 相切时，求 𝑡 的值；并判断此时 𝑃𝑀
与圆 𝑂 是否也相切？说明理由．
