高一数学必修第一册 第6章 第一节 获取数据的途径及统计概念(解析版)

新教材湘教版2019版数学必修第一册第6章知识点清单目录第6章统计学初步6. 1 获取数据的途径及统计概念6. 2 抽样6. 3 统计图表6. 4 用样本估计总体第6章统计学初步6. 1 获取数据的途径及统计概念 6. 2 抽样一、收集数据1. 从使用者的角度看，统计数据主要来自两条途径：间接来源和直接来源.2. 间接来源数据又称为二手数据，二手数据来源虽然方便，但从使用者角度可能有诸多不能满足需要的地方. 这时就要通过调查和实验的方法直接获得第一手数据.二、统计中的几个基本概念三、简单随机抽样1. 一般地，设一个总体含有N个个体，从中无放回地抽取n(n≤N)个个体作为样本，如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.2. 把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.3. 常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.四、分层抽样1. 当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样.五、抽签法和随机数法 1. 抽签法的步骤(1)假设一个总体有N个个体，将它们逐一编号；(2)制作N个号签(号签可以用小球、纸片等制作)，将编号写在号签上；(3)将号签放在一个容器中，并充分搅拌均匀；(4)从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本.2. 随机数法的步骤假设一个总体有N个个体，将它们逐一编号，然后利用抽签法或者借助计算机在1~N中产生n个随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，就得到一个容量为n 的样本.六、分层抽样 6. 3 统计图表一、基本的统计图二、频率分布表和频率分布直方图绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤1. 计算极差(即一组数据中最大值与最小值的差).2. 确定组距与组数. 为了分组方便，一般取等长组距，并且组距应“取整”，组数应适当，当样本容量不超过100时，常分成5~12组.极差、组距、组数之间有如下关系：(1)若极差组距为整数，则组数=极差组距；(2)若极差组距不为整数，则组数=[极差组距]+1. ([x]表示不大于x的最大整数)3. 将数据分组.4. 列频率分布表. 统计各组数据的频数，计算数据落入各组的频率，列出频率分布表.5. 画频率分布直方图. 根据频率分布表，画出频率分布直方图. 在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，各个小矩形的面积表示相应各组的频率.三、频率分布折线图1. 如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图.2. 频率分布直方图 由频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论：(1)每个小矩形的面积=组距×频率组距=频率；(2)各小矩形的面积之和等于1；(3)频数样本容量=频率，此关系式的变形为频数频率=样本容量，样本容量×频率=频数.6. 4 用样本估计总体一、用样本估计总体的集中趋势1. 平均数平均数也称为均值，在统计学中具有重要的地位，是刻画一组数据集中趋势最主要的指标. 若样本容量为n，第i个个体是x i，则样本平均数x=x1+x2+⋯+x nn.在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用N i表示第i层(i=1，2，…，L)的个体总数，则有N=N1+N2+…+N L. 我们称W i=N iN(i=1，2，…，L)为第i层的层权. 对i=1，2，…，L，用x i表示从第i层抽出样本的均值. 我们称X=W1x1+W2x2+…+W L x L是总体均值μ的简单估计.2. 众数、中位数我们称观测数据中出现次数最多的数是众数，用M0表示.将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用M e表示.二、用样本估计总体的离散程度1. 极差在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示.2. 方差统计上，常采用方差来刻画一组数据波动的大小：若设y1，y2，…，y N是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2=(y1−μ)2+(y2−μ)2+⋯+(y N−μ)2N为总体方差或方差.总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向μ集中得越好.总体方差σ2也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小.类似地，若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，x n，用x表示这n个数据的均值，则称s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2 +…+(x n-x)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差.样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值x集中或离散的程度.样本方差依赖于样本的选取，带有随机性. 如果样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计.3. 标准差标准差是方差的算术平方根.如果σ2是总体方差，则称σ=√σ2是总体标准差﹔如果s2是样本方差，则称s=√s2是样本标准差.给定数据x1，x2，…，x n和均值x. 由方差计算公式知道，样本标准差s可以用下面的公式计算：s=√1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2].三、百分位数1. 百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以P r表示，其中r是区间[1，99]上的整数. 一个百分位数P r将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100-r)%的观测值大于或等于它，当r%=50%时，P r即对应中位数.四、估计总体的数字特征 1. 如果样本容量恰当，抽样的方法比较合理，那么样本的数字特征才能有效地反映总体的数字特征. 在允许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.2. 用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差. 一般地，样本容量越大，这种估计就越准确.五、频率分布直方图中数据的数字特征 1. 平均数、中位数、众数与频率分布直方图的关系：(1)众数在频率分布直方图中，就是最高的小矩形中某个(些)点的横坐标.(2)由于在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此在频率分布直方图中，中位数左侧和右侧的小矩形的面积和应该相等，据此可以估计样本数据的中位数.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图的平衡点. 用频率分布直方图估计平均数时，平均数的估计值等于频率分布直方图中各个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标(组中值)之积的和.2. 利用频率分布直方图求得的众数、中位数和平均数均为近似值，往往与由实际数据得出的结果不一致，但这些近似值能粗略估计众数、中位数和平均数.六、分层抽样中平均数及方差的计算 1. 平均数的计算公式设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1，x2，…， x n和w1，w2，…，w n，则这个样本的平均数x=w1x1+w2x2+…+w n .2. 方差的计算公式设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…， x n，方差分别为s12，s22，…， s n2，相应的权重分别为w1，w2，…，w n，则这个样本的方差为s2=∑n i=1w i[s i2+(x i-x)2]， x为.总样本数据的平均数. 其中，某层的权重=该层被抽中的个体数样本容量七、百分位数 1. 计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第一步，按照从小到大的顺序排列原始数据；第二步，计算i=np；第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.。

优点 缺点
普查
抽查
①所取得的资料更加全面、系统; ①迅速、及时;
②调查特定时段的社会经济现象总 ②节约人力、物力、财力,对
体的信息
个体信息的了解更详细
耗费大量的人力、物力、财力,时间 长、任务重
获取的信息不够全面、系统
3.总体和样本
名称 总体 样本 样本容量(样本量) 抽取 总体的分布
定义
调查对象的_全__体__
从总体中抽取的_部__分__ 样本中个体的_数__目__ 从总体中抽取的_部___分__的__过__程_
总体中各类数据的_______
百分比
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直接获取的数据称为二手数据.
()
(2)获取数据的方式一般有两种:普查和抽查. ( )
(3)要想准确知道全班同学的平均身高,可以抽查一个小组的同学. ( )
第六章 统 计 §1 获取数据的途径
必备知识·自主学习
1.直接获取与间接获取数据
直接获取 间接获取
概念
通过社会调查或__观__察_、__试__验_
等途径获取数据.
借助各种媒介,包括报纸杂志、 统计报表和年鉴、广播、电视 或互联网等获取数据.
数据名称
直接数据或_一__手__数据
间接数据或_二__手__数据
【补偿训练】 从一批零件中抽取10个,测得它们的长度(单位:cm)如下:
22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38 22.36 22.32 22.35 由此估计这批零件的平均长度.在此统计活动中: (1)总体为:_____________________________; (2)个体为: ____________________________; (3)样本为: ____________________________; (4)样本容量为: ____________________________.

样本容量
的公式进行解题.
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跟踪训练 一个容量为20的样本数据,分组后组距与频数如下表:
组距
[10,20)
[20,30)
[30,4பைடு நூலகம்)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据在区间(0,50)上的频率为
解析
.
区间(0,50)包括四部分的数据,在这四部分上的数据的频数和是2+3+4+5=14,样本容量为
②频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.
频率
③在直角坐标平面内画频率分布直方图时,横轴上是样本数据的分组,纵轴上是
的取值,这样每一组
组距
频率
频率
的频率可以用以该组的组距为底,
为高的小长方形的面积来表示,其中,小长方形的高=
=
组距
组距
频数
.
组距×样本容量
④同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴单位长度不同,得到的频率分布直方图的形状也会不同,不
直方图由样本决定,因此它们会随样本的变化而变化.(4)若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各
个频率会稳定在某一个值的附近,从而频率分布直方图中的各个小长方形的高度也会稳定在特定的值上.
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思考 绘制频率分布直方图应注意什么问题?
①各组频率的和等于1,因此各个小长方形面积的总和等于1.
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新知学习
1. 扇形图
扇形图（也称为饼图、饼形图）就是用一个圆表示总体，圆中

课时分层作业(三十三) 获取数据的途径(建议用时：40分钟)一、选择题1．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是()A.某城市B.某城市的所有家庭的收入C.某城市的所有人口D.某城市的工薪阶层B[因为要调查的是某城市家庭的收入情况，所以总体是某城市的所有家庭的收入．] 2．下面问题可以用普查的方式进行调查的是()A.检验一批钢材的抗拉强度B.检验海水中微生物的含量C.调查某小组10名成员的业余爱好D.检验一批汽车的使用寿命C[A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C 可以用普查的方式进行调查；D中试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法实现．]3．抽样调查在抽取调查对象时()A.按一定的方法抽取B.随便抽取C.全部抽取D.根据个人的爱好抽取A[抽样调查在抽取调查对象时必须要保证所抽取的样本具有代表性，使每个个体被抽入样的可能性相等，因此抽样时一定要注意按事先设计好的抽样方法抽取样本．] 4．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()A.1 000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100D[此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A，B，C错，故选D.]5．对于下列调查：①测定海洋中微生物的含量；②某种灯泡使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞．其中不属于抽样调查的是()A.①②B．③④C.②③D．④D[银行在收进储户现金时要对钞票逐X检验，所以不是抽样调查．]二、填空题6．某地区流行一种病毒，在病毒发作区，对与病毒携带者亲密接触的人要进行检查，所采用的方法是________．[答案]普查7．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．(填序号)③[①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般情况，因此不能用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．] 8．下列问题中，适合抽样调查的是________．(填序号)①调查黄河的水质情况；②调查某药品生产厂家一批药品的质量情况；③进行某一项民意测验．①②③[①因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；②对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；③由于民意测验的特殊性，不可能对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式．]三、解答题9．为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？[解]统计的总体是指该地10 000名高一学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200.若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．10．一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是某某小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？[解]小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．11．为调查参加运动会的800名运动员的年龄情况，从中抽查了80名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()A.800名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的80名运动员是样本D.样本容量是80D[此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A，B，C错，故选D.]12．下列调查所抽取的样本具有代表性的是()A.利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B.在农村调查市民的平均寿命C.利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D.为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验D[A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命；C项中实验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大，只有D项正确．]13．给出以下调查：①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；②了解一批炮弹的杀伤力；③某饮料厂对一批产品质量进行检查；④调查观众对2020年央视春晚节目的满意度；⑤检查航天设备中各零件产品的质量．其中适宜用抽样调查的是________(将正确答案的序号全填上).②③④[若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要．驾校训练的学员直接影响驾驶安全，必须普查；炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；央视春晚节目的满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；航天设备不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查，应采用普查．答案：②③④]14．在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半．如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：候选人 赵明 钱红 孙华 李丽 周鹏得票数 300 100 30 60 x请问如果周鹏获胜，那么周鹏的得票数x 的最小值为________．490[根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x 不低于总票数的一半，即x 300＋100＋30＋60＋x ≥12⇒x ≥490，且x ∈N ，即周鹏得票数至少为490票．]15．某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象．校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？[解] 由于学生的身高会随着年龄的增长而增高，校医务室想了解全校高中学生的身高情况，在抽样时应当关注高中各年级学生的身高，并且还要分性别进行抽查．如果只抽取高一的学生，结果一定是片面的．这个问题涉及的调查对象的总体是某校全体高中学生的身高，其中准备抽取的50名学生的身高是样本．。