高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解高效测评试题新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解. 9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1). 解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为 1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n 次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3．1.2用二分法求方程的近似解基础达标1．已知函数y＝f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()．A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案 D2．设方程2x＋2x＝10的根为β则β∈()．A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)解析设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点．f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0.∴β∈(2,3)．答案 C3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，f(0.74)＞0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()．A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6解析∵f(0.72)·f(0.68)＜0，且|0.72－0.68|＜0.1，∴f(x)的一个正零点x0∈(0.68,0.72)，∴x0＝0.7可作为零点的近似值．答案 C4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间[2,4]的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是________．解析∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，因此f(3)·f(4)＞0，∴x0∈(2,3)．答案(2,3)5．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?解析设n次“二分”后精确度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n＜0.01，即2n＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100.故要经过7次二分后精确度达到0.01.答案76．(2013·合肥高一检测)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________(精确度0.1)．解析由表知|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.437 5.答案 1.437 5(不唯一)7．证明函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．证明 由于f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0，又函数f (x )是增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈(1,2)．下面用二分法求解：区间 中点的值 中点函数近似值(1,2) 1.5 1.328 (1,1.5) 1.25 0.128 (1,1.25) 1.125 －0.444 (1.125,1.25)1.187 5－0.160因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6精确度为0.1的零点可取为1.25.能力提升8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )．A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]， ∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]， 第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 答案 D9．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b . 答案 a 2＝4b10．利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)．解作出y＝lg x，y＝2－x的图象，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1,2)；f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.5,2)；f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.75,2)；f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x∈(1.75,1.875)；f(1.75)＜0，f(1.812 5 )＞0⇒x∈(1.75,1.812 5)；∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5.。

一．选择题1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )【答案】C2．若函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下5 A ． 1.2 B ． 1.3125 C ． 1.4375 D ． 1.25 【答案】B【解析】由图中参考数据可得 1.31250f （）＜， 1.3750f （）＞ ，又因为题中要求精确到0.1，1375 1.31250.1．－＜所以近似根为1.3125 故选 B ．3．对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2014)<0，f (2015)<0，f (2016)>0，则下列叙述正确的是 ( )A ． 函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点B ． 函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点C ． 函数f (x )在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个D ． 函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 【答案】D【解析】由题意，根据零点存在定理，因为201402015020160f f f （）＜，（）＜，（）＞，所以函数f x （） 在(20142015，） 内可能存在零点， f x （）在20142016（，） 内存在零点， 故选D ．4．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反， 由图象可得，只有C 能满足此条件． 故选C ． 学#￥科网5．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，f (a )·f ()＞0.则 ( )A ． f (x )在[a ，]上有零点B ． f (x )在[，b ]上有零点C ． f (x )在[a ，]上无零点D ． f (x )在[，b ]上无零点【答案】B二．填空题6．用二分法求函数f(x)＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：【答案】1.56【解析】因为函数f(x)＝3x－x －4，令f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在(a ，b)内有实根，从而x ≈1.56.7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1) 【答案】0.75或0.6875【解析】因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1， 所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．8.用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________． 【答案】(0,0.5) f (0.25)【解析】由零点的存在性可知，x 0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f (0.25)． 三．解答题9、已知函数f(x)＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的一个根． 【答案】(1) (1,2);(2) .所以f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0.所以函数零点在(0,1)上，又f＝0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的一个根为.10．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．【答案】[1.5,2]．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课后强化作业 新人教A 版必修1一、选择题1．用二分法如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4[答案] C2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，d )内D ．等于a ＋b2[答案] D3．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的，x ，f (x )对应值表如下：x 1 2 3 4 5 6 f (x )12.0413.89－7.6710.89－34.76－44.67A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]和[4,5]和[5,6][答案] C4．f (x )＝x 4－15，下列结论中正确的有( )①f (x )＝0在(1,2)内有一实根；②f (x )＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f (x )＝0没有小于－2的根；⑤f (x )＝0有四个实根．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案] C[解析] ①②③④正确，⑤不正确．5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x 0＝a ＋b2与真实零点的误差最大不超过( )A ．ε4B ．ε2C ．εD ．2ε[答案] B[解析] 真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b2－a ＝b －a 2＝ε2，因此误差最大不超过ε2.二、填空题7．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：[答案] 1.4375(或1.375)[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．8．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．[答案] (2,2.5)[解析] ∵f (2)<0，f (2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．9．用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[答案] 0.75(答案不唯一)[解析] 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．三、解答题10．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．[解析] 依题意0.12n ＜0.01，得2n＞10.故n 的最小值为4.11．利用二分法求3的一个近似值(精确度0.01)．[解析] 令f (x )＝x 2－3，因为f (1)＝－2＜0，f (2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点x 0，即为3，取区间(1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：值．12．方程x 5＋x －3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．[解析] 考查函数f (x )＝x 5＋x －3， ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝31>0，∴函数f (x )＝x 5＋x －3在区间(1,2)有一个零点x 0.∵函数f (x )＝x 5＋x －3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，x0∈(1.125,1.1406 25)．由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.。