探索三角形全等的条件

《探索三角形全等的条件》教学案例
三角形全等，是初中几何重要的一部分，是证明线段相等、角相等以及学习圆的相关知识的重要根据。结合课程标准
和学生的认知水平、年龄特征，确定本节课的教学目标、重点和难点，培养学生探索、操作、归纳的水平，并且让学生
在讨论的过程中体验分类的思想。

案例描述
师：“在前面，我们以前一起研究过三角形的组成以及全等三角形的定义和性质，现在让我们每人画一个漂亮的三角
形。”我在黑板上画，学生在自己的本上画。“现在我们来看一看，三角形是由哪些元素组成的呢？”

很快有学生回答：“三个角和三条边。”
师：“你能再画一个和它全等的三角形吗？”好奇心和求知欲使学生进入了思考。“现在，谁能设计一套方案，画一
个和这个三角形全等的三角形？能够小组讨论。”

著名教育家陶行知先生说：“发明千千万，起点是一问。”学生学习就要向老师求教，向周围的同学求教。问题是思
考的对象，是思维发展的产物，没有问题就无法展开思维活动。这样从应用的迫切性来激发学生的尝试欲望。如果你想
得到与前一个三角形全等的三角形，你就得亲自尝试去获得成功的设计方案，根据这种思想组织课堂活动。

二、点拨尝试，学法指导
师：现在，同学们有没有自己的设计方案呀？谁能勇敢地给大家展示一下呢？
生1：老师，我来说一个设计方案吧，我猜想，只要画一个和这个已知的三角形三边对应相等，三个角也对应相等的三
角形，那肯定和已知的三角形全等。

没有等到我说什么，生2站了起来。
生2：老师，我认为他说的没错，这样的两个三角形肯定能重合，根据定义，确实能够得到两个全等的三角形。但是，
用六个条件画全等三角形，是不是太麻烦了？能不能再简单点呀？

师：是呀，是不是只有一种方案呢？谁还有更简单一点的设计方案呢？
生3：老师，我们小组认为只要三组边对应相等，也画出了一个与前一个三角形全等的三角形。
师：那好，你们小组谁能上前来简单演示一下呢？
生3到黑板演示，大家在下面模仿他画，最后得到大家的认可与肯定。
师：很好，这套方案设计得很成功。那么，抛砖引玉，有谁还能设计出与他们不同的方案呢？
将数学问题的解决贯穿于整个教学过程的始终，培养学生使用数学知识分析问题和解决问题的水平，是中学数学的基
本目的之一。合情猜想是对研究的对象或问题实行观察、实验、分析、比较、类比、归纳等，依据已有的材料、知识，
作出符合一定经验与事实的推测性想像的思维方法。波利亚指出：“在你证明一个数学定理之前，必须猜到这个定理证
明的主导思想。”所以，我们要扬长避短，让学生既学会猜想，又学会证明。学生喜欢在比较中学习新知识，这样便于
学，易于记，学生在复习旧课中不知不觉进入新课，通过学习的“迁移”扩展新知识。

很快，学生逐步举起了手。
生4：老师，我们小组设计的方案与前两种方案不同。
师：太好了，请你们选个代表上黑板前来展示一下。
一学生在黑板上边演示边解说：我们小组发现，如果只有两组边和它们的夹角对应相等同样能够得到一个与前一个三
角形全等的三角形。
同样，其他学生跟他一起在本上画，也发现这名学生的设计方案可行。
这时，有人又提出问题。
生5：老师，如果有两组边对应相等，而相等的角不是它们的夹角，而是一组边的对角，能不能得到全等三角形呀？
师：是呀，能不能呢？让我们一起来画画吧。
我有意让学生自己通过作图得出结论。结果，有的同学画出了与前一个三角形全等的三角形，有的同学没有画出。我
让他们在黑板上把两种图形都画了出来。

师：现在我们一起来看一看，这两个图形满足的条件是不是相同呢？
生4：老师，这两个图形满足的条件是相同的，但得到的图形并不能都和原三角形全等，我们小组试验过了。
同学们也都同意他的结论。
师：那为什么会出现这种情况呢？
学生讨论后，得出结论：也就是说，如果两个三角形满足三边对应相等和两边及夹角对应相等的条件时，三角形的形
状稳定，而满足两边及一边对角对应相等的两个三角形，形状并不稳定。所以，这个设计方案不成功。

生6：老师，我们小组的设计方案与生4的相反，我们的发现也能成功得到全等三角形。
师：那好，你们也选个代表上黑板来展示一下吧。
生6：我们的设计方案是有两组角和夹边对应相等。
生6在黑板上演示，同学们在下面跟着画，发现也是成功的设计方案。
这时，又有人提出质疑：老师，那已知两组角和一角的对边对应相等，能不能也得到稳定的三角形呢？
师：这个问题提得好，我们大家来讨论一下吧。
生7：老师，我认为能够得到一个全等的三角形，因为根据三角形内角和定理，能够转化成两角和夹边相等的情形。
师：同学们，生7说得对不对呢？
大家一致通过。
三、变式训练，发展思维
师：“通过我们今天设计的几组方案，有谁能够找出几组全等的三角形呢？并且说出依据哪套设计方案。”我出示了
一套寻找全等三角形的图形题。

四、归纳总结，纳入系统
师：现在有谁能就今天这几套设计方案实行总结呢？
生8：老师，我发现今天的这几个设计方案都是满足三个条件才能得到全等三角形的。
生9：老师，我还发现每一组条件中都有一个条件是边。
师：如果用“S”来表示边，用“A”来表示角，三边对应相等的简称为“SSS”，两边及一夹角对应相等的简称为
“SAS”，那么，谁能把今天的其他设计方案命名呢？

生10：我想的不是太好，能够试一试吗？
师：能够呀，你说说看吧。
生10：两组角及夹边相等的，简称为“ASA”，两组角及一角对边相等的，简称为“AAS”。
师：太好了，这就是我想对大家说的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，在我们还没有说出名称之
前，同学们就能很准确地说出它们的简称，真的很棒。同时，同学们还能够知道，满足这四种条件的三角形是具有稳定
性的，而其他条件会怎样呢？同学们回去之后，再探索一下，满足两个条件，甚至是满足一个条件，或者是满足三个角
对应相等的条件，能不能也得到全等的三角形呢？学生陷入深深的思索。