5.2一元一次方程的解法——七年级数学北师大版(2024)上册课时优化训练1.已知关于x的方程的解为,则m的值等于( )A.2B.C.4D.2.运用等式的性质,下列变形不正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则3.当时，式子与的值相等，则b的值为( )A.-6B.-7C.6D.74.小明解方程的步骤如下.解析：方程两边都乘6，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得.④以上解题步骤中，开始出错的一步是( )A.①B.②C.③D.④5.已知是关于y的方程的解，那么关于x的方程的解是( )A. B. C. D.6.若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是( )A. B. C.1 D.07.在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是( )A. B. C. D.8.若关于x的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的和为( )A.-5B.-4C.-2D.09.若,则,依据是______.10.幻方，最早于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为_________.11.已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是_________.12.若a，b，c，d均为有理数，现规定一种新的运算：，若已知，则_________.13.观察下列两个等式：，.给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为.如：数对，都是“同心有理数对”.根据上述材料，解答下列问题：（1）数对，中，是“同心有理数对”的是__________；（2）若是“同心有理数对”，求a的值；（3）若是“同心有理数对”，则是否为“同心有理数对”？请说明理由.14.解方程：(1)；(2).答案以及解析1.答案：C解析：∵关于x的方程的解为,∴,解得,故选C.2.答案：D解析：A、两边都-7,等式仍成立,故本选项不符合题意;B、两边都乘以c,等式仍成立,故本选项不符合题意;C、两边都乘以m,等式仍成立,故本选项不符合题意.D、两边都除以c,且,等式才成立,故本选项符合题意.故选:D.3.答案：A解析：因为当时，式子与的值相等，所以，去括号，得，移项，得，合并同类项，得.4.答案：A解析：方程两边都乘6应为，故开始出错的步骤为①.5.答案：D解析：因为是关于y的方程的解，所以，所以，所以关于x的方程为，去括号，得，解得.6.答案：C解析：将代入原方程得，去分母得，去括号得，移项、合并同类项得，解得，所以k的值为1.故选C. 7.答案：B解析：由题意知，是方程的解.把代入，得，解得，所以原方程为，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得.故选B.8.答案：B解析：去分母得，去括号得，移项、合并同类项得.当，即时，解得.因为方程的解为非正整数，且k为整数，所以，，，，解得，0，，，则符合条件的所有整数k的和为.故选B.9.答案：等式的性质(或等式的性质2)解析：∵,两边都除以：,,∴,故答案为：等式的性质2.10.答案：-2解析：依题意得，解得.故答案为-2.11.答案：45解析：因为，所以，所以.因为，所以，所以，故答案为45.12.答案：解析：可化为，解得.故答案为.13.答案：（1）（2）（3）是“同心有理数对”.理由见解析解析：（1）因为，，，所以数对不是“同心有理数对”.因为，，所以，所以是“同心有理数对”.故答案为.（2）因为是“同心有理数对”，所以.等式两边同时减去a，得.整理得.等式两边同时加上1，得.整理得.等式两边同时除以5，得.（3）是“同心有理数对”.理由如下：因为是“同心有理数对”，所以，而，所以是“同心有理数对”.14.答案：(1)(2)解析：(1),去括号,得,移项合并,得,化系数为1,得；(2),去分母,得,移项,得,合并同类项,得,化系数为1,得.。
专题2.2 一元一次不等式【九大题型】【北师大版】【题型1 一元一次不等式的概念辨析】 (1)【题型2 一元一次不等式的解法】 (2)【题型3 一元一次不等式的整数解】 (2)【题型4 在数轴上表示不等式的解】 (3)【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 (3)【题型6 一元一次不等式的最值问题】 (4)【题型7 解|x|≥a型不等式】 (4)【题型8 方程与不等式的综合求参数范围】 (5)【题型9 新定义问题与不等式的综合运用】 (6)【知识点一元一次不等式】（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.（2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.【题型1一元一次不等式的概念辨析】【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）已知(m+2)x|m+3|−1>2是关于x的一元一次不等式，求m 的值．【变式1-1】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）下列是一元一次不等式的是（）A．4x+3B．5x2−3>1C．x−3y>1D．5−x≤1【变式1-2】（2023春·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）−x≥5；（2）y−3x<0；（3）xπ+5<0；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．0个【变式1-3】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）若(m+1)x m2−3>0是关于x的一元一次不等式，则m 的值为．【题型2 一元一次不等式的解法】【例2】（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市第十五中学校考期末）当x 取何值时，代数式x 32与2x−13的值的差不大于1．【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）下面是兰兰同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：解不等式：x 14−2x−13>2．解：去分母，得3(x +1)−4(2x−1)>24 第一步去括号，得3x +3−8x +4>24 第二步移项，得3x−8x >24+3+4 第三步合并同类项，得−5x >31 第四步系数化为1，得x <−315 第五步任务：(1)上述过程中，第一步的依据是________，第________步出现错误，具体错误是________．(2)该不等式的解集是________________．【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）解不等式：(1)5(x−1)+2>3x +1；2x−53−1．【变式2-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）非负数x ，y 满足x−12=2−y3，记W =3x +4y ，W 的最大值为m ，最小值n ，则m +n = ．【题型3 一元一次不等式的整数解】【例3】（2023春·河南新乡·的值不小于78−1−x 3的值，则满足条件的x 的最小整数值为 ．【变式3-1】（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）已知不等式2x +a ≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，那么a 满足条件（ ）A ．6<a <8B ．a ≥6C ．6≤a <8D ．a ≤6【变式3-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）不等式−3x +5<12的负整数解有．【变式3-3】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）已知关于x 的方程2x−a =3，若该方程的解是不等式3(x−2)+5<4(x−1)的最小整数解，求a的值．【题型4在数轴上表示不等式的解】≤x+2的解集在数轴上表示正确的是（）【例4】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）不等式x−43A．B．C． D.【变式4-1】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）整式5m−P．(1)当m=3时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的正整数值．的解集在数轴上表示如图所【变式4-2】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如果关于x的不等式x≥a−12示，那么a的值为．【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）设“○”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【题型5含参数的一元一次不等式的解法】【例5】（2023春·上海静安·六年级上海田家炳中学校考期中）如果关于x的不等式(k−1)x>k+5和2x>4的解集相同，则k的值为．【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的不等式2m−mx2>12x−1．(1)当m=1时，求该不等式的正整数解(2)m取何值时，该不等式有解，并求出其解集【变式5-2】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）已知不等式2x−m<3(x+1)的负整数解只有5个，则m 的取值范围是．【变式5-3】（2023春·辽宁营口·八年级校考期中）若不等式x22<x−x−53的解都能使不等式x>2m+3成立，则实数m的取值范围是．【题型6一元一次不等式的最值问题】【例6】（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知实数a，b，c，a+b=2，c−a=1．若a≥−3b，则a+b+c的最大值为．【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知有关x的方程x12=1−x−15的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）已知x<a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．（2）已知x>a的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是．【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式2x−1≤13中的最大值是m，不等式−3x−1≤−7中的最小值为n，则不等式nx+mn<mx的解集是．【题型7解|x|≥a型不等式】【例7】（2023春·四川眉山·八年级校考期中）请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集过程．对于绝对值不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的绝对值是是小于3的，所以|x|<3的解集为−3<x<3；对于绝对值不等式|x|>3，从图2的数轴上看：小于－3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|>3的解集为x<−3或x>3．(1)不等式|2x|<5的解集为______(2)不等式2⋅|3x−1|>10的解集为______(3)已知关于x、y的二元一次方程组2x−y=4m−5x+4y=−7m+2的解满足|x−2y|≤10，其中m是非负整数，求m的值．【变式7-1】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式|x−1|<1的解集是（）A．x>2B．x<0C．0<x<2D．x<0或x>2【变式7-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）解不等式：||x|−4|+|2x+3|>8【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级校考期中）阅读理解：例1．解方程|x|=2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|=2的解为x=±2．例2．解不等式|x−1|>2，在数轴上找出|x−1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程|x−1|=2的解为x=−1或x=3，因此不等式|x−1|>2的解集为x<−1或x>3．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x−2|=3的解为________(2)解不等式：|x−2|≤1．(3)解不等式：|x−4|+|x+2|>8．【题型8方程与不等式的综合求参数范围】【例8】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）关于x，y的方程组x+y=4y=2a的解满足x<2y，则a的取值范围为.【变式8-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知关于x的方程5x−2k=6+4k−x的解是非负数，求字母k的取值范围．。
北师大版七年级数学上册《5.2一元一次方程的解法》同步测试题附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（满分120分）1．解方程：3−1.2x=x−12．2．计算：(1)5x+8−7x=2x+4；(2)12x+1=23−2x．3．解方程：3(3x+5)=2(2x−1)．4．解方程：(1)13x−x+12=x−14；(2)4[12x−34(x−1)]=13(5+x)．5．解下列方程：(1)x6−30−x4=5；(2)3x0.5−1.4x0.4=5x−76．6．解方程：0.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．7．解下列方程：（1）5x−14=3x+12−2−x3；（2）3x+22−1=2x−14−2x+15．8．解方程2−x15+8x−914=7x−920+12x−1021．9．已知关于x的方程3(x−1)−m=m+32的解是x=4，求m的值．10．如果方程3x−14−1=5x−76的解与方程4x−(3a+1)=6x+2a−1的解相同，求a的值．11．已知关于x的方程：2(x−1)+1=x与3(x+m)=m−1有相同的解．(1)求m的值(2)求以y为未知数的方程3−my3=m−3x2的解．12．已知关于x方程2(x−5)=3m+1与方程3x+2=8的解互为相反数，求m的值．13．已知关于x的方程2−m−x3=0的解是关于x的方程6x−1=2x+7的解的4倍，求m的值．14．在解关于x的方程2x−13+1=2x+m5时，小马在去分母这一步骤中忘记将方程左边的“1”这一项乘公分母15，求出方程的解为x =4．(1)求m 的值；(2)写出正确的求解过程．15．若关于x 的方程2x 3−3x 6=1的解是关于x 的方程x +3a 2=7的解的2倍，求关于x 的方程−12ax +4=3的解．16．对于整数a ，b ，c ，d ，定义|a b dc |=ac −bd 如：|1423|=1×3−4×2=−5； (1)计算：|234−5|的值； (2)当|3x 54−2|=3−2x 时，求x 的值． 17．平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于3(x +1)−13(x −1)=2(x −1)−12(x +1)，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将(x +1)、(x −1)分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程72(x +1)=73(x −1)，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下…(1)请你继续进行小亮的求解．(2)请利用小亮的方法解下面的方程：7(x +3)+4=24−3(x +3)．18．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如x +3=1+x+32，设x +3=a ，则原方程变形为a =1+a 2……解得a =2，即x +3=2，所以原方程的解为x=−1．(1)补充求解a 的过程．(2)用换元法解方程(3y −2)−(3y−2)−12=2−(3y−2)+23．19．若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程x −2=0是方程x −1=0的“后移方程”(1)判断方程2x +1=0是否为方程2x +3=0的“后移方程”；(2)若关于x 的方程3(x −1)−m =m+32是关于x 的方程2(x −3)−1=3−(x +1)的“后移方程”，求m 的值．20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x =8和x+1=0为“美好方程”．(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k和12023x+1=0是“美好方程”，利用整体思想，求关于y的一元一次方程12023(y−1)+3=2(y−1)+k的解．参考答案1．解：移项得：−65x−x=−12−3合并同类项得：−115x=−15系数化成1得：x=7511．2．解：（1）5x−7x−2x=4−8−4x=−4 x=1；（2）3x+6=4−12x3x+12x=4−615x=−2x=−215．3．解：3(3x+5)=2(2x−1)去括号，得9x+15=4x−2移项，得9x−4x=−2−15合并同类项，得5x=−17系数化为1，得x=−175．4．（1）解：13x−x+12=x−14去分母，得4x−6(x+1)=3(x−1)去括号，得4x−6x−6=3x−3移项，得4x−6x−3x=−3+6合并同类项，得−5x=3系数化为1，得：x=−35．（2）解：4[12x−34(x−1)]=13(5+x)去括号得：4(12x−34x+34)=53+13x去括号得：2x−3x+3=53+13x移项得：2x−3x−13x=53−3合并同类项得：−43x=−43解得：x=1．5．（1）解：去分母，得2x−90+3x=60移项合并同类项，得5x=150系数化为1，得x=30；（2）解：原方程可化为6x−72x=5x−76去分母，得36x−21x=5x−7移项合并，得10x=−7系数化为1，得x=−0.7.6．:解：方程整理得：1−2x3−1=7−10x4去分母得：4(1−2x)−12=3(7−10x)去括号得：4−8x−12=21−30x移项合并得：22x=29解得：x=2922．7．解：（1）5x−14=3x+12−2−x3去分母，得：3(5x−1)=6(3x+1)−4(2−x)去括号，得：15x−3=18x+6−8+4x移项，得：15x−18x−4x=6−8+3合并同类项，得：−7x=1系数化为1，得：x=−17；（2）3x+22−1=2x−14−2x+15去分母，得：10(3x+2)−20=5(2x−1)−4(2x+1)去括号，得：30x+20−20=10x−5−8x−4移项，得：30x−10x+8x=−5−4−20+20合并同类项，得：28x=−9系数化为1，得：x=−928；8．解：移项得2−x15−7x−920=12x−1021−8x−914通分得8−4x60−21x−2760=24x−2042−24x−2742∴35−25x60=742∴35−25x=10解得x=1．9．解：∵x=4是关于x的方程3(x−1)−m=m+32的解∵3×(4−1)−m=m+32整理得，9−m=m+32去分母得18−2m=m+3移项得−2m−m=3−18合并同类项得−3m=−15系数化为1得m=5∵m的值为5．10．解：方程3x−14−1=5x−76去分母得3(3x−1)−12=2(5x−7)去括号得9x−3−12=10x−14移项得9x−10x=−14+3+12合并同类项得−x=1系数化为1得x=−1把x=−1代入4x−(3a+1)=6x+2a−1得−4−3a−1=−6+2a−1∵−3a−2a=−6−1+4+1∵−5a=−2∵a=25．11．（1）解：2(x−1)+1=x去括号移项，合并同类项把x=1代入方程3(x+m)=m−1得，3(1+m)=m−1∵m=−2．（2）解：x=1，m=−2∵原方程变为3+2y3=−52去分母去括号移项，合并同类项系数化为1，y=−214．12．解：解关于x方程2(x−5)=3m+1得：x=3m+112解方程3x+2=8得：x=2由两方程的解互为相反数，则3m+112+2=0，解得m=-5．13．解：由方程2−m−x3=0得：x=m−6由方程6x−1=2x+7得：x=2∵关于x的方程2−m−x3=0的解是关于x的方程6x−1=2x+7的解的4倍∵m−6=4×2解得：m=14．14．（1）解：根据小明的步骤去分母得：5(2x−1)+1=3(2x+m)整理得：10x−4=6x+3m将x=4代入可得：10×4−4=6×4+3m解得：m=4（2）解：2x−13+1=2x+45去分母，得：5(2x−1)+15=3(2x+4)去括号得：10x−5+15=6x+12移项，得：10x −6x =12+5−15合并同类项，得：4x =2系数化1，得：x =1215．解：方程2x 3−3x 6=1去分母，得4x −3x =6合并同类项得x =6方程x +3a 2=7去分母，得2x +3a =14移项，得2x =14−3a系数化为1，得x =14−3a 2 ∵方程2x 3−3x 6=1的解是关于x 的方程x +3a 2=7的解的2倍 ∴ 6=2×14−3a 2解得：a =83将a =83代入方程−12ax +4=3得−12×83x +4=3 解得：x =34． 16．（1）解：|234−5|=2×(−5)−3×4=−10−12=−22； （2）解：∵|3x 54−2|=3−2x ∵−2×3x −4×5=3−2x解得x =−234． 17．（1）解：解方程72(x +1)=73(x −1)去括号，得72x +72=73x −73移项，得72x −73x =−73−72合并同类项，得76x =−356系数化为1，得x =−5；（2）解7(x +3)+4=24−3(x +3)将(x+3)看作一个整体移项，得7(x+3)+3(x+3)=−4+24合并同类项，得10(x+3)=20系数化为1，得x+3=2x=−1．18．（1）解：a=1+a2∵a−a2=1∵a2=1解得：a=2．（2）解：(3y−2)−(3y−2)−12=2−(3y−2)+23设k=3y−2，则原方程可变形为k−k−12=2−k+236k−3(k−1)=12−2(k+2)6k−3k+3=12−2k−43k+3=8−2k3k+2k=8−35k=5k=1∵3y−2=1解得y=1．19．（1）解：方程2x+1=0的解是x=−12方程2x+3=0的解是x=−32∵两个方程的解相差1∴方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程；（2）解：2(x−3)−1=3−(x+1)2x−6−1=3−x−12x+x=3−1+6+13x=9，x=3∵关于x 的方程3(x −1)−m =m+32是关于x 的方程2(x −3)−1=3−(x +1)的“后移方程” ∴3(x −1)−m =m+32的解为x =3+1=4把x =4代入3(x −1)−m =m+32得：3(4−1)−m =m+32∴m =5．20．（1）解：∵3x +m =0∴ x =−m 3 ∵4x −2=x +10∴x =4∵关于x 的方程3x +m =0与方程4x −2=x +10是“美好方程” ∴ −m 3+4=1∴m =9；（2）∵ “美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n ∴另一个方程的解为：1−n∵两个解的差为8∴1−n −n =8或n −(1−n)=8∴ n =−72或n =92；（3）∵ 12023x +1=0∴x =−2023∵关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 和12023x +1=0是“美好方程” ∴关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 的解为：x =1−(−2023)=2024 ∴关于y 的一元一次方程12023(y −1)+3=2(y −1)+k 中y −1=2024；∴y =2025∴关于y 的一元一次方程12023(y −1)+3=2(y −1)+k 的解为y =2025；。
2024-2025学年北师大版数学初一上学期期末复习试题(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列选项中，表示直线的是（）。
A、线段ABB、射线ABC、直线ABD、点A2、如果一个数的绝对值是3，那么这个数是（）。
A、3B、-3C、3或-3D、不确定3、题干：小明从家出发去学校，沿直线经过两个红绿灯路口，其中第一个红绿灯路口他停车等待了1分钟，第二个红绿灯路口他没有停车直行。
已知小明从家到学校全程走了8分钟，速度保持不变。
问题：如果小明从家出发的速度与去学校的速度之比是3：2，那么小明去学校的速度是多少米/分？4、题干：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c（a、b、c均不为0），且满足a >b > 0，b >c > 0。
问题：下列哪个选项一定是正确的？A.ac 一定会大于bcB.bc一定会小于1C.ab一定会大于1D.cb一定会大于15、若(x)为整数，下列哪个表达式的结果一定为偶数？A、(x+1)B、(x+2)C、(2x)D、(2x+1)6、若一个三角形两边长分别为4cm和5cm，第三边长为(x)cm，则不等式关系正确的是？A、(x>1)B、(x<9)C、(1<x<9)D、(x)无解7、题目：在直角坐标系中，点A（2，-3）关于x轴的对称点坐标为（）。
A. （2，3）B. （-2，3）C. （-2，-3）D. （2，-3）8、题目：等腰三角形的底边长为8，腰长为10，那么这个三角形的面积是（）。
A. 20√2B. 40C. 80√2D. 40√29、某市某月的最高气温是20℃，最低气温是-5℃，则该月的平均气温最接近于（）。
A、25℃B、15℃C、10℃D、5℃ 10、若一元二次方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的根是 x1 和 x2，则 x1 + x2 的值为（）。
A、3B、-3C、2D、-2二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）1、（3x+5y-7）/（x-2）+2x-3y的简化结果是______ 。
