高考指南立体几何垂直证明的六大绝招秒懂！类型一AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC证明：∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC又∠ACB=90°∴AC⊥BC又AC，SA⊆面SAC ∴BC ⊥面SAC∴BC⊥AD又AD⊥SC且BC，SC⊆面SBC∴AD⊥面SBC变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC类型二利用等腰三角形中线证垂直例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB证明：取AB的中点M，连接PM，CM∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM∴AB⊥面PCM∴AB⊥PC变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD类型三利用勾股定理逆定理证垂直例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD证明：∵PA=4，AB=3，PD=5∴PA2+AB2=PD2，∴三角形PAD是直角三角形，∴PA⊥AD又PA ⊥CD，∴PA⊥面ABCD变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD类型四利用三角形全等证垂直例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC证明：取AB的中点M，连接CM，∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，∴CM⊥AB又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB∴AB⊥面PMC∴AB⊥PC变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF类型五利用平行关系证明垂直例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD证明：分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA∵MN为△PCD的中位线，∴MN∥CD且MN=1/2CD又∵E是AB的中点，∴AE∥CD且AE=1/2CD ∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，且∠PDA=45°，∴△PAD 是等腰直角三角形又N是PD中点，∴AN⊥PD∵四边ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD∵EM ⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2，证明CD⊥面A1OC.类型六梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。
立体几何基本方法总结三个平行互相转化图三个垂直互相转化及平行垂直转化求法几何法及其他方法向量法异面直线所成角1、 取点找平行1、建系写点坐标2、证平行定角2、求两直线方向向量3、 二角形求角3、代入公式求角4、取舍得结论4、得结论公式：.-7* .| a b|cos | cos a,b ||a| |b|范围：其中：a 、b 分别是两直线的方向向量。
斜线与平面所成角：1、 看清线与面，1、建系写点和相关向量坐标斜线与其在平面内的射影 2、 取点找射影；2、求直线方向向量和平面法向量所成的锐角3、证线面垂直，3、代入公式求角4、定角再求角4、得结论公式：."| a n Isin| cos a,n | 丄—A|a| |n|其中：a 为直线方向向量，n 为平范围：面法向量二面角几何法：1、建系写点和相关向量坐标一面角平面角的作法：1、 认准两面和一棱，2、求两平面的法向量 ①直接法：（略）2、 取点找棱两垂线，3、代入公式求角②三垂线法：如图，作 PH LB, 3、 注意分别在两面；4、根据图形判断是锐二面角还是PEL l 连EH ,由三垂线定理逆定 4、 证两个线线垂直， 钝二面角，从而取值。
理知EH /-p y5、 即可定出平面角，公式：丄1，故6、 之后求角得结论。
/ PEH 为rE-f| | cos | | cos a,n |-a n |二面角的平面角；或作PHL B 过I a I |n|H 作HEX 1，连PE 由三垂线定射影面积法：cos B =S 射—理知，PE11，故/ PEH 为二面角S其中：a 为直线方向向量， n 为平的平面角。
S 射表示一个面内某多边 面法向量③垂面法：若平面丫垂直于二面 形在另一个面内的射影角a - 1 - B 的棱丨，（或Y 与a 、多边形面积；B 都垂直）且与a 、B 分别交于 S 表示原多边形的面积OAOB 则/ AOB 即为二面角a -1-B 的平面角。
立体几何平行证明题常见模型及方法立体几何中的平行证明题常见的模型和方法有很多。
下面我将介绍一些常见的模型和方法，以帮助你更好地理解和应用立体几何的平行证明。
一、常见模型1.平面与平面的平行证明：常见的模型有两条平行线或两个平行四边形，通过证明平面与平面内对应的直线或四边形是平行的，即可得证。
2.直线与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形和交叉角等，通过证明两直线间的对应角相等或同位角互补，即可得证。
3.平面与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形的一对对角线、三角形的高、垂足、垂线等，通过证明直线与平面内的直线或线段互相垂直，即可得证。
4.空间中的平面与平面的平行证明：常见的模型有两个平行四边形的高度等、点到平面的垂直距离等，通过证明两个平面内的垂直线的相互平行性，即可得证。
二、常见方法1.剪影法：利用平行关系特殊的剪影形状进行证明。
例如，通过剪影的形状可以直观地判断两根线段平行。
2.联立法：通过建立适当的方程组，将待证的平行条件与已知条件进行联立，最终得到结论。
常见的方法有正投影、平行投影等。
3.直角法：利用直角关系进行证明。
通过找到合适的垂线、垂足等直角线段，可以推导出平行关系。
4.反证法：假设不平行，然后找到与之矛盾的证据，从而推出平行的结论。
5.三角形法：构造适当的三角形，通过三角形的性质和形状关系进行证明。
6.同增减法：通过分析多个角度相应的同增减性质，推导出平行的结论。
7.通道法：利用另一个已经知道的已知命题，构造合适的通道来推导出平行的结论。
以上仅是常见的模型和方法，实际的平行证明题在解题过程中可能会遇到各种不同的情况和策略。
解决此类问题的关键是要有良好的几何直观和分析能力，熟练掌握几何定理和性质，并能够合理运用不同的方法解决问题。
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
