大数定理---生活中的统计

第一节 大数定律
一、问题的提出
二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的四种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性.
贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为贝努里大数定律.
大数定律的客观背景
g(Yn ) P g(C).
证 由 g() 在C处连续可知，对任意实数 0, 存在实数 0, 使当 | y C | 时，总有 | g( y) g(C) | , 从而
{| Yn C | } {| g(Yn ) g(C ) |},
1 P{| g(Yn) g(C) | } P{| Yn C | }
定义4.5 设X1, X2, , Xn , 是随机变量序列 ,
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1,a2, ,an, , 对任意的ε 0,恒有
lim P
n
Yn an ε
1
则称随机变量序列X n 服从大数定律 .
定理4.3 切比谢夫大数定律
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
lim
n
Fn (
x)
F
(
x)
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，
简记为
Yn LY
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn( x) 收敛于Y 的分布函数 F ( x), 它是概率论中 较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对
任意实数 0, 有Biblioteka 切比谢夫大数定理大 数

概率论与数理统计在生活中的应用一：概率论1.概述概率论（probability theory）研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是相对于决定性现象而言的。

在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。

例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。

随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。

每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。

随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。

事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。

例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。

又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。

大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。

在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。

例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。

随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

2.简介事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。

例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。

又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。

四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。

大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。

下面将介绍四种常见的大数定律。

二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。

这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。

三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。

例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。

四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。

这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。

五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。

这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。

六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。

本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。

这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。

了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。

马尔科夫不等式及大数定律
第五章 大数定律和中心极限定理
电子科技大学
马尔科夫不等式及大数定律
在实际应用中, 在实际应用中,常遇到如下问题 1. 现实中为什么大量随机变量服从正态分 布?依据什么来断定一个随机变量服从正态 分布? 分布? 2. "频率的稳定性"到底是什么意思?在实 频率的稳定性"到底是什么意思? 频率的稳定性 际应用中有什么作用? 际应用中有什么作用? 3.在计算机上如何模拟现实研究对象?根 .在计算机上如何模拟现实研究对象? 据什么来认定这种模拟是正确的? 据什么来认定这种模拟是正确的?……
k =1,2,
证明
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马尔科夫不等式及大数定律
2. 切比雪夫 切比雪夫(Chebyshev)不等式 不等式 对马尔可科夫不等式特别取 k = 2,令 Y = X , 存在, -E(X ),E{|Y|2}=D(X ) 存在,有切比雪夫不等 , 式成立. 式成立 设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 和方差 和方差D(X ) 都存在, 都存在, 则对于任意的 ε > 0, 有
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马尔科夫不等式及大数定律
方差性质: 方差性质: D(X) = 0 P{X = E(X)} = 1. 证 明 P{X = E(X)} =1D X) = 0, (
证 仅
D(X) = 0P{X = E(X)} =1.
1 = ∪{| X E(X) ≥ } n n=1
∞
{X ≠ E(X)} = {| X E(X) |≠ 0}
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马尔科夫不等式及大数定律
思考 能否说 1 n 1 n . " ∑Xi 依 率 敛 ∑E(Xi )" 概 收 于 n i=1 n i=1