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韦达定理的应用

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韦达定理

x型韦达定理

24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆224280xyx的圆心为A，直线l过点2,0B且与x轴不重合， l交圆A于,CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设0,2Q，过点1,2P作直线l，交点E的轨迹于,MN两点 (异于Q),直线,QMQN的斜率分别为12,kk，证明

12kk为定值.

【答案】(1) 221084xyy (2)见解析.

解析 （1）如图，因为ADAC， //EBAC，故EBDACDADC，所以EBED，故EAEBEAEDAD，又圆A的标准方程为22232xy，从而42AD，所以42EAEB,有题设可知2,0,2,0AB， 424EAEBAB由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为221084xyy.

（2）设1122,,,MxyNxy，

当l的斜率不存在时，此时:1lx此时容易解出,MN的坐标14141,,1,22，此12141422422kk时.

综上可知124kk.

点睛 （1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为1212,xxxx（或1212,yyyy）的整体，再用韦达定理转化即可.

25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆2222:10xyCabab与直线:0lbxay都经过点22,2M.直线m与l平行，且与椭圆C交于,AB两点，直线,MAMB与x轴分别交于,EF两点.

（1）求椭圆C的方程；（2）证明 MEF为等腰三角形.

【答案】(1) 221164xy；(2)证明见解析.

【解析】试题分析 （1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得 MA+ MB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．

试题解析

（1）由直线:0lbxay都经过点22,2M，则a=2b，将22,2M代入椭圆方程22221xyab ，

121222,2222MAMByykkxx，

121212222222MAMBxxbxxkkxx， 2212284224282222bbbbxx，

0，

所以MEF为等腰三角形.

点睛 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.

30．【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线:3lyx，定点2,1A，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切. 学（ ）

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）椭圆的弦,APAQ的中点分别为,MN，若MN平行于l，则,OMON斜率之和是否为定值 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.

【答案】（1）22163xy（2）,OMON斜率之和为定值0

【解析】试题分析 （Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mxnymnmn，由题意构建关于ab，的方程组，即可得椭圆方程．

（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以 PQ= MN=1，

设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得 3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算0OMONkk

试题解析

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mxnymnmn

椭圆C过点A，所以41mn①， 将3yx代入椭圆方程化简得 26910mnxnxn，

因为直线l与椭圆C相切，所以264910nmnn②，

解①②可得， 11,63mn，所以椭圆方程为22163xy；

（Ⅱ）设点1122,,,PxyQxy，则有11222121,,,2222xyxyMN，

由题意可知PQMNP，所以1PQMNkk，设直线PQ的方程为yxt，

代入椭圆方程并化简得 2234260xtxt

由题意可知1221243{ 263txxtxx③

点睛 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值 确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

含点代入椭圆的应用

32．【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)xyEabab，直线n的横、纵截距分别为,1a，且原点到直线n的距离为32．

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线l经过椭圆的右焦点2F且与椭圆E交于,AB两点，若椭圆E上存在一点C满足320OAOBOCuuuvuuuvuuuvv，求直线l的方程．

【答案】（1）2213xy.（2）20xy或20xy.

解析 （1）因为椭圆E的短轴长为2，故1b.依题意设直线n的方程为 1xya，由213211a.解得3a，故椭圆的方程为2213xy.

（2）设112233,,,,,AxyBxyCxy

当直线l的斜率为0时，显示不符合题意.

当直线l的斜率不为0时， 22,0F，设其方程为2xty，由221{ 32xyxty，得2232210tyty，所以121222221,33tyyyytt①.

点睛 一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有1212,xxxx（或1212,yyyy）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.

韦达定理求最值

28．【2018河南郑州高三质检一】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，以12FF为直径的圆与直线230axbyab相切.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如图，过1F作直线l与椭圆分别交于两点,PQ，若2PQFV的周长为42，求12·FPFQuuuvuuuuv的最大值.

【答案】(1) 22；(2) 72.

【解析】试题分析

（1）有直线和圆相切得到关于,,abc的关系式，整理可得222ab，从而可得22e．（2）根据三角形2PQF的周长可得2a，故21b，可得椭圆的方程．分直线l斜率存在和不存在两种情况分别求得22FPFQuuuuvuuuuv的值，可得22FPFQuuuuvuuuuv最大值是72．

试题解析

（1）由题意2234abcab，

即222222222344.abcababab

∴222ab，

22e．

（2）因为三角形2PQF的周长为42，

所以442,a

2,a

∴21b，

故2272FPFQuuuuvuuuuv.

②若直线l斜率存在，设直线l的方程为1ykx，

由221,{ 22ykxxy消去y整理得

2222214220kxkxk，

设1122,,,PxyQxy，

则22121222422,.2121kkxxxxkk

∴2211221,1,FPFQxyxyuuuuvuuuuv

121211,xxyy

2221212111.kxxkxxk

点睛 圆锥曲线中求最值或范围问题的方法

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑

①利用判别式 构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

29．【2018陕西西安长安区一中高三上学期八模】平面直角坐标系xOy中，经过椭圆C

22221(0)xyabab的一个焦点的直线30xy与C相交于,MN两点， P为MN的中点，且OP斜率是14.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)直线l分别与椭圆C和圆D 222()xyrbra相切于点AB、，求AB的最大值.

【答案】(Ⅰ) 2214xy；(Ⅱ)1. 【解析】试题分析

(Ⅰ)设出点M,N的坐标，利用点差法计算可得224ab，结合焦点坐标有223ab，据此计算可得椭圆C的方程是2214xy；

(Ⅱ)设,AB分别为直线l与椭圆和圆的切点， 00,Axy，联立直线与椭圆的方程有222148440kxkmxm，利用判别式0，可得04kxm， 01ym，直线l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此可得22214rkr， 22234rmr，则2224||5ABrr，结合绝对不等式的结论有当21,2r时， AB的最大值是1.

试题解析

(Ⅱ)设,AB分别为直线l与椭圆和圆的切点， 00,Axy，

222200||ABxyr 222161krm 222221161434rrrrr 2245rr，

因为22224424rrrr，当21,2r时取等号，所以22451rr，

因此当21,2r时， AB的最大值是1

6.【2016高考新课标1卷】设圆222150xyx的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）13422yx（0y）（II）)38,12[

【解析】

（Ⅰ）因为||||ACAD,ACEB//,故ADCACDEBD,

所以||||EDEB,故||||||||||ADEDEAEBEA.

又圆A的标准方程为16)1(22yx,从而4||AD,所以4||||EBEA.

由题设得)0,1(A,)0,1(B,2||AB,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

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认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？

认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？

**韦达定理的认识与应用**

一、韦达定理的定义与来源

韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：

1. x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ × x₂ = c/a

韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。

二、韦达定理的详细阐述

1. 根与系数的关系

韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。

2. 定理的证明

韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。

三、韦达定理的应用场景

1. 解一元二次方程 韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。

2. 判断根的情况

通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。

3. 解决其他问题

除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。

四、韦达定理的具体案例分析

专题12 韦达定理及其应用(解析版)

专题12 韦达定理及其应用(解析版)

专题12 韦达定理及其应用

1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：

（1）验根；

（2）已知方程的一根，求另一根；

（3）求某些代数式的值；

（4）求作一个新方程。

【例题1】（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．

【答案】2

【分析】根据根与系数的关系求解．

【解析】根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7

所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2

【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）

A．12 B．10 C．4 D．﹣4

【答案】A

【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4，

∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12

【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ．

【答案】-2

【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．

【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，

∴x1•x2=𝑐𝑎=−2．

∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，

∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．

【对点练习】 已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。

【答案】x1=3 b=-5

【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：

韦达定理的原理应用是什么

韦达定理的原理应用是什么

韦达定理的原理应用是什么

1. 韦达定理简介

韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。

2. 韦达定理的表述

如果我们有一个二次方程：

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0

其中a、b、c是实数，x是未知数。韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：

如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：

r1 + r2 = -b / a

r1 * r2 = c / a

这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。

3. 韦达定理的应用

韦达定理有广泛的应用。下面列举几个常见的应用场景：

3.1. 求二次方程的根

韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。

例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2

这样我们就得到了方程的两个根。

3.2. 寻找根与系数之间的关系

韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律： • 和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。即 r1 + r2 = -b / a

• 积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。即 r1 * r2 = c / a

这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。

3.3. 解决实际问题

韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。

我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。一个根将会是物体离地时的时间点（通常会是负数），另一个根将会是物体着地时的时间点。

韦达定理应用

韦达定理应用

一．韦达定理的逆向应用

题型 已知两数的和与积，求这两个数，通过构造新方程来解题

例 解方程组x+y=5

xy=6

分析：以两个数21,xx为根的一元二次方程是，通过构造新方程解题。

解：显然，x，y是方程0652zz① 的两根

由方程①解得3,221zz∴原方程组的解为

3,211yx

2,322yx

显然，此法比代入法简单。

二韦达定理与实际问题相结合

题型 几何问题中，把线段长于一元二次方程的根结合

例1一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2

由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴ 为所求。

例2 关于x的方程041222nmxx其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形腰长是底边的23倍，求这个三角形的周长。

解：（1）利用根的判别式222224)2(4nmnmacb

又因为m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长，有三角形的性质可以的出nmm，nm2，224nm。

所以0，所以这个方程有两个不相等的实根

（2）设方程的根为21,xx，由题意821xx,

844)()(222122122121nmxxxxxxxx

得64422nm

又有题意等腰三角形腰长是底边的23倍得，nm23

解方程组得,8,12nm

所以三角形周长为322nm

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．