行列式练习题

线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业班 XX 学号第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题1．假设行列式x52231521 = 0，那么=x [ C ] 〔A 〕2 〔B 〕2- 〔C 〕3 〔D 〕3-2．线性方程组⎜⎛⎜⎰〉=+=+473322121x x x x ，那么方程组的解),(21x x = [ C ]〔A 〕〔13，5〕 〔B 〕〔13-，5〕 〔C 〕〔13，5-〕 〔D 〕〔5,13--〕3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕34．以下构成六阶行列式展开式的各项中，取“+〞的有 [ AD ] 〔A 〕665144322315a a a a a a 〔B 〕655344322611a a a a a a 〔C 〕346542165321a a a a a a 〔D 〕266544133251a a a a a a5．假设55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，那么l k ,的值及该项的符号为[ B ] 〔A 〕3,2==l k ，符号为正； 〔B 〕3,2==l k ，符号为负； 〔C 〕2,3==l k ，符号为正； 〔D 〕2,3==l k ，符号为负6．以下n 〔n >2〕阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．排列397461t s r 为奇排列，那么r = 2,8,5s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题一．选择题1．若行列式x52231521 = 0，则=x [ C ]（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组ôóôòñ=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是根的个数是 [ C ]（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有”的有 [ AD ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负；，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正；，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题二、填空题 1．行列式1221--k k 0¹的充分必要条件是的充分必要条件是3,1k k ¹¹- 2．排列36715284的逆序数是的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为应取的符号为 负 。

行列式章末总结一、本章知识拓展行列式按一行（列）展开的公式可以推广到按行（列）展开，为此先需要将余子式和代数余子式的概念加以扩充.定义1在n阶行列式D中，任取k行k列，由这k行k列交叉处的k2个元素按照原来的相对位置构成的k阶行列式N称为原行列式D的一个k阶子式.划去这k行k列后，余下的元素按照原来的相对位置构成的(n－k)阶行列式Ｍ，称为N的余子式.例1设在D中取第二、四两行及第三、五两列，则它们交叉处的元素的构成D的一个三阶子式.而划去这两行两列，余下的元素构成的三阶行列式便是N的余子式.定义2 如果行列式D的子式N所在行的序号数分别为所在列的序号数为则称与N的余子式M的乘积称为子式N的代数余子式，记为A，即如例1中N的代数余子式为拉普拉斯(Laplace)展开定理在n阶行列式D中，任取k行k列，则这k行k列上所有k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于D，即D=N1 A1 +N2 A2 +…+N S A S.（证明从略）.利用Laplace展开定理计算行列式，当行列式的某些行（列）上的零元素很多，因而这些行（列）上许多子式都等于零，只有极少数子式不为零，按这些行（列）展开，将大大减少计算量，特别是只有一个子式不为零时，例如的前k行只有一个k阶子式不为零，按前k阶展开，则例2计算行列式.解例3计算2n阶行列式.解将D2n按第一行和第2n行展开可得：二、练习题利用Laplace展开计算下列行列式.⑴；⑵. （答案：⑴60；⑵128）三、行列式单元综合测试题Ⅰ（60分钟）1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）⑴134782695；⑵n(n-1)…21.2、写出4阶行列式中含因子的项，并指出它们所带的正、负号.（10分）3、由行列式定义计算：中与的系数，并说明理由.（10分）4、计算下列行列式.（每小题10分，共60分）⑴；⑵；⑶；⑷；(5)；(6)5、证明下列n阶行列式（10分）四、行列式单元综合测试题Ⅰ答案1、解⑴，此排列为偶排列.⑵当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.2、解由行列式的定义，4阶行列式中含因子的项共有项，分别为：；；；；；.3、解含的项只有，其系数为2；含的项只有，其系数为－１.4、解⑴⑵.⑶.⑷当n=1时，D1= a1+b1；当n=2时，D2=(a1–a2) (b2–b1) ；当n≥3时，把第1行的－1倍分别加到第i行，i=2,3,…,n，行列式不变，得.综上可得⑸⑹5、证明：利用教学归纳法证明.当n=2时，有命题成立.设命题对时成立，下面证明命题对也成立.将按第一行展开，有这即证明时命题成立.综上可得命题成立.五、行列式单元综合测试题Ⅱ（60分钟）1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）⑴217986354；⑵135…(2n-1)246…(2n)2、证明下面的2001阶行列式不等于零（10分）3、设有行列式D中的元素a ij都是实数，且至少有一个不等于零，证明：如果D的每一个元素都等于它自己的代数余子式，那么D n-2=1.（10分）4、计算下列行列式（每小题10分，共60分）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.5、设f (x)=C0+C1x+C2x2+…+ C n x n，证明：若f (x)有n+1个互异零点，则.（10分）六、行列式单元综合测试题Ⅱ答案1、解⑴，此排列为偶排列.⑵当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.2、证明：题中行列式次对角线下的元素都是偶数.由定义可知，D的每一项由不同行不同列的元素的乘积得到，故除去次对解线元素这一项外，其余每项必有次对角线的元素，故这些项都为偶数.而次对角线上元素的乘积为奇数，从而所有项的代数和为奇数，故D的值为奇数，所以D不等于零.3、证明：因为且，所以有故由题意a ij都为实数，且至少有一个不为零，故，从而.4、解⑴⑵⑶⑷⑸⑹故5、证明：设是f (x)的n+1个互异零点，则有(1)式是关于的线性齐次方程组，其系数行列式为由克莱姆法则知(1)只有唯一零解，即，故f (x)=0.。

习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。