2014-2015年陕西省西安一中高一下学期期末数学试卷及答案

2014-2015学年陕西省西安一中高一（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分，只有一个选项符合题意）

1．（3分）若向量=（1，2），=（﹣3，1），则2﹣=（ ）

A．（5，3） B．（5，1） C．（﹣1，3） D．（﹣5，﹣3）

2．（3分）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），•（2﹣）=0，则k=（ ）

A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12

3．（3分）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+与垂直，则λ=（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

4．（3分）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（ ）

A．﹣ B． C． D．

5．（3分）sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（ ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

7．（3分）若tanα=3，则的值为（ ）

A． B． C． D．

8．（3分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

9．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（ ）

A． B． C．2 D．2

10．（3分）已知cos（+x）=，则sin2x的值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C． D．

11．（3分）设=（ ）

A． B． C． D．或

12．（3分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）

A．y=x+ B．y=cosx+（0＜x＜）

C．y= D．y=

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．（4分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= ．

14．（4分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 ．

15．（4分）若0＜x＜2，则函数y=的最大值为 ．

16．（4分）关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：

①y=f（x）的最大值为；

②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；

③y=f（x）在区间（，）上单调递减；

④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确命题的序号是

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题（共48分）

17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

18．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．

①求f（x）的最小正周期和单调区间；

②用五点法作出其简图；

③求f（x）在区间[﹣，]上最大值和最小值．

19．（12分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．

（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

2014-2015学年陕西省西安一中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分，只有一个选项符合题意）

1．（3分）若向量=（1，2），=（﹣3，1），则2﹣=（ ）

A．（5，3） B．（5，1） C．（﹣1，3） D．（﹣5，﹣3）

【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．

【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，1），则2﹣=（2，4）﹣（﹣3，1）=（5，3）．

故选：A．

2．（3分）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），•（2﹣）=0，则k=（ ）

A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12

【分析】利用向量的数量积个数求出；再利用向量的运算律将已知等式展开，将的值代入，求出k的值．

【解答】解：∵

∴

∵

即

10﹣k+2=0

解得k=12

故选：D．

3．（3分）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+与垂直，则λ=（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

【分析】由坐标运算可得λ+的坐标，由垂直可得数量积为0，解这个关于λ的方程可得．

【解答】解：∵=（1，﹣3），=（4，﹣2），

∴λ+=（λ+4，﹣3λ﹣2），

∵λ+与垂直，

∴（λ+）•=0，

代入数据可得：4（λ+4）﹣2（﹣3λ﹣2）=0，

解之可得λ=﹣2

故选：C．

4．（3分）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（ ）

A．﹣ B． C． D．

【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与﹣的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．

【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），

∴2+=2（1，2）+（1，﹣1）=（3，3），

﹣=（1，2）﹣（1，﹣1）=（0，3），

∴（2+）（﹣）=0×3+3×9=9，

|2+|==3，|﹣|=3，

∴cosθ==，

∵0≤θ≤π，

∴θ=

故选：C．

5．（3分）sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】先通过诱导公式cos225°=﹣cos45°，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案．

【解答】解：sin45°•cos15°+cos225°•sin15°

=sin45°•cos15°﹣cos45°•sin15°

=sin（45°﹣15°）

=sin30°

=

故选：C．

6．（3分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（ ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．

【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1

=1﹣2sinxcosx﹣1

=﹣sin2x，

∴T=π且为奇函数，

故选：D．

7．（3分）若tanα=3，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】首先由已知tanα求出tan2α的值，然后将所求利用基本关系式化为关于tan2α的式子，代入数值计算．

【解答】解：因为tanα=3，

所以==；

故选：A．

8．（3分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．

【解答】解：根据正弦定理可得，

，

解得，

又∵b＜a，

∴B＜A，故B为锐角，

∴，

故选：D．

9．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（ ）

A． B． C．2 D．2

【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．

【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，

∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，

解得：AC=1，

由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，

则BC=．

故选：B．

10．（3分）已知cos（+x）=，则sin2x的值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【分析】由cos（+x）=利用二倍角公式可得cos（+2x）=﹣，即﹣sin2x=﹣，由此可得sin2x的值．

【解答】解：由已知cos（+x）=可得cos（+2x）=2﹣1=2×﹣1=﹣，

即﹣sin2x=﹣，∴sin2x=，

故选：D．

11．（3分）设=（ ）

A． B． C． D．或

【分析】通过α、β均为钝角，，求出cosα=﹣，sinβ=，然后求出cos（α+β）的值，即可根据α、β的范围，求出α+β的值．得到选项．

【解答】解：∵α、β为钝角

又∵

∴cosα=﹣，sinβ=，

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

又 π＜α+β＜2π

∴α+β=

故选：A．

12．（3分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）

A．y=x+ B．y=cosx+（0＜x＜）

C．y= D．y=

【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证

=，故错；对于D：．∵ex＞0，∴ex+﹣2≥2 ﹣2=2，从而得出正确选项．

【解答】解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．

选项B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．

对于C：不能保证 =，故错；