安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷

（理科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（x∈R）在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，则x的值为（ ）

A．2 B．1+3i C．±2 D．

2．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（ ）

A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]

3．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于（ ）

A．810 B．840 C．870 D．900

4．已知M=，N=，由如右程序框图输出的S为（ ）

A．1 B．ln2 C． D．0

5．若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（ ）

A． B．

C． D．

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+„+f

A．333 B．336 C．1678 D．2015 7．已知0＜x＜，则﹣＜0是﹣x＞0成立的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．，，若A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}，则m的取值范围为（ ）

A．[﹣2，2] B．（﹣2，2） C． D．

9．若a＞0，，，，则x，y，z的大小顺序为（ ）

A．x＞z＞y B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．z＞y＞x

10．下列命题中正确的个数是（ ）

①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；

②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β．

A．0 B．1 C．2 D．3

11．三角形ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c；若A=，则=（ ）

A．a+b B．a+c C．b+c D．a+b+c

12．已知f（x）=1+x﹣+﹣+„+；g（x）=1﹣x+﹣+﹣„﹣；设函数F（x）=[f（x+3）]•[g（x﹣4）]，且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为______．

14．已知a＞b＞0，且a+b=2，则的最小值为______．

15．已知α，β为锐角，cosα=，则cosβ=______．

16．已知函数f（x）=eax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为S，满足=2Sn+n+4，且a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）令cn=﹣，求数列{cn}的前n项和Tn． 18．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

19．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．

（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；

（2）求AB边上的中线长的取值范围．

20．已知a为常数，函数，

（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）

①求实数a的取值范围；

②求证：且x1x2＞1（其中e为自然对数的底）

21．已知函数f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．

（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；

（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．

（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；

（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

【选修4-5：不等式选讲】

23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷

（理科数学）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（x∈R）在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，则x的值为（ ）

A．2 B．1+3i C．±2 D．

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数所对应点到原点的距离为列式求得x的值．

【解答】解： =，

∵复数在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，

∴，解得：x=±2．

故选：C．

2．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（ ）

A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．

【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ，

目标函数z=几何意义为区域内的点与D（2，0）的斜率，

过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小，

过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，

∴Z最小值==﹣，Z最大值==，

故选：D．

3．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于（ ）

A．810 B．840 C．870 D．900

【考点】等差数列的性质．

【分析】在等差数列{an}中，由a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，知a1+a30=56，再由S30=15（a1+a30），能求出此数列前30项和．

【解答】解：在等差数列{an}中，

∵a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，

∴3（a1+a30）=168，

∴a1+a30=56，

∴此数列前30项和为S30=15（a1+a30）=15×56=840．

故选：B．

4．已知M=，N=，由如右程序框图输出的S为（ ）

A．1 B．ln2 C． D．0

【考点】微积分基本定理；选择结构．

【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解；

【解答】解：∵M====ln2，

N===1，ln2＜1

∴M＜N，

由程序图可知求两个数的最小值，输出的是最小的一个数，

∴S=ln2，

故选B；

5．若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】正弦函数的单调性．

【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

【解答】解：由题意可得 =•=，∴ω=1，f（x）=2sin（x+）．

令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，

故函数的增区间为2[kπ﹣，2kπ+]，k∈z，

故选：D．

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+„+f

A．333 B．336 C．1678 D．2015 【考点】函数的周期性；函数的值．

【分析】由已知得到函数的周期为6，找到与2015函数值相等的（﹣3，3）的自变量，按照周期求值．

【解答】解：由已知函数周期为6，并且2015=6×335+5，

并且f（1）=1，

f（2）=2，

f（3）=f（﹣3+6）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，

f（4）=f（﹣2+6）=f（﹣2）=0，

f（5）=f（﹣1+6）=f（﹣1）=﹣1，

f（6）=f（0）=0，

所以f（1）+f（2）+„+f（6）=1，

所以f（1）+f（2）+„+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336；

故选B．

7．已知0＜x＜，则﹣＜0是﹣x＞0成立的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据三角函数的性质，将不等式进行等价转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：当0＜x＜，0＜sinx＜1，

则不等式﹣＜0等价为＜，

即sinx＜1，即x•sin2x＜1，

不等式﹣x＞0等价为＞x，即x•sinx＜1，

∵0＜sinx＜1，

∴若x•sinx＜1，则x•sin2x＜x•sinx＜1，即x•sin2x＜1成立．

若xsin2x＜1，不能推出xsinx＜1成立，故充分性不成立．

则﹣＜0是﹣x＞0成立的必要不充分条件．

故选：C．

8．，，若A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}，则m的取值范围为（ ）

A．[﹣2，2] B．（﹣2，2） C． D．

【考点】交集及其运算．

【分析】由题意得到直线y=x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，根据圆心到直线的距离小于半径且+m≠0，即可得到答案．

【解答】解：根据题意，直线y=x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，

∴＜1且+m≠0，

∴﹣2＜m＜2且m≠，