1.3.3 函数的最大(小)值与导数[学习目标] 1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.知识点一 函数最值的概念如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为函数在定义域上的最小值.思考 函数的极值与最值的区别是什么？答案 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x )有极大值(或极小值)，则可以判定f (x )在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a ，b )也可以是无穷区间. 知识点二 求函数的最值1.求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.函数在开区间(a ，b )的最值在开区间(a ，b )内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f (x )在开区间I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f (x )在区间I 上的最大(小)值. 思考 (1)函数f (x )＝1x 在(1,2)上有最值吗？(2)函数f (x )＝ln x 在[1,2]上有最值吗？ 答案 (1)没有.(2)有最大值ln 2，最小值0.题型一 求函数的最值 例1 求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]. 解 (1)f ′(x )＝－4x 3＋4x ，令f ′(x )＝－4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝－1，x ＝0，x ＝1.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－3时，f (x )取最小值－60； 当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数.故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟 一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数f (x )不一定有最大值与最小值.跟踪训练1 设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， 故a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，列表如下：∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞). ∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82， f (－2)＝－f (2)＝82，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值为18.题型二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值. 解 f ′(x )＝3x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3. ①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (a ≤2)，0 (a >2).反思与感悟 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解. 跟踪训练2 a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值. 解 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a ).若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0.若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . ∵x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况.(1)若0＜a ＜1，即0＜a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)(2)若a ≥1，即a ≥1时，则当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0,1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1. 题型三 函数最值问题的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值.(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解 (1)对f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1). 令f ′(x )＝0，解得x ＝－23或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2].当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值. 要使f (x )＜c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2＞f (2)＝2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2. ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).反思与感悟 由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解. 跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围； (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2). ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )＞0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c ＞f (1)，∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，有f (x )＜c 2恒成立， ∴9＋8c ＜c 2，即c ＜－1或c ＞9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). (2)由(1)知f (x )＜f (3)＝9＋8c ， ∴9＋8c ≤c 2，即c ≤－1或c ≥9， ∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误例4 求函数f (x )＝x 3－2x 2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值. 错解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得最大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得最小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误. 正解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 又f (－1)＝－2，f (2)＝1，∴函数f (x )的最大值是1，最小值是－2.防范措施 若连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a ，b ]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.1.函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能答案 A解析 据题f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0.2.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0，即3x 2－3＝0，解得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝－1处取得极大值，f (x )极大值＝3，在x ＝1处取得极小值，f (x )极小值＝－1.而端点处的函数值f (－3)＝－17，f (0)＝1，比较可得f (x )的最大值为3，最小值为－17. 3.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4.函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. π2(0,e )C. π2[0,e ) D. π2(0,e ]答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ). ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2e .5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2,2]上有最小值3，那么f (x )在[－2,2]上的最大值是__________. 答案 43解析 令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，x ＝－2，0,2对应的f (x )的值分别为a －40，a ，a －8.因为a －40＜a －8＜a ，所以a －40为最小值，a 为最大值，则a －40＝3，a ＝43，故f (x )在[－2,2]上的最大值是43.1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：①对函数进行准确求导；②研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：①f (x )≥m 恒成立，只需f (x )min ≥m 成立即可，也可转化为h (x )＝f (x )－m ，这样就是求h (x )min ≥0的问题.②若对某区间D 上恒有f (x )≥g (x )成立，可转化为h (x )＝f (x )－g (x )，求h (x )min ≥0的问题.一、选择题1.函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值. 2.函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A.0B.1eC.4e 4D.2e2 答案 B解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值，故选B.3.函数y ＝ln xx 的最大值为( )A.e －1 B.e C.e2 D.103答案 A解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0(x ＞0)， 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e 时，y ′＞0. y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e.4.函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( ) A.π－1 B.π2－1 C.π D.π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.5.函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B.1 C.0 D.不存在答案 A解析 y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x ，由y ′＝0得x ＝12.在⎝⎛⎭⎫0，12上，y ′＞0，在⎝⎛⎭⎫12，1上，y ′＜0.∴当x ＝12时，y 取得极大值，极大值为2，又x ∈(0,1)， ∴y max ＝ 2.6.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A.－32B.12C.－12D.12或－32答案 C解析 y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，f (x )在x ＝－1处取得极大值，也是最大值f (－1)＝4，不合题意.当－1＜a ＜2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)，∴a ＝－12.二、填空题7.函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为__________. 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1). 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.8.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可. 9.函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________. 答案 π6＋ 3解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.10.如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________.答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.三、解答题11.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值.解 (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a 知， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间. (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增. 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)， 又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1).所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.12.已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数. (1)求f (x )的解析式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值.解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x ).即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数；当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数.由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只可能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 13.已知f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1].(1)若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围； (2)求f (x )在区间(0,1]上的最大值.解 (1)f ′(x )＝2a ＋2x 3，因为f (x )在(0,1]上是增函数，所以在(0,1]上，f ′(x )＞0，即a ＞－1x 3.因为g (x )＝－1x 3在(0,1]上是增函数，且g (x )的最大值为g (1)＝－1，所以a ＞－1.当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3在x ∈(0,1)上也有f ′(x )＞0，且只有当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以a ≥－1.(2)由(1)知当a ≥－1时，f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，所以当a ≥－1时，f (x )的最大值为f (1)＝2a －1.当a ＜－1时，令f ′(x )＝2a ＋2x3＝0，解得x ＝13－a .当0＜x ＜13－a 时，f ′(x )＞0，当13－a＜x ≤1时，f ′(x )＜0，所以当a ＜－1时，f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ＝2a 3－a－(3－a )2＝－33a 2.故对x ∈(0,1]，当a ≥－1时，f (x )的最大值为2a －1；当a ＜－1时，f (x )的最大值为－33a 2.。
