西藏日喀则区2017-2018学年高三数学下学期第二次月考试题理

南木林高中2017—2018学年度第 二学期期末测试考试方式：闭卷 年级： 高一 学科： 数学注意事项：1、本试题全部为笔答题，共 2 页，满分 100 分，考试时间 90 分钟。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内禁止答题。

3、用钢笔或签字笔直接答在试卷(或答题纸上)。

4、本试题为闭卷考试，请考生勿将课本进入考场。

一．选择题：（共50分，每题为5分）1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤ ( )A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，，2.函数sin()4y x π=+的一个单调增区间是（ ）A ．[,0]π-B ．[0,]4πC ．[,]42ππD ．[,]2ππ.3.已知()f x =5(6)(4)(6)x x f x x -≥⎧⎨+<⎩，则(3)f 的值为 （）A 2B 5C 4D 34.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23165.把函数y=sin2x 的图象向右平移6π个单位后，得到的函数解析式为 （）A y=sin(2x+3π) B y=sin(2x+6π) C y=sin(2x －3π) D y=sin(2x －6π) 6.下表是韩老师1-4月份用电量（单位：十度）的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是ˆ0.7yx a =-+，则a =（ ）A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.157．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为 ( )A.-10B.6C.14D.188.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是 （ ）A . A 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C.B 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥9．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为 （ ）A.21 B. —21C. 23D. —2310. 某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少 ( ) A ．2人B ．4人C ．5人D ．1人二．填空题(共16分，每题为4分)（1）cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ______________; （2）函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右图,此函数解析式为 __________________;（3）函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为________________;（4）甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______;三．解答题：（共34分）1.（共10分） 已知函数f （x ）=sin （2x –π6）+12． （1）求f （x ）的最小正周期以及图象的对称轴方程；（4分） （2）当x ∈[0，π2]时，求函数f （x ）的最大值和最小值．（6分）2.（共12分）2015年12月27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，某区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了M 名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:（1）求表中p 的值和频率分布直方图中a 的值；(4分)（2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)20,25和[)35,40的二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会，现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.（8分）3.（共12分）袋子中装有编号为1A ，2A ，3A 的3个黑球和编号为1B ，2B 的2个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果；(4分)(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；（4分）(3)求至少摸出1个红球的概率.（4分）南木林高中2017—2018学年度第二学期期末测试参考答案二．填空题：（每题为4分）1.12 2. )322sin(2π+=x y3. {}12x x x ≥-≠且;4. 19三．解答题：（共34分） 1.(共10分)（1）解：由()12sin(2)62x f x π=-+ 2ω= 2T ππω∴== ………………………2分由2262x k πππ-=+可得 ,3x k k Z ππ=+∈()x f ∴的对称轴为,3x k k Z ππ=+∈ …………………………2分（2）02x π≤≤52666x πππ∴-≤-≤…………………………2分……………………………….2分∴当266x ππ-=-，即0x =时 ()x f 的最小值为0 ……………..1分 ∴当262x ππ-=-，即 3x π=时，()x f 的最大值为32…………………...1分130sin(2)622x π∴≤-+≤2.（共12分） （1）共4分求出M=80 ................1分 求出n=0.625 ……………………1分 求出p=0.075 …………………… 1分 求出a=0.125 …………………… 1分（2）共8分3．(共12分)解：（1）因为袋子中装有编号为1A ，2A ，3A 的3个黑球和编号为1B ，2B 的2个红球，从中任意摸出2个球，则可以列举所有的情况，有10种。

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2017届高三年级第一次月考数学(理科）试卷第Ⅰ卷（共36分)一、选择题：本大题共12小题,每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1. 若集合{|02},{|11}A x x B x x =<<=-<<，则R ()A B =( )A ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤<2．函数1)1lg(-+=x x y 的定义域是（ ）A ．),1(+∞-B ．),1[+∞-C ．),1()1,1(+∞-D ．),1()1,1[+∞-3。

命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ )．A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠,则0a ≠或0b ≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠4.若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为( ）A ．1B ．112或-C ．112-或 D ．05.下列说法不正确．．．的是（ )A.若“p q ∧"为假,则p ，q 至少有一个是假命题。

B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥"。

2017-2018学年西藏日喀则二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数=（）A．1+i B．﹣i C．1﹣i D．i2．已知复数z满足z（3+4i）=5﹣5i，则复数z在复平面对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数f（x）=x3，f′（x0）=6，则x0=（）A．B．C．±1 D．4．设为i虚数单位，则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣15．复数（+i）2的共轭复数是（）A．﹣+i B．﹣i C． +i D．﹣﹣i6．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．7．函数f（x）=x3﹣3x2+1的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．（﹣∞，0）8．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A．B．﹣1 C．0 D．线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.8010．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了由算得，K2≈9.967A．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”B．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”11．抛掷一个均匀的正方体玩具（它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），它落地时向上的数是3的概率为（）A．B．C．D．112．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．13．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积为（）A．B．C．D．无法计算14．已知函数f（x）是R上的可导函数，f（x）的导数f′（x）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a，c分别是极大值点和极小值点B．b，c分别是极大值点和极小值点C．f（x）在区间（a，c）上是增函数D．f（x）在区间（b，c）上是减函数15．设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1 B．3 C．9 D．12二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．16．i是虚数单位，若，则乘积ab的值是______．17．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是______．18．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于______．19．在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率为______．20．函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是______．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．21．已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i，实数m取什么值时，（1）复数z为实数？（2）复数z为纯虚数？22．求函数f（x）=6﹣12x+x3的单调区间和极值．23．袋中有5个球，其中3个白球，2个红球，从袋中任取出2个球，求下列事件的概率：（1）A：取出的2个球都是白球；（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．24．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．2017-2018学年西藏日喀则二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数=（）A．1+i B．﹣i C．1﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由虚数单位i的幂运算性质可得i3=﹣i，再把分子和分母同时乘以分母的共轭复数，进行运算．【解答】解：复数====i，故选D．2．已知复数z满足z（3+4i）=5﹣5i，则复数z在复平面对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（3+4i）=5﹣5i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z（3+4i）=5﹣5i，得=，则复数z在复平面对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．3．函数f（x）=x3，f′（x0）=6，则x0=（）A．B．C．±1 D．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=x3，∴f′（x）=3x2，∴f′（x0）=3x02=6，∴x02=2，∴x0=±，故选：D．4．设为i虚数单位，则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部为1．故选：C．5．复数（+i）2的共轭复数是（）A．﹣+i B．﹣i C． +i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2==，其共轭复数是．故选：D．6．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可．【解答】解：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得m=2．故选：A．7．函数f（x）=x3﹣3x2+1的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．（﹣∞，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）＜0时x的取值范围即为函数的递减区间．【解答】解：因为函数f（x）=x3﹣3x2+1的f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）＜0即3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，所以函数的减区间为（0，2）故选：C．8．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A．B．﹣1 C．0 D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决．【解答】解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=﹣1．故选B．线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80【考点】线性回归方程．【分析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．【解答】解：由题意，=4，=5.25∵y与x线性相关，且=0.95x+a，∴5.25=0.95×4+a，∴a=1.45故选B．10．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了由算得，K2≈9.967A．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”B．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，K2≈9.967＞6.635，有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”，即可求得答案．【解答】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，，K2≈9.967＞6.635，有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”，故答案选：B．11．抛掷一个均匀的正方体玩具（它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），它落地时向上的数是3的概率为（）A．B．C．D．1【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件抛掷一个质地均匀的正方体玩具，共有6种结果，满足条件的事件是数是3，可以列举出有1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：试验发生包含的事件是抛掷一个质地均匀的正方体玩具，观察向上的数，共有6种结果，满足条件的事件是向上的数是3，只有1种结果，根据古典概型概率公式得到P=．12．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为6，这两个数之和等于5的情况有2种，由此能求出这两个数之和等于5的概率．【解答】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为：2×3=6，这两个数之和等于5的情况有2种：2+3和3+2，∴这两个数之和等于5的概率：p==．故选：B．13．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积为（）A．B．C．D．无法计算【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．【解答】解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，P==，=4，又∵S正方形=，∴S阴影故选B．14．已知函数f（x）是R上的可导函数，f（x）的导数f′（x）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a，c分别是极大值点和极小值点B．b，c分别是极大值点和极小值点C．f（x）在区间（a，c）上是增函数D．f（x）在区间（b，c）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由极值点的定义，即在导数为0的根的附近，考虑导数的符号，左负右正，为极小值点，左正右负，为极大值点，再由单调性的判断，导数大于0，即为增区间，小于0，即为减区间．即可判断A，B，D错，C对．【解答】解：对于A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故A错；对于B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故B错；对于C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，故C对；对于D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（b，c）上是增函数，故D错．故选C．15．设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1 B．3 C．9 D．12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（1）=3a+3，由3a+3=﹣6求得a的值，代入原函数解析式，求出f（1），由直线方程的点斜式得到l的方程，求出其在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式得答案．【解答】解：由f（x）=ax3+3x，得f′（x）=3ax2+3，f′（1）=3a+3．∵函数f（x）=ax3+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，∴3a+3=﹣6，解得a=﹣3．∴f（x）=﹣3x3+3x，则f（1）=﹣3+3=0．∴切线方程为y=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣6=0．取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．16．i是虚数单位，若，则乘积ab的值是﹣3．【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a，b的值，求出结果．【解答】解：∵=．∵，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3，故答案为：﹣317．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x）的最大值为2故答案为218．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36，事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故答案为：．19．在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率P==，故答案为：．20．函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是y=﹣3x﹣2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2﹣1，∴f'（x）=3x2+6x，在x=﹣1处的切线斜率k=3•（﹣1）2+6•（﹣1）=﹣3，又∵f（﹣1）=（﹣1）3+3•（﹣1）2﹣1=1，切点为（﹣1，1），∴切线方程为y﹣1=（﹣3）（x+1）化简得y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．21．已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i，实数m取什么值时，（1）复数z为实数？（2）复数z为纯虚数？【考点】复数的基本概念．【分析】（1）直接由复数z的虚部等于0求得实数m的值；（2）由复数z的实部等于0且虚部不等于0求得实数m的值．【解答】解：（1）由m2﹣9m+18=0，解得m=3或m=6，∴当m=3或m=6时复数z为实数；（2）由，得，∴m=5．故使复数z为纯虚数的m值为5．22．求函数f（x）=6﹣12x+x3的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=6﹣12x+x3，∴f'（x）=3x2﹣12，令f'（x）=0，得x=±2，，．23．袋中有5个球，其中3个白球，2个红球，从袋中任取出2个球，求下列事件的概率：（1）A：取出的2个球都是白球；（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）用列举法可得从袋中5个球中一次任意取出2个球的基本事件的个数，其中取出的2个球均为白球的个数，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（2）取出的2个球中1个是白球，另1个是红球基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可得．【解答】（1）记3个白球分别为a，b，c，2个红球分别为x，y，则从中任取2个球的事件有：（a，b）（a，c）（a，x）（a，y）（b，c）（b，x）（b，y）（c，x）（c，y）（x，y）10种其中事件A有：（a，b）（a，c）（b，c）3种∴；（2）事件B有：（a，x）（a，y）（b，x）（b，y）（c，x）（c，y）6种，∴P（B）==．24．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．2018年9月27日。

2017-2018学年西藏拉萨中学高三（下）第八次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，5]B．（﹣3，﹣1]C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣174．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．725．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）若sin（π﹣α）=，α∈（0，），则sin2α﹣cos2的值等于（）A．B．C．D．7．当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．8408．设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 9．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．10．已知A、B为抛物线C：y2=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若，则直线AB的斜率为（）A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．14．直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于．15．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈R，若函数h（x）=f（x+α）的图象关于点（﹣，0）对称，且α∈（0，π），则α=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M 为D1C的中点．（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD1A1；（2）若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．求线段AE的长．19．“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（2）假定（1）中被邀请到的3个人中恰有两个接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．20．P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．求证：（1）△ABC∽△EDC；（2）DF=EF．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满:0分）23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．（1）解不等式2|x﹣2|﹣|x+1|＞3；（2）设正数a，b，c满足abc=a+b+c，求证：ab+4bc+9ac≥36，并给出等号成立条件．2017-2018学年西藏拉萨中学高三（下）第八次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，5]B．（﹣3，﹣1]C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），∵全集R，B=（﹣1，5]，∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），则A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]，故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．解答：解：====﹣1+i．故选B．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．3．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣17考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+4y可得y=﹣x+z，则z表示直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+4y可得y=﹣x+z，则z表示直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=﹣x+z经过点A时，z最小由可得A（﹣，﹣），此时Z=﹣15．故选B．点评：本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选：D点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．解答：解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力．6．（5分）若sin（π﹣α）=，α∈（0，），则sin2α﹣cos2的值等于（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的诱导公式求出cosα，结合三角函数的倍角公式进行化简即可．解答：解：由sin（π﹣α）=，α∈（0，），得sinα=，cosα=，则sin2α﹣cos2=2sinαcosα﹣=2×==，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的诱导公式以及倍角公式是解决本题的关键．7．当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．8．设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较．分析：因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．解答：解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．9．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．10．已知A、B为抛物线C：y2=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若，则直线AB的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中得到答案．解答：解：由题意可知直线的斜存在，故可设为k（k≠0）∵抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），准线x=﹣1，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）联立方程可得k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=•k=①，∵，∴即②①②联立可得，，，代入抛物线方程y2=4x可得×4∴9k2=16∴故选D点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用以及向量的有关知识．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0） 0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．解答：解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3••22••x；∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．14．直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．15．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．考点：球的体积和表面积．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d216．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈R，若函数h（x）=f（x+α）的图象关于点（﹣，0）对称，且α∈（0，π），则α=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），可得函数h（x）=2sin（2x+2α﹣），再由h（﹣）=0 可得2t﹣=0或π，由此解得t 的值．解答：解：∵函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1=2•﹣cos2x﹣1=1+sin2x﹣cos2x﹣1=2（sin2x﹣sin2x）=2sin（2x﹣），∴函数h（x）=f（x+α）=2sin（2x+2α﹣），且它的图象关于点（﹣，0）对称，∴h（﹣）=0，即2sin（2α﹣π）=0，∵α∈（0，π），∴2α﹣π=0 解得α=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的对称性，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0，即可解得tanC=，从而求得C 的值；（Ⅱ）由面积公式可得S△ABC==6，从而求得得a的值，由余弦定理即可求c的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0．…（2分）因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而cosC=sinC，又cosC≠0，…（4分）所以tanC=，所以C=．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，S△ABC==6，得a=6，…（9分）由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，所以c=2．…（12分）点评：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M 为D1C的中点．（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD1A1；（2）若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．求线段AE的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，由已知条件推导出四边形MNAE为平行四边形，由此能证明直线ME∥平面ADD1A1．（2）设AE=m，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，结合题设条件利用向量法能求出线段AE的长．解答：（1）证明：取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，∵点M为D1C的中点，E点是AB中点，∴MN，AE，∴四边形MNAE为平行四边形，∴ME∥AN，∵AN⊂平面ADD1A1，ME不包含于平面ADD1A1，∴直线ME∥平面ADD1A1．（2）解：设AE=m，如图以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（1，0，0），E（1，m，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），∴=（﹣1，0，2），=（0，m，0），=（0，2，﹣2），，设平面AD1E的法向量为，则，，∴，∴，设平面D1EC的法向量为=（x，y，z），则，，∴，∴=（2﹣m，1，1），设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ，∵二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为，∴cosθ==，整理，得20m2﹣116m+129=0，解得m=或m=（舍），∴线段AE的长为．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段落长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（2）假定（1）中被邀请到的3个人中恰有两个接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由已知得每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是，由此能求出这3个人中至少有2个人接受挑战的概率．（Ⅱ）X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，由此得X～B（6，），从而能求出X的分布列和数学期望．解答：解：（1）∵每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，∴每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是，设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则P（M）==．（Ⅱ）∵X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，∴X～B（6，），P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P∴EX=+=3．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．20．P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；整体思想．分析：（1）根据P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率；（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入，即可求得λ的值．解答：解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，∴，①由题意又有，②联立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，则e=，（2）联立，得4x2﹣10cx+35b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），，即又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=10b2，得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．点评：此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解答：解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．求证：（1）△ABC∽△EDC；（2）DF=EF．考点：相似三角形的判定．专题：解三角形．分析：（1）在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，根据D为斜边的中点，求出AD，BD，CD的长，求出CD：CE的比值与BC：AC的比值相等，再由夹角为直角相等，即可得证；（2）由（1）的结论得到∠B=∠CDF，根据BD=CD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到DF=CF，同理得到CF=EF，等量代换即可得证．解答：证明：（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得：AB=5，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=CD=AB=2.5，∴===，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△EDC；（2）由（1）得：∠B=∠CDF，∵BD=CD，∴∠B=∠DCF，∴∠CDF=∠DCF，∴DF=CF，由（1）得：∠A=∠CEF，∠ACD+∠DCF=90°，∠ECF+∠DCF=90°，∴∠ACD=∠ECF，∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，∴∠ECF=∠CEF，∴CF=EF，则DF=EF．点评：此题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满:0分）23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．解答：解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（1）解不等式2|x﹣2|﹣|x+1|＞3；（2）设正数a，b，c满足abc=a+b+c，求证：ab+4bc+9ac≥36，并给出等号成立条件．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）先由题意证得++=1，再由柯西不等式证得所给的不等式成立．解答：解：（1）由不等式2|x﹣2|﹣|x+1|＞3可得①或②，或③．解①求得x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x＞8，综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0或x＞8}．（2）证明：∵正数a，b，c满足abc=a+b+c，∴++=1，再由柯西不等式可得（ab+4bc+9ac）（++）≥（1+2+3）2=36，当且仅当a=2、b=3、c=1时，取等号，故ab+4bc+9ac≥36成立．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．还考查了柯西不等式的应用，属于中档题．。