解一元二次方程-配方法

1 第3课时 解一元二次方程-配方法

一、学习目标 1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；

2．学会利用配方法解一元二次方程.

二、知识回顾 1．形如2()xmn(n≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m= ±n ，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.

2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝ ±p

或mx＋n= ±p ．

三、新知讲解 1．配方法的依据

配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式2222()aabbab及直接开平方法．

2．配方法的步骤

（1）化—— 化二次项系数为1

如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.

（2）移——移项

通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 .

（3）配——配方

在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为2()xmn(n≥0)的形式．

（4）解——用直接开平方法解方程.

四、典例探究

1．配方法解一元二次方程

【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）

A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25

C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2= D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=

总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）把二次项的系数化为1；

（2）把常数项移到等号的右边；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

（4）用直接开平方法解这个方程.

练1用配方法解方程：

x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多项式的最值

【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

2 总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.

练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

练3（2014秋•崇州市期末）已知a、b、c为△ABC三边的长．

（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．

（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．

五、课后小测 一、选择题

1．（2015•延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（ ）

A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2

C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+2

2．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（ ）

A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15

C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17

二、填空题

3．（2015春•盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．

4．（2014秋•营山县校级月考）当x= 时，代数式3x2﹣6x的值等于12．

三、解答题

5．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋•安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

7．（2014秋•蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：

小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？

小华：能．求解过程如下：

因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7

而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．

问题：

（1）小华的求解过程正确吗？

（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．

8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值为4

仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

3

9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．

①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．

②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．

③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

4 典例探究答案：

【例1】【解析】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．

解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．

B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．

C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．

D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．

故选：B．

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，

配方，得：x2﹣2x+1=24+1，

即：（x﹣1）2=25，

开方，得：x﹣1=±5，

∴x1=6，x2=﹣4．

（2）两边除以3，得： 28103xx,

移项，得：2813xx，

配方，得：222844()1()333xx，

即：2245(x)()33，

开方，得：4533x

∴121,33xx

（3）整理，得：22120xx，

配方，得：2211201xx，

即：2(1)121x，

开方，得：111x

∴1210,12xx

点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．

5 【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．

解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，

又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，

∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．

∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．

点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．

练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．

解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，

∵（x﹣）2≥0，

∴﹣8（x﹣）2≤0，

∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，

即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．

点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；

（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．

解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）

∵a、b、c为△ABC三边的长，

∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，

∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．

（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）

得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0

配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0

∴a=b=c

∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．

课后小测答案：

一、选择题

1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．

解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．

故选：B．

点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．