江西省南昌二中2020届高三(6月份)高考数学(理科)校测试题(一)(wd无答案)

2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(理科)(三)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}2.复数z满足z=i(1−i)，则z.等于()A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i3.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是()A. 14B. 12C. 34D. 584.设a=−log232,b=log26,c=log412，则()A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c5.设实数x，y满足不等式组{x+y⩾4,y−x⩽2,x⩽4,则z=y+1x+1的最小值为()A. 13B. 15C. −13D. −126.函数f(x)=xcosxx2−1的图象大致为()A.B.C.D.7.执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为()A. 9B. 10C. 11D. 128. 在△ABC 中，AB =2，AC =√6，若CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −1B. −2C. 1D. 29. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列{1an ⋅a n+1}前n 项和的最大值为( )A. 49B. 1C. 4181D. 15131510. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为4，M ，N ，P 分别是棱A 1D 1，A 1A ，D 1C 1的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截该正方体所得截面的面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√311. 已知双曲线M:x 2a2−y 2b 2=1(b >a >0)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T所作的圆(x −c)2+y 2=a 2的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是( )A. (1,√2]B. (√2,√3]C. (√2,√5]D. (√3,√5]12. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂=9.4，则：①回归方程ŷ=b̂x+â中â=________；②据此模型预测广告费用为6万元时销售额为________万元．14.已知f(x)是定义在上的奇函数，当x<0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(0)+f(2)的值为________．15.若(1−2x)2015=a0+a1x+⋯+a2015x2015(x∈R)，则a12+a222+a323+⋯+a201522015的值为______．16.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，∠B=2π3，AB=√3，△ABC的面积为3√34．(1)求AC；(2)若BC⊥CD，∠D=π4，求AD．AD，18.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12∠BAD=∠ABC=90∘，E是PD的中点．(1)证明：直线CE//平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45∘，求二面角M−AB−D的余弦值．19.已知椭圆(a>b>0)过点，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，第一象限的点P满足｜PF1｜+｜PF2｜=2a，且PF2⊥x轴，｜PF2｜=3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M，N在椭圆C上，且直线MP，NP关于直线PF2对称，求直线MN的斜率．20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m25≤m<3515≤m<25或35≤m<450<m<15或45≤m≤65等级一等品二等品三等品某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到下图的频率分布直方图．(同一组数据用该区间的中点值作代表)：(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品82%”的规定？(2)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N(31,122)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降低多少？(3)若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．21.已知a∈R，设函数(1)若a=3e，求函数f(x)在[0,2e]上的最小值；(2)讨论函数f(x)的单调性．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：y=−√3x+5的距离最短，并求出点D的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|ax−3|(a>0)．。

江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理第I 卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合4{log 1}M x x =<，{2}M N =，则集合N 可以是（）A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}2.若复数z 的其共轭复数z 满⾜i iz311+=+，则复数z 为（） A.i 42-- B. i42+- C. i 44- D. i 44+3. “数摺聚清风，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出⼊怀袖，扇⾯书画，扇⾻雕琢，是⽂⼈雅⼠的宠物，所以⼜有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的⽰意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取⼀点，则此点取⾃扇⾯（扇环）部分的概率是（）A ．14B ．12C ．58D ．434．设52-=a ，5log 2b =，8log 5c =,则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥??+≥??-≥?表⽰的平⾯区域内，则22m n +的最⼩值为（）A.25105 C.49 D.23 6. 函数()()2cos ln1xf x x x=+-的部分图象⼤致为（）A.B.C.D.7. 明代数学家程⼤位（1533~1606年），有感于当时筹算⽅法的不便，⽤其毕⽣⼼⾎写出《算法统宗》，可谓集成计算的⿐祖．如图所⽰的程序框图的算法思路源于其著作中的“李⽩沽酒”问题．执⾏该程序框图，若输出的y 的值为2，则输⼊的x 的值为（） A ..74 B. 5627 C. 2 D. 164818.=?-=?==?AC AB BE AD AC E DC BD AC AB ABC ，则4的中点，若是2中，,,( )A. 0B. 2C. 4D. 89. 已知数列{}n a 为等差数列, n S 是其前n 项和, 255,35==a S .数列?+11n n a a 的前n项和为n T ,若对⼀切*∈n N 都有n T m >+12恒成⽴,则m 能取到的最⼩整数为( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 210. 在棱长为2的正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 是正⽅形11BB C C 的中⼼，M 为11C D 的中点，过1A M 的平⾯α与直线DE 垂直,则平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯⾯积为（） A.24 B. 26 C.52D. 10211.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离⼼率的取值范围是A ． (30,] B ．（3,1]C ．(32,] D ．（2,1]12.已知函数()??≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,，⽅程()a x f =恰有两个不同的实数根)(,2121x x x x <,则221x x +的最⼩值与最⼤值的和( )A. e +2B. 2C. 36-+eD. 34-+e第II 卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 宣传费⽤x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 45 24 a 50根据上表可得回归⽅程?9.6 2.9y x =+a 为．14．定义在R 上的函数)(x f 满⾜对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+.设2x x x f x g ++=sin )()(，若202010=)(g ，则=-)(10g ．15. 已知22024a x dx π=-?，若2020(1)-=ax 220200122020()++++∈b b x b x b x x R ，则20201222020222+++b b b 的值为______. 16.⾼三年级毕业成⼈礼活动中，要求A,B,C 三个班级各出三⼈，组成33?⼩⽅阵，则来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率为 .三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答. (⼀)必考题：共60分.17. （本⼩题满分12分）如图，在ABC ?中，点P 在边BC 上， .4,2,3=+==PC AC AP C π. (1) 求APB ∠的⼤⼩；(2)若25的⾯积为ABC ?，求PAB ∠sin 的值.18. （本⼩题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧⾯PAD 为等边三⾓形且垂直于底⾯ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平⾯PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底⾯ABCD 所成⾓为o 45，求⼆⾯⾓M AB D --的余弦值．19. （本⼩题满分12分）已知点F 1，F 2为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，F 1，F 2都在圆E ：22302yx y +--=上，椭圆C 和圆E 在第⼀象限相交于点P ，且线段PF 1为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为M ，N ，过定点Q 的直线l: x ＝ty ﹣2（t +1）与椭圆C 分别交于点A ，B ，且点A ，B 位于第⼀象限，点A 在线段BQ 上，直线OQ 与NA 交于点C ．记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2．求证：k 1k 2为定值．20. （本⼩题满分12分） 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公⽄，第三代杂交⽔稻的综合优势可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯，创建⼀个新产品，已知该产品的质量以某项指标值([70,100])k k ∈为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k产品等级废品合格良好优秀良好机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值k 的频率分布直⽅图（如图）．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中利⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，并采集相关数据进⾏分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的分布列及数学期望；（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中⾄少有1件为合格或合格以上等级”为事件A ，求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如表所⽰(14):t << 质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k利润y （元) t e -t 2t 4t 3tt 考数值：20.7ln ≈，3 1.1ln ≈，5 1.6)ln ≈．21. （本⼩题满分12分）已知函数()ln f x kx x =-，()k R ∈(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个零点1212,()x x x x <证明：ek x e x ->(⼆)选考题：共10分请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答.如果多做，则按所做的第⼀题计分.选修4-4：坐标系与参数⽅程 22．（本⼩题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，曲线C 的直⾓坐标⽅程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴，建⽴极坐标系，直线l 的极坐标系⽅程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标⽅程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23. （本⼩题满分10分）已知函数21++-=x a x x f )((1) 当1=a 时，求不等式4≤)(x f 的解集；(2)当1-南昌⼆中 2020 届⾼三校测(三)数学(理)试卷参考答案C AD A A A C D B B C C27a = -1820 -11140⼩题详解：10. 【解析】由如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平⾯1A MCN 即为平⾯α．证明如下：由正⽅体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共⾯，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平⾯DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平⾯1A MCN ，所以平⾯1A MCN 即平⾯α，且四边形1A MCN 即平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯．因为正⽅体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对⾓线123AC =，22MN =，所以其⾯积1S ==. 11.【解析】b a >，所以离⼼率212c b e a a ??==+>，圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆⼼，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，⽽焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2ba≤，所以213c b e a a ??==+≤，所以双曲线M 的离⼼率的取值范围是(2,3]．12. 【解析】函数()≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,的图像为：则[](],ln ,,,,2213211且02x x e e x x =-∈-∈-所以(]e e x x x x x ,,ln 32222211-∈+-=+ 令()(]()x x x x g e e x x x x g 111则13-=+-=∈+-=-/,,,ln ,所以()()()()33421--+====e e g x g g x g max min ,，选C.15. 【解析】由积分的⼏何意义知221(2)24a ππ==，220200122020(12)-=++++x b b x b x b x 中，01b =，令12x =，则2020120220200222++++=b b b b ，∴202012220201222+++=-b b b ． bTFO16. 【解析】⾸先，第⼀⾏队伍的排法有33A 种；第⼆⾏队伍的排法有2种；第三⾏队伍的排法有1种；然后，第⼀⾏的每个位置的⼈员安排有111333C C C 种；第⼆⾏的每个位置的⼈员安排有111222C C C 种；第三⾏的每个位置的⼈员安排有111??种.所以来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ==. 17. 【解析】（1）32π（6分）（2）38573（12分）18. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=?得BC ∥AD ，⼜12BC AD =，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平⾏四边形，CE ∥BF ．⼜BF ?平⾯PAB ，CE ?平⾯PAB ，故CE ∥平⾯PAB ．（5分）（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的⽅向为x 轴正⽅向，AB 为单位长，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，(1,0,3)PC =-，(1,0,0)AB =，设()(),,01M x y z x <<，则()1,,,(,1,3)BM x y z PM x y z =-=--，因为BM 与底⾯ABCD 所成的⾓为45°，⽽()0,0,1=n 是底⾯ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM =?n ，()21zx y z =-++，即()22210x y z -+-=．①⼜M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则 ,1,33x y z λλ===-．②由①②解得21216x y z ?=+==-??(舍去)，21216x y z ?=-?=??=．所以26(1,1,)2M -，从⽽26(1,1,)2AM =-．（9分）设()000,,x y z =m 是平⾯ABM 的法向量，则0,0,AM AB ??=?? =m m 即0000(22)260,0,x y z x ?-++=??=?? 所以可取(0,6,2)=-m ．于是 10cos ,?==m n m n m n ，因此⼆⾯⾓M AB D --（12分）19. 【解析】（1）在圆E 中，令y ＝0可得x ＝3±，所以由题意可得c ＝3，由圆的⽅程可得圆的半径为47，所以由题意可得|PF 1|＝27，连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2，⼜有|F 1F 2|＝2c ＝23，则|PF 2|＝,211244922121=-=-F F PF 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝1，所以椭圆的⽅程为：42x +y2＝1；（4分）（2）Q （﹣2，2），设A （x ，y ），B （x '，y '），直线l 的⽅程：x ＝ty ﹣2（t +1），联⽴椭圆的⽅程整理得：（4+t 2）y 2﹣4t （t +1）y +4t （t +2）＝0∴038,0<<->?t ，y +y '＝2414t t t ++)(，yy '＝2424t t t ++)(，（6分）设点C （﹣c ，c ），由A ，C ，N 三点共线点：22-=--x yc c ，所以c ＝22-+-y x y ，（8分）则k 1k 2＝()()()()()22222222222222////////-+--=-++-=+-+-+-?+=+-?+y t y t yy y x x yy y x y y x yx y c c x y()()[]422++-+-=///y y yy t t yy ＝??+++-++?+++-441424242424222t t t t t t t t t t t )()()()(＝41-，所以k 1k 2为定值41-．（12分） 20. 【解析】（1）由频率分布直⽅图得指标值不⼩于85的产品中，[85k ∈，90)的频率为0.0850.4?=， [90k ∈，95)的频率为0.0450.2?=，[95k ∈，100]的频率为0.0250.1?=，∴利⽤分层抽样抽取的7件产品中，[85k ∈，90)的有4件，[90k ∈，95)的有2件，[95k ∈，100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的所有可能取值为0，1，2，(0)7C P X C ===，1225374(1)7C C P X C ===，2125371(2)7C C P X C ===，（4分）()0127777E X =?+?+?=．（5分）（2）设事件A 的合格率为P （A ），则根据概率分布直⽅图得：⼀件产品为合格或合格以上等级的概率为1(0.040.02)50.7p =-+?=，∴事件A 发⽣的概率P （A ）973030703 33...=??=C ．（7分）（3）由频率分布直⽅图可得该产品的质量指标值k 与利润y （元)的关系与表所⽰(14)t <<，0.30.40.30.40.150.3 1.25t t y e t t t t e t =-++++=-+，(14)t <<，则0.3 1.25t y e '=-+，令0.3 1.250t y e '=-+=，解得256t ln =，∴当25(1,)6t ln ∈时，0y '>，函数0.3 1.25t y e =-+单调递增，当25(6t ln ∈，4)时，0y '<，函数0.3 1.25t y e t =-+，单调递减，（10分）∴当256t ln =时，y 取最⼤值2562532550.3 1.25(2523)0.561064ln e ln ln ln ln -+?=-?+?--=，∴⽣产该产品能够实现盈利，当251.46t ln ==时，每件产品的利润取得最⼤值为0.5元．（12分）21. 【解析】（Ⅰ）由题设可得定义域()0,x ∈+∞，()11kx f x k x x-'=-= 01当0k ≤，()1<恒成⽴，()f x 在()0,+∞上单调递减； 02当0k >，()11k x k f x k x x -'=-=， 10,x k ??∈，()0f x '<，故()f x 在10,k ??单调递减；1,x k ??∈+∞ ，()0f x '>，故()f x 在1,k ??+∞单调递增.（5分）（Ⅱ）⽅法⼀：()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则ln xk x=有两解，令()ln x g x x =，()21ln xg x x-'=， ()()()()0,e ,0,e,,0x g x x g x ''∈>∈+∞<，则()()max 1g x g e e==，()()120,,,x e x e ∈∈+∞，（7分）由题意可得，11ln 0..........(1)kx x -=22ln 0. (2)kx x -=1221211ln ln 1ln 1ln ek x e x x ek x ek x x -∴>?->-?+->⼜()()120,,,x e x e ∈∈+∞, 所以1ln 1,x <故121ek x e x ->转化为：只需证明2ln 11x ek +->,设()22ln 1F x x ek =+-（9分）由(2)式可得22ln x k x =，()22222ln ln 1ln 1x F x x ek x e x =+-=+-； ()2222221ln (1ln )1x x e x F x e x x x -+-'=+=，()()()22221ln ,x ,x x e x e ?=+-∈+∞， ()2210ex x ?'=->，(),x e ∈+∞恒成⽴，()()20,x e e ??∴>=>∴()20F x '>，故()F x 在(),e +∞上单调递增，()()211ln F x F e x >=>，即2212ln ln 1ln x x e x x +->，整理可得121ek xe x ->.（12分）⽅法⼆：由（1）知，()f x 有两个零点12,x x ，则0k >且1()1ln 0f k k=+<，得10k e<<，则1e k >，12x x <21x e k∴>>，⼜11ek e e k <<，（7分）且()()0ek ek ekf e ke ek k e e =-=-<，⼜1()0f x =，即1()()ekf e f x <，⼜()f x 在1(0,)k上单调递减，（9分）111(0,),(0,)ek e x k k ∈∈10ek x e ∴<<，⼜2x e >，121ek ek x ee x e-∴>=，所以原命题成⽴.（12分）22. 【解析】（1）将22(1)(1)3x y -++=改为222210x y x y +-+-=，化为极坐标⽅程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（4分）（2）将3θ=代⼊22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，（6分）以为211)480?=+=->，所以⽅程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C相交，公共弦的长为12ρρ-==（10分）23. 【解析】(1)当1=a 时，21++-=x x x f )(-≤--<<-≥+=212123112x x x x x ,,,（2分）令4≤)(x f ，解得2325-≤≤x ，即解集为：??∈23，25-x （5分）(2)当1-≥-++<<-++-≤-++=1121121212-21）1（-x a x a x a x a x a x a x f ),()(,)(),()(，（7分）)(x f 的图像与x 轴围城的三⾓形⾯积等于6，2-=∴a （10分）。

2020届江西省南昌二中高三校测试数学（文）题（三）一、单选题1．已知集合4{|log 1}M x x =<，{}2M N =，则集合N 可以是（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{2，3，4}【答案】C【解析】先利用对数函数的单调性化简集合M ，然后再根据交集的运算求解. 【详解】{|04}M x x =<<，{}2M N =，∴集合N 可以是{2，4}.故选：C 【点睛】本题主要考查交集的运算以及对数函数的单调性应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2．若复数z 的其共轭复数z 满足131zi i=++，则复数z 为（ ） A ．24i -- B ．24i -+C ．44i -D ．44i +【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案. 【详解】 解：由131zi i=++，得(13)(1)24z i i i =++=-+， 24z i ∴=--.故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ）A ．36.5B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解. 【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D . 【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 4．设52a -=，5log 2b =，3log 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：521log 2log 5b ==，321log 2log 3c ==，22log 5log 31>>，2210log 511log 3∴<<<， 则53log 2log 21<<， 又1135355log 2log log 1853>==， 531log 2log 213∴<<<， 又51232a -==， 故a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．25B．5C ．49D ．23【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,转化m 2+n 2为x ,y 的关系,利用目标函数的几何意义转化求解即可． 【详解】0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域如图阴影部分, 点(m +n ,m -n )在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,设x m n y m n =+⎧⎨=-⎩,即(,)x y 在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内, 且,22x y x ym n +-==, 所以()2222221222x y x y m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离, 即原点到直线2x -y -2=0的距离,所以距离的最小值为所以m 2+n 2的最小值为:21225⨯=, 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【答案】A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.7．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+．设()()sin g x f x x x =+-，若(10)2020g =，则()10g -=（ ）A ．2020-B ．2020C ．0D ．1010【答案】A【解析】利用抽象函数关系，判断函数()f x 是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】 解：有()()()f x y f x f y +=+，(00)(0)(0)(0)f f f f ∴+=+=，即(0)0f =，令y x =-，则有()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，即()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，若()()sin g x f x x x =+-，(10)2020g =，则(10)(10)sin10102020g f =+-=， 则(10)(10)sin1010(10)sin1010g f f -=--+=--+，两式相加得：02020(10)g =+-，得(10)2020g -=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，属于中档题．8．已知ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，则AD BC =（ ） A ．20 B ．102C ．10D ．103【答案】C【解析】先由正弦定理求得2220b c -=，再将,AD BC 均用,AB AC 表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论． 【详解】解：因为ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，21R ∴=且··2022b cb c R R-=； 故2220b c -=；∴2222111·()()()()10222AD BC AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线22:1x C y m -=(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．2(,0)(0,)22-B ．(，0)(0⋃C ．2(,(,)-∞+∞ D ．5(,(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2=2m =， 双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=， 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12222y y t =-，12224y y t t =--+ 221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-， 又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >， 所以直线l 的斜率22112k t =<， 又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是2(,0)(0,)22-， 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 12．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围． 【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题13．若向量1(tan15,)cos75a =，(1,sin 75)b =，则·a b =__．【答案】4【解析】进行数量积的坐标运算即可得出sin15cos15·cos15sin15a b =+，然后通分，根据二倍角的正弦公式和22sin cos1αα+=即可求出答案．【详解】解：22sin75sin15cos15sin15cos151·tan1541cos75cos15sin15sin15cos15sin302a b+=+=+===⋅．故答案为：4．【点睛】本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，22sin cos1x x+=，考查了计算能力，属于基础题．14．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分5块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．【答案】288【解析】根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有2412A=种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有3424A=种选法，则不同的摆放方式有1224288⨯=种．故答案为：288.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若2AB AC==，120BAC∠=︒，则此棱柱高为__．【答案】2【解析】设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为222R r-解． 【详解】解：设球的半径为R ，则2420S R ππ==球，5R ∴=．在ABC 中，由余弦定理知，22212cos12044222()122BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-=，23BC ∴=．由正弦定理知，ABC 的外接圆半径r 满足232sin120r =︒，2r ∴=．∴球心到平面ABC 的距离为22541d R r =-=-=．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．【点睛】本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．已知椭圆()22210x y m m+=>的焦点为1F ，2F ，若在长轴12A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，若使得12·0PF PF <的点M 的概率为，则m 的值为__． 【答案】2或12【解析】根据12·0PF PF =，得到P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可． 【详解】当12·0PF PF =时，点P 在圆222x y c +=上， 联立椭圆()22210x y m m+=>，222x y c +=，当1m 时，()222211m c x m -=-，解得x c=±，所以当x c=±12·0PF PF =. 若使得12·0PF PF <的点M，可得2c m =，解得23c =，2m =． 当01m <<时，解得y =3=， 得到2232c m =+，又因为221c m =-，解得12m =． 故答案为：2或12【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，所以2n S n =，①当1n =时，111a S ==，当2n 时，21(1)n S n -=-，②，①-②得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（首项符合通项）．故21n a n =-． （2）数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+，整理得13(3)3n nb b +-=-，即13133n n b b +-=-， 所以数列{}3n b -是以1133b -=为首项，13为公比的等比数列． 所以11113()333n n n b --=⨯=，故1(21)3n n c n =-⨯．211113(21)333n n T n =⨯+⨯+⋯+-⨯①，231111113(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②， ①-②得：2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋯+--⨯，整理得113n nn T +=-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若点M 为PC 的中点，4PA =，求点D 到平面MAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4217. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到//CE BF ，然后得到直线//CE 平面PAB ；（2） 取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB MQ ⊥，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法M ABD D MAB V V --=，得11 (33)ABD MAB MN S h S ∆∆=，即可求得结论．【详解】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =， 由，90BAD ABC ∠=∠=︒，得//BC AD ， 又12BC AD =， 所以//EF BC 且EF BC =，四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊂平面PAB ，故//CE 平面PAB ；（2）解：取AD 的中点O ，连接,OC OP ， 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，PO ∴⊥底面ABCD ，点M 为PC 的中点，M ∴在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．12MN PO ∴=， 取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， 则NQ AB ⊥，又MN AB ⊥，NQMN N =，AB ∴⊥平面MNQ ，AB MQ ∴⊥，4PA =，23PO ∴=，2AB =，由在Rt MNQ ∆中，132MN PO ==，2NQ =，222(3)7MQ =+=， 11··27722MABS AB MQ ∆∴==⨯⨯=，11··24422ABD S AB AD ∆==⨯⨯=， 设点D 到平面MAB 的距离为h ，由M ABD D MAB V V --=得11····33ABD MAB MN S h S ∆∆=，即1134733h ⨯⨯=⋅⋅ 421h ∴=， 即点D 到平面MAB 的距离为4217．【点睛】本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，其中，利用体积法是解决点面距离的常用方法，属于中档题．19．某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？（3）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）27.【解析】（1）利用平均数公式计算平均值即可；（2）填写列联表，计算2K，对照附表得出结论；（3）利用古典概型的概率公式，计算即可．【详解】解：（1）家长所打分数的平均值为139 (5468720824916108) 805X=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）填写列联表如下：计算2280(1882430)10.8277.87942384832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）总共基本事件为2721C =种，有小雯同学的选法为1116·6C C =种， 故所求的概率值为62217P ==． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 21．设函数()()ln 0k x f x x x k x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2312g x x k x =-+，求证：方程()()f x g x =有唯一零点. 【答案】（1）函数()y f x =在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）证明见解析；【解析】（1）当1k =时，()2x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=，即可得出其单调区间（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，则()()()1x x k F x x--'=-，然后分1k =，1k >，01k <<三种情况讨论即可.【详解】（1）当1k =时，()2ln f x x x =-，所以()12f x x x'=-，即()2x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=，当0x <<0f x，函数()f x 单调递减；当2x >时，0f x，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，()()()1x x k F x x--'=-①当1k =时，()0F x '≤，当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数. 因为()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ②当1k >时，当01x <<或x k >时，()0F x '<；当1x k <<时，()0F x '>， 所以()F x 在0,1和(),k +∞上单调递减，在()1,k 上单调递增. 因为()1102F k =+>，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在()1,22k +内有唯一零点；③当01k <<时，当0x k <<或1x >时，()0F x '<；当1k x <<时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,k 和1,上单调递减，在(),1k 上单调递增.因为()()22ln 02kF k k k =+->，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在(),22k k +内有唯一零点. 综上可得方程()()f x g x =有唯一零点.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=即可得到曲线的极坐标方程； （2）把()3R πθρ=∈代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长. 【详解】（1）将22(1)(1)3x y -++=改称为222210x y x y +-+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）将3πθ=代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，21)480∆=+=->，所以方程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为12ρρ-==【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题. 23．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 【答案】（1）53[,]22-；（2）2a =-.【解析】（1）将1a =代入()f x 中，然后根据()4f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出()f x 的图象与x 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为6得到关于a 的方程，再求出a 的值.【详解】解：（1）当1a =时，21,1()123,2121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-++=-<<⎨⎪---⎩.()4f x ，∴2141x x +⎧⎨⎩或21x -<<或2142x x --⎧⎨-⎩， ∴312x 或21x -<<或522x --，∴5322x -， ∴不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当1a <-时，(1)(12),2()(1)21,21(1)(21),1a x a x f x a x a x a x a x -++--⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-⎩，当1a <-时，令()0f x =，则121a x a -=+或211a x a+=-， 又由(1)(12)(1)21y a x a y a x a =-++-⎧⎨=-++⎩，得3y =， ()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，∴1211236211a a a a +-⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭， 解得2a =-或12a =（舍).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。

2020届江西省南昌市第二中学高三第六次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．2．设复数，则的虚部是（）A．1 B． C．-1 D．-3．已知命题甲：；命题乙：，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期在8月C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5．执行如图所示的程序框图，其输出结果是( )A．61 B．62 C．63 D．646．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度8．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．9．已知双曲线mx2-ny2＝1与直线y＝1+2x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )A．- B． C． D．10．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．已知数列满足：，则的前40项的和为（）A．860 B．1240 C．1830 D．242012．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，若a⊥(a－b)，则x＝__________。

14．已知集合从M中任取一个元素，则满足a+b-2≤0的概率为________．15．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为___________16．已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为，则三棱锥P-ABC表面积为___________．三、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.18．如图，四棱锥中，平面平面，为线段上一点，, 为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥C-BMN的体积.19．2018年，南昌市召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如下的列联表：优秀非优秀总计男生a3550女生30d70总计4575120（1）确定a,d的值；（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（3）为了宣传普及VR知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.63520．如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.（1）求抛物线C的标准方程（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.21．已知函数为实数.（1）若，求的单调区间和极值；（2）设，且有两个极值点，若，求的最小值.22．直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程，（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点A,B，若点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像最低点为，正数，满足，求的取值范围.2020届江西省南昌市第二中学高三第六次考试数学（文）试题参考答案一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】解一元二次不等式可得集合A，由对数型函数定义域可得集合B，利用交集定义求解即可.【详解】因为,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合交集的定义，属于基础题.2．设复数，则的虚部是（）A．1 B． C．-1 D．-【答案】C【解析】结合复数的四则运算，计算z，得到虚部，即可。