数学分析题库（1-22章）三 判断题1. 数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 有界.( )2. 若0N ∃>, 当n N >时有n n n a b c ≤≤, 且lim lim n n n n a c →∞→∞≠, 则lim n n b →∞不存在. ( )3. 若00lim ()lim ()x x x x f x g x →→>, 则存在 00(;)U x δ使当00(;)x U x δ∈时,有()()f x g x >.( )4. ()f x 为0x x →时的无穷大量的充分必要条件是当00(;)x U x δ∈时,()f x 为无界函数.( ) 5. 0x =为函数sin xx的第一类间断点. ( ) 6. 函数()f x 在[,]a b 上的最值点必为极值点. ( )7. 函数21,0,()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在0x =处可导. ( )8. 若|()|f x 在[,]a b 上连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. ( )9. 设f 为区间I 上严格凸函数. 若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点. ( )10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )11. 2200011lim sinlim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅=. （ ） 12. 数列{}n a 存在极限⇔对任意自然数p , 有lim ||0n p n n a a +→∞-=. （ ）13. )(lim 0x f x x →存在的充要条件是)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→均存在.（ ）14..0)2(1lim )1(1lim 1lim )2(1)1(11lim 222222=++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n （ ）15. ,lim a a n n =∞→ 若0,0>>a a n , 则 1lim lim==∞→∞→n n nn n a a . （ ）16. 设)(),(x g x f 为定义于D 上的有界函数, 且)()(x g x f ≤,D x ∈, 则)(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈≤.（ ）17. 发散数列一定是无界数列. （ ）18. 0x =是函数1()sinf x x x=的第二类间断点. （ ）19. 若()f x 在[,]a b 连续，在内(,)a b 可导，且()()f a f b ≠，则不存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=.（ ）20. 若()f x 在点0x 既左可导又右可导，则()f x 在0x 连续.（ ）21．定义在关于原点对称的区间上的任何函数f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函数之和.( ）22．设函数f(x)在0x x =处的导数不存在，则曲线y=f(x)在()()00,x f x 处无切线.（ ）23．若f(x)与g(x)均在0x x =处取得极大值，则f(x)g(x)在0x x =处也取得极大值.（ ）24.lim ()x f x b →Λ=(b 为常数,Λ可以是000,,,,,x x x -+∞+∞-∞之一)，则，是变化时的无穷小量( ) 25.函数()f x 在(a,b)单调增加，则时，函数的左、右极限都存在，且( )26. 设 ， 为有理数集，则( )27.若函数在连续，则也在连续 ( )28．设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c mc ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ. ( )29．设(),()f x g x 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.( )30．设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在.( )31．如是函0x x =数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f . ( )32．对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim ')'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x x x cos +的极限不存在. ( )33．无界数列必发散. ( )34．若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续. ( ) 35．初等函数在有定义的点是可导的. ( )36．ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x必不可导 . ( ) 37．设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f . ( )38．设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )39．设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n∈∀,当0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )40．设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时,),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )41．若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 42．设⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,有)()(x g x f ≠. ( ) 43．设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.( ) 44．存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点. ( )45．()x f 在[]b a ,上可积,但不一定存在原函数. ( )46．利用牛顿一来布尼兹公式可得21111112-=--=⎰-x x. ( ) 47．任意可积函数都有界,但反之不真. ( ) 48．级数∑∞=1n na,若∑∞=≠10n na,则∑∞=1n n a 必发散. ( )49．若级数∑∞=1n na收敛,则∑∞=12n na亦收敛. ( )50．若在[a,b]上收敛.且每项都连续,则()().limlim dx x f dx x f ban n n ban ⎰⎰∞→∞→=( )51．若∑∞=1n nu一致收敛,则0lim =∞→n n u .( )52．若∑∞=1n nu在I 上一致收敛,则∑∞=1n nu在I 上绝对收敛. ( )53．函数()x f 的傅里叶级数不一定收敛于()x f .( ) 54．设)(x f 在],[b a 上可积，记⎰∈∀=Φxab a x dt t f x ,],[)()(则)(x Φ在],[b a 上可导，且).()(x f x =Φ'( )55．],[b a 上有界函数)(x f 可积的充要条件是：,0>∀ε有对],[b a 的一个分法0T ，使.)()(00ε<-T s T S ( )56．部分和数列}{n S 有界，且,0lim =∞→n n u 则∑∞=1n nu收敛. ( )57．若∑∞=1||n nu收敛，则一定有∑∞=1n n u 收敛. ( )58．若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛，则在3=x 处也收敛. ( )59．若)(),,()(x f r r x n -∈∀存在)21 ，，（=n ，则)(x f 在),(r r -上可展成x 的幂级数.( )60．在区间套]},{[n n b a 内存在唯一一点,ξ使得.,2,1],[ =∈n b a n n ξ( )61.函数列(){}n f x 在[],a b 上一致收敛是指：对0ε∀>和[],x a b ∀∈，∃自然数N ，当m n N >>时，有()()n m f x f x ε-<. ( )62.若(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ，则(){}nfx 在[],a b 上一致收敛于()f x .( )63.若函数列(){}n f x 在[],a b 上一致收敛，则(){}2n f x 在[],a b 上一致收敛. ( ) 64. 若函数列(){}n f x 在(),a b 内的任何子闭区间上都一致收敛，则(){}n f x 在(),a b 上一致收敛. ( ) 65.若函数项级数()1nn u x ∞=∑在[],a b 上一致收敛，则()1nn u x ∞=∑在[],a b 上也一致收敛. ( )66.任一幂级数都有收敛点，它的收敛域是一个区间。
