山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编17 等差数列 理 新人教A版

课时跟踪检测(三十三) 数 列 求 和1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116D.1582．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．不确定3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n4．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n5．(2013·某某模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011006．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2007．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．(2013·某某质检)已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.10．(2013·某某统考)在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .11．(2012·某某调研)已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .12．(2012·某某质检)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2，3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >52成立的最小的正整数n .1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n n >32．(2012·某某二模)若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________.3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .答 案课时跟踪检测(三十三)A 级1．选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且91－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.2．选B 由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可知数列{a n }是等差数列，由S 25＝a 1＋a 25×252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.3．选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .4．选C a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .5．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 6．选B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.7．解析：由等差数列的性质及a 2＋a 8＝18－a 5， 得2a 5＝18－a 5，则a 5＝6， 故S 9＝a 1＋a 9×92＝9a 5＝54.答案：548．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1qn －1＝3×3n－1＝3n，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：nn ＋110．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得a 1＝2，q ＝2，故a n ＝2·2n －1＝2n.(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝21－2n1－2＝2(2n－1)，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)，设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋1＋2]－n (n ＋1)＝(n －1)2n ＋2＋4－n (n ＋1)．11．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q 1－q 2n1－q2； 当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋1，q ＝1，n 2＋q 1－q 2n1－q 2，q >0，q ≠1.12．解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得：a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6.B 级1．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n >3.2．解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，….所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012＝21－22 0121－2＝22 013－2.故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013.答案：2 0133．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n.(2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∴S n ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.。

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用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，
等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值．
(2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式子，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

第五章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2. [2013·安徽名校联考]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12合不可以期化学教案梦中时时见兄与褐甫抵掌化学教案今故酣嬉笑呼化学教案觉而怛C. 1D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.3. [2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )A. 33 B. 72 C. 84 D. 189答案：C解析：由题意可知该等比数列的公比q ≠1，故可由S 3＝3×(1－q 3)1－q＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4. [2013·合肥质检]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64 B. 32 C. 16 D. 8答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1， 两式相除得a n ＋2a n＝2.∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16.又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5. [2013·衡阳三联]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.334 B.314C.C. 172D.152步行走;“逛答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q >0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝4(1－125)1－12＝314，选B.6. [2013·湖南重点中学调研]若等比数列{a n }的公比q ＝2，且前12项的积为212，则a 3a 6a 9a 12的值为( )A. 24 B. 26 C. 28 D. 212答案：C解析：由等比数列定义知a 1a 4a 7a 10＝a 3·1q 2a 6·1q 2a 9·1q 2a 12·1q 2＝a 3a 6a 9a 12·128，a 2a 5a 8a 11＝a 3a 6a 9a 12·124，而a 1a 2a 3…a 12＝a 3a 6a 9a 12·128a 3a 6a 9a 12·124a 3a 6a 9a 12＝(a 3a 6a 9a 12)31212＝212，∴(a 3a 6a 9a 12)3＝224，∴a 3a 6a 9a 12＝28. 二、填空题7. 已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的公比q ＝________.答案：12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10a 4＋a 6＝a 1q 3(1＋q 2)＝54，解得q ＝12.8. [2013·金版原创]设等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，已知a 1＝2011，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N*)，则S 2012＝________.答案：0解析：本题考查等比数列的基本知识．设公比为q ，则由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)得1＋2q ＋q 2＝0，∴q ＝－1.所以S 2012＝2011×(1－(－1)2012)1＋1＝0.9. [2013·南京模拟]记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.答案：4解析：因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.三、解答题10. [2013·锦州模拟]设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式．解：(1)由已知得：⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))．∵q ＝12，∴a 1＝4.故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．11. [2013·湖州模拟]已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1n 2＋q (1－q 2n)1－q 2，q >0且q ≠1.12. [2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 从而a 1d ＝d 2，因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－(12)n ]1－12太傅谢安的二弟试卷试题父亲谢允化学教案曾任宣城内史试卷试题谢景仁年幼时谢安还在世化学教案谢安对他有所了解试＝1a [1－(12)n ]．从而，当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.。

课时作业(三十三)一、选择题1．(2012年山西大同市高三学情调研)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35解析：由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于 ( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由a 4＝18－a 5，得a 4＋a 5＝18. 所以S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝4×18＝72.答案：D3．(2011年全国卷大纲版)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝(k ＋2)2－k 2＝4k ＋4＝24，得k ＝5.答案：D4．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列解析：若{S n}为递增数列，∴当n≥2时，S n－S n－1＝a n>0，即n≥2时，a n 均为正数，而a1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n∈N*，不一定S n始终大于0.答案：C5．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为A.94 B.32C.54D．4解析：设数列{a n}的公差为d.依题意得S4＝4×1＋4×32d＝4＋6d，S2＝2＋d，且S4＝4S2，即4＋6d＝4(2＋d)，d＝2，S6＝6×1＋6×52d＝36，S4＝16，S6S4＝3616＝94，选A.答案：A6．已知在等差数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n>a n＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{a n}的公差是() A．－2或－3 B．2或3C．－2 D．－3解析：2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，由S15＝m得a8＝m15.又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，解之得m＝0，或m＝－45，则a8＝0或－3. 由3d＝a8－a5得d＝－2或－3.答案：A二、填空题7．(2011年湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：∵a 1＝1，a 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5＋10×2＝25. 答案：258．(2012年福建泉州质检)定义运算|a c b d |＝ad －bc ，函数f (x )＝|x －1－x2x ＋3|图象的顶点是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r ＝________.解析：f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3，顶点是(－2，－7)，因为k ，m ，n ，r 成等差数列，所以k ＋r ＝m ＋n ＝－9.答案：－99．(2013届江西省百所重点高中阶段性诊断)已知分别以d 1和d 2为公差的等差数列{a n }和{b n }满足a 1＝18，b 14＝36，a k ＝b k ＝0，且数列a 1，a 2，…，a k ，b k＋1，b k ＋2，…，b 14，…(k <14)的前n 项和S n 满足S 14＝2S k ，则a n ＋b n ＝__________. 解析：由S 14＝2S k ，得S k ＝S 14－S k ， ∵a k ＝b k ＝0，S k ＝S 14－S k －1 ∴18＋02×k ＝36＋02×(14－k ＋1)，则9k ＝18×(15－k )，得k ＝10，d 1＝0－189＝－2，d 2＝36－014－10＝9，则a n ＝－2n ＋20，b n ＝9n －90，即有a n ＋b n ＝7n －70.答案：7n －70 三、解答题10．(2012年山东临沂二模节选)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：因为3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0， 又∵a 1>0，∴a 1、a 2、…、a 11、a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数． ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列， 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4)(n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4(n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).12．(2012年江苏泰州高三第一学期期末考试)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， ∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12. 在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3. 在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1， ∴C n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92.假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．∵(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1)＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．(3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a nn ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1， ∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2·…·a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1 ＝n ＋2n ＋1·n ＋1n ·…·54·43＝n ＋23. ∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)， …a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4， a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)，∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件，∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R)的数列均满足条件． [热点预测]13．(1)(2012年安徽江南十校第一次联考)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32(2)(2012年山东滨州一模)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 63＝18，若a ij ＝2 012，则i ＋j ＝( )A.75 C ．77D ．78解析：(1)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π， 显然不成立，所以m <0， 则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.(2)观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推，第2n 行有2n 个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，依此类推，前2n (n ∈N *)行(包括第2n 行)共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n 个偶数，第2n 行的最后一个数为2n 2＋2n ，当n ＝32时，2n 2＋2n ＝2 112，故2 012应在第64行，又2 112－2 0122＝50，所以2 012应在第64行从左往右数第64－50＝14个数，所以i ＋j ＝64＋14＝78.选D.答案：(1)D (2)D。