数学理卷·2011年河南省示范性高中五校联谊模拟考试(2011.04)

全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ．3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______. ．5．所有的满足条件11aba b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. ．8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|MB AB MA 成等差数列, ||AB __ ___.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD , △ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ， 且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1． 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。

2011 年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷与答数学注意事项：1. 本试卷共 8 页，三大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 .2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚 .参考公式：二次函数y ax 2 bx c( a 0) 图象的顶点坐标为 ( b , 4ac b 2) . 2a4a一、选择题（每小题3 分，共 18 分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内 .1. － 5 的绝对值 【 】 （ A ） 5 （ B ）－ 5 （ C ） 1（ D ）1 5 52. 如图，直线 a ， b 被 c 所截， a ∥ b ，若∠ 1=35°，则∠ 2 的大小为 【 】（ A ） 35° （ B ）145° （ C ） 55° （ D ） 125°3. 下列各式计算正确的是 【】 （ A ）( 1)0 (1 ) 13 （B ） 2 352（ C ）2a 24a 2 6a 4 （ D ）(a 2 ) 3a 6 4.不等式 x+2＞ 0，x － 1≤2 的解集在数轴上表示正确的是【】5. 某农科所对甲、乙两种小麦各选用10 块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲=610千克， x乙=608千克，亩产量的方差分别是S2甲=29.6 ，S2乙 =2. 7.则关于两种小麦推广种植的合理决策是 【 】（ A ）甲的平均亩产量较高，应推广甲（ B ）甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广（ C ）甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲（ D ）甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙6. 如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点 O 旋转 180°到乙位置， 再将它向下平移 2 个单位长到丙位置， 则小花顶点 A 在丙位置中的对 应点 A ′的坐标为 【 】 来[源 学§科§网 Z §X §X §K]（ A ）（ 3， 1） （ B ）（ 1， 3） （ C ）（ 3，－ 1） （D ）（ 1， 1）二、填空题 （每小题 3 分，共 27 分） 7. 27 的立方根是 。

cba第2题122011年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷数 学注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．参考公式：二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的项点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 一、选择题（每小题3分，共18分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1．5-的绝对值是（ ）A ．5 Ｂ．5-C ．15 D ．15- 2．如图，直线a b ，被直线c 所截，a b ∥，若135∠=°，则2∠的大小为（ ） A ．35° B ．145° C ．55° D ．125°3．下列各式计算正确的是（ ）A ．()101132-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭B=C ．224246a a a += D ．()326a a =4．不等式组2012x x +>⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）5．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲=610千克，x 乙=608千克，亩产量的方差分别是229.6S=甲，2 2.7S =乙．则关于两种小麦推广种植的合理决策是（ ）A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲B ．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C ．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲D ．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙6．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A '的坐标为（ ）A ．()31，B ．()13，C ．()31-，D ．()11， 二、填空题（每小题3分，共27分） 7．27的立方根是___________． 8．如图，在ABC △中，AB AC =，CD 平分36ACB A ∠∠=，°，则BDC ∠的度数为____________. 9．已知点()P a b ，在反比例函数2y x=的图象上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为____________. 10．如图，CB 切O ⊙于点B ，CA 交O ⊙于点D ，且AB 为O ⊙的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若40C ∠=°，则E ∠的度数为______________.11．点()12A y ，、()23B y ，是二次函数221y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为1y_________2y （填“>”、“<”或“=”）.12．现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为1、2的两个小球，另一个装有标号分别为2、3、4三个小球，小球除标号外其它均相同．从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球标号恰好相同的概率是____________.13．如图，在四边形ABCD 中，904A AD ∠==°，，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为________.14__________.15．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，60C ∠=°，2BC AD ==，点E 是BC 边的中点，DEF △是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则BFG △的周长为_______________.三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简22144111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．17．（9分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接DE 交AB 于点M ．（1）求证：AMD BME △≌△； （2）若N 是CD 的中点，且52MN BE ==，，求BC 的长．18．（9分）为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5 000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m =______________； （2）该市支持选项B 的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B 的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？CDE19．（9分）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第一高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B 的俯角α为45°，点D 到AO 的距离DG 为10米；从地面上的点B 沿BO 方向走50米到达点C 处，测得塔尖A 的仰角β为60°．请你根据以上数据计算塔高AO ，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈．结果精确到0.1米）20．（9分）如图，一次函数112y k x =+与反比例函数22k y x=的图象交于点()4A m ，和()82B --，，与y 轴交于点C ．（1）1k =_____________，2k =________________；（2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是______________； （3）过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限上一点．设直线OP 与线段AD 交于点E ，当3ODE ODAC S S =△四边形∶∶1时，求点P 的坐标．21．（10人数m 0<m ≤100 100<m ≤200m >100 收费标准（元/人）908575100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花费18 000元．（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ （2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？22．（10分）如图，在ABC Rt △中，905330B BC C ∠==∠=°，，°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是()0t t >秒．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由． （3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为8-．（1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE AB ⊥于点E ．①设PDE △的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．2011年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试数学试题参考答案及评分标准三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．原式=()()()211212x x x x x +----． =12x x +-． x 满足22x -≤≤且为整数，若使分式有意义，x 只能取０，2-．当0x =时，原式=12- （或：当2x =-时，原式=14）．17.（1）AD BC ∥ ，A MBE ADM E ∴∠=∠∠=∠，， 在AMD △和BME △中，A MBE AD BE ADM E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， AMD BME ∴△≌△． （2）AMD BME △≌△，MD ME ∴=.又ND NC =，12MN EC ∴=. 22510EC MN ∴==⨯=. 1028BC EC EB ∴=-=-=. 18．（1）（C 选项的频数为90，正确补全条形统计图）；20．（2）支持选项B 的人数大约为：5000×23%=1150.（3）小李被选中的概率是：0021150231=. 19．45DE BO α=∥，°.45DBF α∴∠==°.∴Rt DBF △中，268BF DF ==. 50BC =，26850218CF BF BC ∴=-=-=. 由题意知四边形DFOG 是矩形， 10FO DG ∴==．21810228CO CF FO ∴=+=+=． 在Rt ACO △中，60β=°， tan60228 1.732394.896AO CO ∴=⨯=·°≈． 394.896388 6.896 6.9∴-=误差为≈（米）．即计算结果与实际高度的误差约为6.9米．20．（1）12，16； （2）80x -<<或4x >；（3）由（1）知，1211622y x y x=+=，．4m ∴=，点C 的坐标是()02，，点A 的坐标是()44，．24CO AD OD ∴===，．2441222ODAC CO AO S OD ++∴=⨯=⨯=梯形．31ODE ODAC S S =△梯形∶∶，1112433ODE ODAC S S ∴=⨯=⨯=△梯形．即1422OD DE DE =∴=·，． ∴点E 的坐标为（4，2）． 又点E 在直线OP 上，∴直线OP 的解析式为12y x =，∴直线OP 与216y x=的图象在第一象限内的交点P的坐标为(． ∴直线OP 的解析式为12y x =．21．（1）设两校人数之和为a ．若200a >，则1800075240a =÷=．若100<a ≤200，则13180008521117a =÷=，不合题意． 所以两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240，超过200人．（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x 人，乙学校报名参加旅游的学生有y 人，则①当100<x ≤200时，得240859020800.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得16080.x y =⎧⎨=⎩，②当x >200时，得240759020800.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得15332186.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此解不合题意，舍去．∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人． 22．（1）在DFC △中，90302DFC C DC t ∠=∠==°，°，， DF t ∴=． 又AE t AE DF =∴=，． （2）能．理由如下：AB BC DF BC ⊥⊥，， AE DF ∴∥．又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形．∵tan 305AB BC===·°， ∴210AC AB ==．∴102AD AC DC t =-=-．若使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE AD =．即101023t t t =-=，． 即当103t =时，四边形AEFD 为菱形． （3）①90EDF ∠=°时，四边形EBFD 为矩形． 在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=°，∴2AD AE =．即510222t t t -==，．②90DEF ∠=°时，由（2）知EF AD ∥， ∴90ADE DEF ∠=∠=°． ∵90A ∠=°-60C ∠=°， ∴cos60AD AE =︒·．即110242t t t -==，．③90EFD ∠=°时，此种情况不存在．综上所述，当52t =或4时，DEF △为直角三角形．23．（1）对于3342y x =-，当0y =时，2x =．当8x =-时，152y =-．∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为1582⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得 01215168.2b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩， 解得3542b c =-=，．∴2135442y x x =--+．（2）①设直线3342y x =-与y 轴交于点M ．当0x =时，32y =-，∴32OM =．∵点A 的坐标为（2，0）， ∴2OA =．∴52AM ==．∴345OM OA AM =∶∶∶∶． 由题意得，90PDE OMA AOM PED ∠=∠∠=∠=，°， ∴AOM PED △∽△． ∴35DE PE PD =∶∶∶4∶．∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴P D PD y y =-=21353344242x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=213442x x --+．∴212134542l x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ =231848555x x --+．∴()233155l x =-++．∴315x l =-=最大时，．②满足题意的点P 有三个，分别是12322P P P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，． 【解法提示】当点G 落在y 轴上时，由ACP GOA △≌△得2PC AO ==，即21352442x x --+=，解得32x -±=，所以12332222P P ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．当点F 落在y 轴上时，同法可得37722P ⎛--+ ⎝⎭，，47722P ⎛--- ⎝⎭，（舍去）．。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页,三大题,22小题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题之前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卷左边的密封线以内.座号填写在答题卷第2页右下边的方格内. 3. 选择题答案用2B铅笔图涂到答题卡上,把非选择题写到答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合要求的） 1、在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）A、y=x+B、y=lgx+C、y=D、y=x2－2x+3 2、双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（ ）A、－B、－4C、4D、 3、已知命题P：x∈R，sinx≤1，则为（ ） A、B、 C、D、 4、双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A、B、2C、D、1 5、已知△ABC中，角A、B、C满足sin A：sin B：sin C=1：：，则△ABC的最大角为（ ） A、B、C、D、 6、设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（ ）A、2B、3C、4D、5 7、过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ） A、B、C、D、 8、锐角三角形ABC中，若C=2B，则的取值范围是（ ）A、（0，2）B、（，2）C、（，）D、（，2） 9、设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，（ ）A、是等差数列但不是等比数列B、是等比数列但不是等差数列C、既是等差数列又是等比数列D、既不是等差数列也不是等比数列 10、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,……的第1 000项等于（ ）A、42B、45C、48D、51 11、若a＞0，b＞0，c＞0且（a+b）(b+c)=4－，则a+2b+c的最小值为（ ） A、B、C、D、 12、F1、F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2的顶角Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则P的轨迹是（ ）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、圆 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 左支有两个不同的交点，则该双曲线的离心率的取值范围为 ． 三、解算题（本大题共6小题,共70分，请将必要的文字说明,证明过程或演算步骤写在答题卷上，否则解答无效） 17、（本小题满分12分）等比数列中，已知a1=2，a4=16。