湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学(理)试题 Word版含解析

湖北省武汉市2018-2019学年高三调考数学试卷（理科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≥04．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．18．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：复数﹣==﹣1+i的共轭复数为﹣1﹣i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．解答：解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选A．点评：本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域．3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≥0考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，解参数即可．解答：解：∵函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，∴ax﹣2≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≥在[2，+∞）恒成立，∵0＜≤1，∴a≥1，故选：C．点评：本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的定义域是解决本题的关键．4．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体，结合数据求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有有2件次品，7件正品；则第二次抽到正品的概率为P=．故选：B．点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：∵==cosx﹣sinx，∴dx=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=+﹣0﹣1=﹣1故选：C点评：本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β故选D．点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．解答：解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则有•=•+•=+=﹣（m2﹣4n2）=﹣×4=﹣．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．考点：两点间的距离公式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论．解答：解：设P（x，y），则|OP|===≥，当且仅当，即取等号，故|OP|的最小值是，故选：A．点评：本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣75．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：把（1﹣x）10按照二项式定理展开，可得（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数．解答：解：（1+x）（1﹣x）10=（1+x）（1﹣•x+•x2﹣•x3+…+•x10），故（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣+=﹣75，故答案为：﹣75．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得（﹣λ）•=0，由坐标运算可得λ的方程，解方程可得．解答：解：∵向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），∴﹣λ=（2+2λ，﹣7+4λ），∵存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，∴（﹣λ）•=﹣2（2+2λ）﹣4（﹣7+4λ）=0，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a=0，则目标函数为z=﹣x，即x=﹣z，此时满足目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，若a≠0，则由z=（a﹣1）x+ay得，y=x，若a＜0，此时目标函数的斜率k=＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（﹣1，0）时，直线截距最小，z最大，若a＞0，要使目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k=≥1，即a≤，此时满足0≤a≤，综上a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=5．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，由垂径定理和勾股定理求出OC⊥AB，PC=PA﹣AC=，OC=，由此能求出⊙O的半径R．解答：解：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，∵AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，∴OC⊥AB，PC=PA﹣AC=4﹣=，∴OC===，∴R=OA===5．故答案为：5．点评：本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的合理运用．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）化为P，即P．直线l：ρsin（θ﹣）=1化为：=1，x﹣y+2=0．∴点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离==3．故答案为：3．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由已知可得2sin cos（﹣）+asin=，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+，由周期公式即可求最小正周期T．（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥﹣，由正弦函数的图象解得2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），即可得f（x）≥0的解集．解答：解：（1）函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，），则有：2sin cos（﹣）+asin=，故解得：a=1，∴f（x）=2sinx•cos（x﹣）+sin（2x+），=2sinx（cosxcos+sinxsin）+sin2xcos+cos2xsin，=2sin2xcos+（2sin2x+cos2x）sin，=sin2x+sin，=sin2x+，∴最小正周期T=…6分（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥﹣，∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），∴f（x）≥0的解集为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1．可得a n﹣a n﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）b n=•a n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．∴，a1＞0，解得a1=1．当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}为等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（II）b n=•a n=，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，∴=+…+，∴=++…+﹣，∴T n=1++…+﹣=﹣=．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得B1C1⊥A1O，AO⊥B1C1，由此能证明B1C1⊥面A1AO，从而得到B1C1⊥AA1．（Ⅱ）过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，由已知得∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，由此能求出二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵A在底面△A1B1C1上射影是下底面正△A1B1C1的中心O，∴B1C1⊥A1O，又AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，∴B1C1和两相交直线AO，A1O均垂直，∴B1C1⊥面A1AO，又AA1⊂面A1AO，∴B1C1⊥AA1．（Ⅱ）解：过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，∵AA1⊥B1C1，AA1⊥DB1，∴AA1⊥面DB1C1，∴AA1⊥DC1，∴∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，又A在底面A1B1C1上的投影是△A1B1C1的中心，∴AA1=AB1=2a，在△AA1B1中，由AA1=AB1=2a，，由面积法知：=，同理DC1=，在△C1DB1中，由余弦定理得cos∠B1DC1==，∴二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）利用每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=，结合相互独立事件的概率公式，求这个车间一天内可能获取利润的均值．解答：解：（Ⅰ）∵一天中每台机器发生故障的概率为0.1，∴某一天中有两台机器发生故障的概率为=0.0729；（Ⅱ）∵每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=又P0==0.95，P1==0.5•0.94，∴这个车间一天内可能获取利润的均值P0•12+P1•9+P2•6+（P3+P4+P5）•（﹣6）=P0•12+P1•9+P2•6+（1﹣P0﹣P1﹣P2）•（﹣6）=18P0+15P1+12P2﹣6≈10.42万元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查相互独立事件的概率公式，正确运用相互独立事件的概率公式，是关键．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对于（Ⅰ），由焦距得c的值，由长轴长得a2的值，结合b2=a2﹣c2，即可得椭圆C 的方程．对于（Ⅱ），延长AB，与x轴交于点M，由BF2为△MAF1的中位线，得M的坐标，由此设直线AB的方程，联立椭圆+=1，消去x，得到关于y的一元二次方程，由韦达定理，得y1+y2及y1y2，又由=2，得y1与y2的关系式，于是得y1，y2，m的值，继而求得x1的值，可得AF1的斜率，即可得直线AF1的方程．对于（Ⅲ），易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）得x2的值，从而得到|AF1|及|BF2|，再计算点M到直线AF1的距离，即可根据梯形的面积公式计算出梯形ABF2F1的面积．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意，得，即，从而b2=a2﹣c2=5，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），延长AB，与x轴交于点M，由=2知，BF2为△MAF1的中位线，∴|MF2|=|F1F2|，得M（6，0），如右图所示．设直线AB的方程为x=my+6，联立，消去x，整理，得（9+5m2）y2+60my+135=0，由韦达定理，得．…①又由=2，得（﹣2﹣x1，﹣y1）=2（2﹣x2，﹣y2），∴y1=2y2．…②联立①、②，得，从而，于是AF1的斜率，∴直线AF1的方程为．（Ⅲ）易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）知，，从而|AF1|==，|BF2|==．又点F2（2，0）到直线AF1：的距离，∴．点评：1．本题综合性较强，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的相交关系及四边形面积的求法等，充分挖掘图形的几何特征是求解本题的突破口．2．对于相交弦问题，常利用根与系数的关系（即韦达定理）探究坐标之间的关系；对于向量共线问题，常共线的充要条件转化为坐标之间的关系．3．对于四边形面积的求解，一般先判断四边形的形状，再确定求解方式，或将四边形转化为两个三角形处理．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=﹣1+x，当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，得函数f（x）在[0，+∞）上单调性，即可得到函数的最小值；（Ⅱ）可用分析法证明ln2＞；（Ⅲ）亦可用分析法证明ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=ln（x+1）﹣x+，则f′（x）=﹣1+x=，故当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，则函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值为0；（Ⅱ）证明：要证ln2＞，只需证ln4＞，只需证ln＞，而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x﹣（x≥0）所以ln[1+（﹣1）]≥（﹣1）﹣只需证（﹣1）﹣＞，即需证明4（e﹣1）＞0.9e2而e=2.71828…是自然对数的底数，故4（e﹣1）＞0.9e2恒成立，从而ln2＞得证；（Ⅲ）要证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立，只需证ln（n+1）＞﹣（﹣）（n≥1，n∈N）恒成立，只需证2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，令g（x）=2xln（x+1）+﹣x（x≥1），则g′（x）=2ln（x+1）+2x•﹣﹣=2ln（x+1）﹣﹣+（x≥1），故g′（x）在[1，+∞）上是增函数所以g′（x）≥g′（1）=2ln2﹣1﹣+＞﹣1﹣+=＞0，故g′（x）在[1，+∞）上是增函数，故g（x）≥g（1）=2ln2+﹣＞+=0，从而2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，即ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立．点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用以及不等式证明中的分析法的应用．。

命题人：高美山【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

符合高考命题的趋势和学生的实际。

一、选择题(每小题5分，共50分).1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于( )A.[1,4)-B. (1,4)-C.(2,3)D. (2,3]【知识点】含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，集合的运算。

【答案解析】 D 解析 ：解：由12121213x x x x x ->⇒-<-->⇒<->或或， 所以A={}|13x x x <->或,所以{}|13U C A x x =-≤≤.由()()268024024x x x x x -+<⇒--<⇒<<，所以{}|24B x x =<<所以()U C A B =(2,3].【思路点拨】先将集合A 化简得 A={}|13x x x <->或, 从而得{}|13U C A x x =-≤≤。

再将集合B 化简得{}|24B x x =<<，所以()U C A B =(2,3].2. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定. 【答案解析】 A 解析 ：解：对于选项A: 11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.综上：故答案选A. 【思路点拨】对于选项A: 11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p“,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.3.圆22:12,C x y +=上任意一点A 到直线:4325.l x y +=的距离小于2的概率为( )A.21B.31 C.32 D.61 【知识点】点到直线的距离公式，几何概型概率求法【答案解析】D 解析 ：解：因为圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一，故选D. 【思路点拨】先求圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为，它等于半径，所以它所对的圆心角为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一.4.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一点， 则 AN AM ⋅的最大值为( ) A.25144B. 25C.16D. 9【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律．【答案解析】 A 解析 ：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC 以A 为原点，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），C （0，4），设M （a ，b ） （a ，b ＞0） N （x ，y ）则由点N 是△ABC 内部或边上一点可得，030443120x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤⎩则()(12 34 ||BC AM a AM -＝，，＝，，＝由AM ⊥BC 于M 可知 0AM BC ⋅＝，12||AM ＝48x AM AN ⋅＝故选 A【思路点拨】由题意，以ABAM BC ⋅＝，12||AM ＝点可得030x ≤≤⎧⎪≤⎨⎩25AM AN ⋅＝，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC ）内最大值问题．【典型总结】此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是( )A. 992aB. 662aC. 552aD.12a 【知识点】等差数列的前n 项和、通项公式、性质等【答案解析】C 解析 ：解：由S 9>0，S 10<0，得191100,0a a a a +>+<，从而560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列，所以选C.【思路点拨】由S 9>0，S 10<0，得560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列.6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A.. 11k ≤B. 11k ≥C. 10k ≤D. 10k ≥ 【知识点】当型循环结构的程序框图.【答案解析】 C 解析 ：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C.【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若2=，则该双曲线离心率为( )A.3B.3C.23D.26 【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.【答案解析】B 解析 ：解：由点到直线的距离公式得：FM=b,从而OM=a,又2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e = 【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e = 8. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A.20B.30C. 103D.153【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.【思路点拨】说明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，中点为M ，OA=OB=OC 是半径，求出OM ，利用球半径是球心O 到平面ABC 的距离的2倍，求出半径即可. 9.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )A.0cos cos log cos >B AC B. 0sin cos log cos >B AC C.0cos sin log sin >BACD. 0sin sin log sin >BAC【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。

（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则→OP＋→OQ＝（）A．→OH B．→OG C．→EO D．→FO4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D ．1623【答案】C 【解析】9．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（ ）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+112242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a的值及数列{b n}的通项公式；a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n．（Ⅱ）设数列{log218．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．E(X)＝1.9；（Ⅱ）980【解析】＝320×320＋320×310＋310×320＝980．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°． （Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．∴OA ,OC 1OA 两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，|OA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB CB ==20．（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求→AD·→EB的最小值．【答案】（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.【解析】试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式(x－1)2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，→AD·→EB取最小值16．考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x ．（Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。

2014年高考真题——文科数学（湖北卷）解析版 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．[2014?湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则?UA ＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得?UA＝{2，4，7}．故选C.2．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．1 B．－1 C．i D．－i2．B[解析] ＝＝＝－1.故选B.3．[2014?湖北卷] 命题"?x∈R，x2≠x"的否定是()A．?x∈/R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0∈/R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x03．D[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题"?x∈R，x2≠x"的否定是"?x0∈R，x＝x0". 故选D.4．[2014?湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是()A．2 B．4 C．7 D．84．C[解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.5．[2014?湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p25．C[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝，p2＝，p3＝.故p16．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞06．A[解析] 作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-17．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014?湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋ts θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．38．A[解析] 由方程t2cos θ＋ts θ＝0，解得t1＝0，t2＝－t θ，不妨设点A(0，0)，B(－t θ，t2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xt θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、[2014?湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}9．D[解析] 设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术"置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.10．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.11．[2014?湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.12．、[2014?湖北卷] 若向量\s\up6(→(→)＝(1，－3)，|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|，\s\up6(→(→)?\s\up6(→(→)＝0，则|\s\up6(→(→)|＝________．12．2[解析] 由题意知，\s\up6(→(→)＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA ＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以＝＝2.13．[2014?湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．13.或[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得s B＝.又因为b>a，所以B＝或.14．[2014?湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067[解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；......所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋...＋(29＋9)＝1067.15．[2014?湖北卷] 如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若?x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.[解析] "?x∈R，f(x)>f(x－1)"等价于"函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方"，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．[2014?湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝＝≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．[2014?湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有＝λ，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－(2)[解析] 设点M(cos θ，s θ)，则由＝λ得(cos θ－b)2＋s2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由＝λ，得λ>0，且b≠－2，解得18．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－cos－s＝10－cos－s＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t所以≤t＋当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2，从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、[2014?湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQ.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以∥BD，从而⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩＝N，所以直线AC1⊥平面PQ.21．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即3e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即由π3.由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。