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学案20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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学案20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．

自主梳理 1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________.

(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z) 其变形为： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，

其中 cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2，tan φ＝ba，角φ称为辅助角． 自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________.

3．cosπ12＋3sinπ12＝________. 4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________． 5．已知cosα－π6＋sin α＝435，则sinα＋7π6的值是________．

探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)． 变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值) 例2 已知0

变式迁移2 已知tanπ4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sinα＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cosα＋β的值．

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值) 例3 已知0(1)求sin α的值； (2)求β的值．

变式迁移3 若sin A＝55，sin B＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．

转化与化归思想 例 (14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝255. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－π2【答题模板】 解 (1)∵|a－b|＝255，∴a2－2a·b＋b2＝45.[2分] 又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1， a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]

故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[7分] (2)∵－π2∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[9分] 又∵sin β＝－513，－π2故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×－513＝3365.[14分] 【突破思维障碍】 本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β. 本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化． 【易错点剖析】 |a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．

1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换． 2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件． 3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化． 4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．

(满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分)

1．已知a∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝______________.

2． 已知cos(π6－α)＝33，则sin2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是________． 3． 已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 4．函数y＝2sin(π4－x)＋6cos(π4－x)的最大值为________． 5．求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________. 6．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为________． 7．函数f(x)＝asin(x＋π4)＋3sin(x－π4)是偶函数，则a＝________.

8．已知tan α、tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 二、解答题(共42分)

9．(14分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 10．(14分) (1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)已知△ABC的面积S＝12，AB→·AC→＝3，且cos B＝35，求cos C.

11．(14分) 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x)，x∈R. (1)若函数f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

答案 自主梳理 1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β (2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β

(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β 自我检测 1．－12 2.－47 3.2 4.4 5.－45 课堂活动区 例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用． 解 (1)原式

＝2sin 50°＋sin 10°·1＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°

＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80° ＝2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2·sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos 50°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60°＝22×32＝6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°] ＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.

变式迁移1 解 (1)原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3. 例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．

解 cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，

∵0∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45， cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β ＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β ＝35×－1213－45×513＝－5665.∴sin(α＋β)＝5665. 变式迁移2 解 (1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13. (2)sinα＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cosα＋β ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝－sinα－βcosα－β

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两角和与差的正弦余弦和正切公式教学分析

两角和与差的正弦余弦和正切公式教学分析

两角和与差的正弦余弦和正切公式教学分析对于给定的两个角A和B，我们可以使用三角函数的和差公式来计算它们的正弦、余弦和正切值。

1.两角和公式：正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB正切公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)这些公式可以通过几何或代数方法进行推导。

以下是几何推导的简要概述：首先，我们有两个角A和B，我们可以构造一个单位圆，将角A的终边与x轴相交于点P，角B的终边与x轴相交于点Q。

然后，我们可以将角A扩展为一个完整的圆，使得终边与x轴再次相交于点R。

这样，我们可以得到角A的终边PR与单位圆的交点为点P的坐标(x,y)。

同样地，我们可以将角B扩展为一个完整的圆，将角B的终边与x轴相交于点S。

这样，我们可以得到角B的终边QS与单位圆的交点为点Q 的坐标(x',y')。

接下来，我们可以通过观察图形，发现角A+B的终边与点R和点S的连线所形成的三角形是一个直角三角形。

根据直角三角形的定义，我们可以使用三角函数的定义来计算这个直角三角形的各个边的长度。

我们可以发现，点R的坐标(x, y)可以表示为cosA和sinA的形式，点S的坐标(x', y')可以表示为cosB和sinB的形式。

因此，我们可以得到直角三角形的斜边PR与终边QS之间的关系：PR=PS=(x'-x)然后，我们可以使用勾股定理来计算PR的长度：PR^2=PS^2+SR^2将PS和SR的长度用cosB、sinB和cosA、sinA表示，我们可以得到：(cosB - cosA)^2 + (sinB - sinA)^2 = (x' - x)^2展开后整理得到结果：2 - 2*cosA*cosB - 2*sinA*sinB = (x' - x)^2再通过求平方根可得：x' - x = sqrt(2 - 2*cosA*cosB - 2*sinA*sinB)因此，我们可以得到两角和公式的正弦、余弦和正切形式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2.两角差公式：对于两角差公式，我们可以通过两角和公式来推导出来。

两角和与差的正弦、正切公式 学案 导学案 课件

两角和与差的正弦、正切公式 学案 导学案 课件

三角恒等变换【学习目标】1、理解两角差的余弦公式；2、掌握两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式；3、掌握两角和与差的正切公式。

【学习过程】一、课前预习1、两角差的余弦公式及推导过程是怎样的？2、两角和的余弦公式及推导过程是？3、两角和与差的正弦公式形式及推导?4、两角和与差的正弦公式、余弦公式的记忆技巧是？5、两角和与差的正切公式及推导？6、化简三角函数式时常用的变换技巧是什么?二、探究活动（一）两角差的余弦公式：1、对于任意角()βαβαβαβαsin sin cos cos cos ,+=-有 简记为()βα-C 公式巧计：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和。

2、两角差的余弦公式的推导：),1利用三角函数线推导：),2利用向量法推导：3、要掌握公式的正用；公式的逆用。

4、利用两角差的余弦公式可推导诱导公式：（1）、⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2cos = （2）、()απ-cos =（3）、⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ23cos = （4）、()απ-2cos =例1、6sin 12cos 6cos 125cos ππππ+的值是（ ） 0.A 21.B 22.C 23.D 例2、计算)15cos(0-的值为（ ）A.226+ 426.+B C.226- 426.-D （二）、两角和的余弦公式1、公式的推导：在公式()βα-C 中，将来替换用ββ-。

可得：()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，将其简记为()βα+C ，称为和角的余弦公式。

注意：（1）公式中的角βα,都是任意角。

（2）要学会正用(从左至右，即展开)、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()βα+C ，如：)()()[]()()βααβααβααβα+-+=++=+sin sin cos cos cos 2cos ,1)()()[]()()ββαββαββααsin sin cos cos cos cos ,2+++=-+=)()00045cos sin 45sin cos 45cos sin 22cos 22,3+=-=-ααααα 2、两角和与差的余弦公式的记忆技巧：两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”（1）“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；（2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“—”，两角差时用“+”。

教学设计1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

教学设计1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为____________． 【答案】222．(2013·徐州摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23，则cos α＝________.【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23得cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝23，则sin α2＝23，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫232＝19. 【答案】191．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 2．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. 3．三角公式关系[练一练]1．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 【答案】12．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 【解析】法一：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 【答案】16考点一三角函数公式的基本应用1.已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.【解析】cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.【答案】－752．(2013·苏北四市一调)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 【解析】由α为锐角，cos α＝55得sin α＝255，则tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3.【答案】－33．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】(1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. [备课札记] [类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．三角函数公式的逆用与变形应用[ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． 【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12sin 40°sin 40°＝12. [答案] (1)22 (2)12[备课札记] [类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练]1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－2×19＝79.【答案】792．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．【解析】－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 【答案】2角的变换[典例] (2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． [解] (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010 ＝91050.[备课札记]【解析】∵sin(α－10cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.[类题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 3．注意角变换技巧． [针对训练]1．(2014·盐城摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4的值为________． 【解析】因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝1－2sin 2 α＝－45，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝210. 【答案】2102．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 【解析】因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 【答案】17250[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________．【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＋11－tan x＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1322＝49.【答案】492．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是________． 【解析】cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 【答案】－13．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 【解析】∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．【解析】因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.【答案】135．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 【解析】(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。

两角和与差的正弦余弦和正切公式

两角和与差的正弦余弦和正切公式

❖ (1)确定角α所在的象限；
❖ (2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出 对应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝 对值对应的锐角α1；
❖ (3)求出满足条件的角．首先根据角α所在 的象限，得出0～2π间的角．如果适合已 知条件的角在第二象限，则它是π－α1； 如果在第三或第四象限，则它是π＋α ，
❖ 幂的变换(升幂缩角1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α，降幂扩角 等)；
❖ 1的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα·cotα＝
❖ [例1] 计算(tan10°－ )·sin40°.
❖ 三、已知三角函数值求角的步骤
❖ 已知角α的一个三角函数值求角α，应注 意所得的解不是惟一的，而是有无数多个， 其解法步骤是：
❖ 分析：条件式中含角α、β、γ，而待求式 中只有β与α，故可运用消元思想，先通 过sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.
❖ 解析：由已知，得sinγ＝sinβ－sinα， cosγ＝cosα－cosβ.
❖ 平方相加得
❖ (sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.
❖ ∴－2cos(β－α)＝－1，
❖ 答案：1
❖ [例3] 已知sin(α＋β)＝ ，sin(α－β) ＝ ，则tanαcotβ的值是________．
❖ 解析：据和角公式可知，已知条件是关于 sinαcosβ与cosαsinβ的二元一次方程组， 待求三角函数可化为
❖
，故只要用加减消元法解方程
❖ 已知α、β、γ∈(0， )，sinα＋sinγ＝sinβ， cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α的值为 ________．
❖ 解析：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ❖ ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ❖ ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－