湖南省师大附中2019届高三月考(七)数学(理)试卷(解析版)

炎德·英才大联考 湖南师大附中2019届高三月考试卷(七) 数学（理）试卷 审题：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z＝a＋10i3－i(a∈R)，若z为纯虚数，则|a－2i|＝(B) A．5 B.5 C．2 D.3 【解析】因为z＝a＋i(3＋i)＝a－1＋3i为纯虚数，则a＝1，所以|a－2i|＝a2＋4＝5，选B. 2．下列说法错误．．的是(B)

A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定 B．若变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3

【解析】对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，所以A正确；对于B，由回归方程知变量y与z正相关，则x与z负相关，所以B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；由回归分析的意义知D正确．故选B.

3．函数f(x)＝ex＋1x（1－ex）(其中e为自然对数的底数)的图象大致为(A)

【解析】当x>0时，ex>1，则f(x)<0；当x<0时，ex<1，则f(x)<0，所以f(x)的图象恒在x轴下方，选A. 4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a＝4，b＝1，则输出的n等于(C) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】当n＝1时，a＝6，b＝2，满足进行循环的条件， 当n＝2时，a＝9，b＝4，满足进行循环的条件，

当n＝3时，a＝272，b＝8，满足进行循环的条件，

当n＝4时，a＝814，b＝16，满足进行循环的条件，

当n＝5时，a＝2438，b＝32，不满足进行循环的条件，

故输出的n值为5.故选C. 5．已知动圆C经过点A(2，0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(D) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解析】设圆心坐标为C(x，y)，圆C的半径为r，圆心C到y轴的距离为d，则d2＋4＝r2. 因为d＝|x|，r＝|AC|，则圆心C的轨迹方程是x2＋4＝(x－2)2＋y2，即y2＝4x，选D.

6．已知数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝an＋12n(n∈N*)，则a2019＝(C)

A．1－122018 B．1－122019 C.32－122018 D.32－122019 【解析】由已知，an－an－1＝12n－1(n≥2)，则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝12＋12＋122＋…＋12n－1＝12＋1－12n－1＝32－12n－1，所以a2019＝32－122018，选C. 7．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有(C) A．24 B．48 C．96 D．120 【解析】法一：第一步先涂B，C，E三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是A34；第二步涂A，D两点，各有2种， 所以不同的涂色方法种数有A34×2×2＝96，故选C. 法二：第一步先涂A，B，E三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是A34；第二步涂C，D两点，假设已涂A，B，E的三种颜色顺序分别为1，2，3，未使用的颜色为4，那么C，D可涂的颜色分别为C涂1，D可以选择2，4中的一种颜色，共2种方法；C涂4，D可以选择1，2中的一种颜色，共2种方法，所以不同的涂色方法种数有A34(2＋2)＝96，故选C.

8．函数f(x)＝cos2x－π6sin 2x－14的图象的一个对称中心的坐标是(A)

A.7π24，0 B.π3，0 C.π3，－14 D.

π

12，0

【解析】f(x)＝cos2x－π6sin 2x－14＝32cos 2x＋12sin 2xsin 2x－14

＝32sin 2xcos 2x＋12sin22x－14＝34sin 4x＋12·1－cos 4x2－14＝12sin

4x－

π

6，

令4x－π6＝kπ，求得x＝kπ4＋π24，可得函数图象的对称中心为kπ4＋π24，0，k∈Z，

当k＝1时，对称中心为

7π

24，0.故选A.

9．已知D＝（x，y）|

x＋y－2≤0x－y＋2≤03x－y＋6≥0，给出下列四个命题：

P1：()x，y∈D，－2≤x＋y≤2；P2：()x，y∈D，yx＋3>0； P3：()x，y∈D，x＋y<－2；P4：()x，y∈D，x2＋y2≤2；其中真命题是(B) A．P1和P2 B．P1和P4 C．P2和P3 D．P2和P4 【解析】利用线性规划的知识易得，对()x，y∈D，－2≤x＋y≤2，且0≤yx＋3≤32，2≤x2＋y2≤10，所以P1正确，P2错误，P3错误，P4正确．选B. 10．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为(D) A．313＋62 B．213＋43 C．513＋33 D．613＋32 【解析】如图， 延长EF，A1B1 相交于M，连接AM交BB1 于H，延长FE，A1D1 相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG. ∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，

∴EF＝32，AG＝AH＝62＋42＝213，EG＝FH＝32＋22＝13. ∴截面的周长为613＋32.选D.

11．如图，已知||OA→＝||OB→＝1，||OC→＝2，tan∠AOB＝－43，∠BOC＝45°，OC→＝mOA→＋nOB→，则mn等于(A) A.57 B.75 C.37 D.73 【解析】因为tan∠AOB＝－43，所以sin ∠AOB＝45.

过点C作CD∥OB交OA延长线于点D， 过点C作CE∥OD交OB延长线于点E，

在△OCD中，∠OCD＝45°，sin∠ODC＝45，

由正弦定理：|OC|sin∠CDO＝|OD|sin ∠OCD，得245＝OD22，所以OD＝54＝m.

由余弦定理：||OD2＝||OC2＋||CD2－2||OC·||CD·cos 45°， 得2516＝2＋n2－2×2×n×cos 45°，则n＝14或74. 当n＝14时，此时∠CDO为钝角，因为∠EOD为钝角，矛盾，故n＝74. 所以mn＝57.故选A. 12.箱子里有16张扑克牌：红桃A、Q、4，黑桃J、8、7、4、3、2，草花K、Q、6、5、4，方块A、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？ 于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了．则这张牌是(D) A．草花5 B．红桃Q C．红桃4 D．方块5 【解析】学生乙确信他知道学生甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字J、K等的花色黑桃和草花，学生甲知道这张牌不是黑桃也不是草花就猜出来了，说明这张牌除了在黑桃和草花之外有且只有一张，那就是红桃4、Q和方块5；学生乙知道学生甲知道后就知道了，说明这张牌只有一种选择，所以他看到的是方块，如果他看到的是红桃但还是不知道是Q还是4，所以答案是方块5.故选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜(若数字

相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__25__． 【解析】法一：两人分别摸一个球，基本事件共有4×4＝16种，其中甲获胜共有5种可能，故甲获胜的概率为516，其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能，故甲获胜且乙摸到1

号球的概率为18，故在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为18÷516＝25. 法二：甲获胜共有5种可能，其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能，故在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为25.

14．设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l为双曲线C的一条渐近线，点F关于直线l的对称点为P，若点P在双曲线C的左支上，则双曲线C的离心率为__5__．

【解析】如图，设直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则l⊥PF，且A为PF的中点，所以|AF|＝b，|OA|＝a，|PF|＝2|AF|＝2b. 设双曲线的左焦点为E，因为O为EF的中点，则|PE|＝2|AO|＝2a， 据双曲线定义，有|PF|－|PE|＝2a，则2b－2a＝2a，即b＝2a.

所以e＝1＋ba2＝5.