中考数学专题复习卷：概率(含解析)

概率复习考点攻略考点一 概率的定义与事件的分类1.概率：率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

即()p A P = . 概率各种情况出现的次数某一事件发生的次数=2．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1． 3．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．4．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间． 【例1】下列事件中是不可能事件．．．．．的是( ) A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨考点二 概率的计算1．公式法：P （A ）=mn，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数． 2．列举法（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．【注意】当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

【例2】不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______．【例3】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18考点三 利用频率估计概率1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P 附近，因此，用一个事件发生的频率mn来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．【例4】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高/cm x 160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数60260550130的概率是（ ） A ．0.32B ．0.55C ．0.68D ．0.87考点四 概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 【例5】今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．【例6】某校为了解初中学生每天在校体育活动时间(单位:h)，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:（1）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为;（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数;（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1 h的学生人数.第一部分选择题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1. 下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2=b2，那么a=bD．将花生油滴在水中，油会浮在水面上2.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．13B．14C．16D．183.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关4.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．21015.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（）A．1325B．1225C．425D ．126.投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（）A．B．C．D．7.如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是A．12B．13C．14D．168.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.159.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．3410.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率0.900.850.820.840.820.82（结果保留两位小数））A．0.90 B．0.82C．0.85D．0.84第二部分填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．12.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)13.同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．14.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________2cm．15.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．16.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____．第三部分解答题三、解答题（本题有6小题，共46分）17. 一个不透明的布袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取走若干个黄球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率不小于13，问至少需取走多少个黄球？18. 某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析.频数分布表组别销售数量(件)频数频率A20≤x<4030.06B40≤x<6070.14C60≤x<8013aD80≤x<100m0.46E100≤x<12040.08合计b1请根据以上信息，解决下列问题:(1)频数分布表中，a=，b=;(2)补全频数分布直方图;(3)如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数.19. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．20.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．21.我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．22. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）求XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比；（2）补全条形统计图；（3）按照M 号，XL 号运动服装的销量比，从M 号、XL 号运动服装中分别取出x 件、y 件，若再取2件XL 号运动服装，将它们放在一起，现从这()2x y ++件运动服装中，随机取出1件，取得M 号运动服装的概率为35，求x ，y 的值．。

概率一.选择题1. （2018·广西梧州·3分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动、每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个、这些球除颜色外无其他差别、从箱子中随机摸出1个球、然后放回箱子中轮到下一个人摸球、三人摸到球的颜色都不相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出树状图、利用概率公式计算即可．【解答】解：如图、一共有27种可能、三人摸到球的颜色都不相同有6种可能、∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==．故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图、解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．2.（2018·四川省攀枝花·3分）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球、搅匀后从中摸出一个球、放回搅匀、再摸出第二个球、两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图得：则共有9种等可能的结果、两次都摸到白球的有4种情况、∴两次都摸到白球的概率为．故选A．3．（2018·辽宁省沈阳市）（2.00分）下列事件中、是必然事件的是（）A．任意买一张电影票、座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口、遇到红灯D．明天一定会下雨【分析】必然事件就是一定发生的事件、依据定义即可判断．【解答】解：A.“任意买一张电影票、座位号是2的倍数”是随机事件、故此选项错误；B.“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件、故此选项正确；C.“车辆随机到达一个路口、遇到红灯”是随机事件、故此选项错误；D.“明天一定会下雨”是随机事件、故此选项错误；故选：B．【点评】考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下、一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下、可能发生也可能不发生的事件．4．（2018·辽宁省阜新市）如图所示、阴影是两个相同菱形的重合部分、假设可以随机在图中取点、那么这个点取在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设阴影部分的面积是x、则整个图形的面积是7x、则这个点取在阴影部分的概率是=．故选C．5. （2018•呼和浩特•3分）（3.00分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时、统计了某一结果出现的频率、绘制了如下折线统计图、则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球、从中随机取一个、取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子、向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币、两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子、两次向上的面的点数之和是7或超过9解：A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球、从中随机取一个、取到红球的概率为、不符合题意；B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子、向上的面的点数是偶数的概率为、不符合题意；C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币、两次都出现反面的概率为、不符合题意；D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子、两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为、符合题意；故选：D．6．（2018·辽宁大连·3分）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球、把它们分别标号为1、2、3、随机摸出一个小球、记下标号后放回、再随机摸出一个小球并记下标号、两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．解：列表得：所有等可能的情况数有9种、它们出现的可能性相同、其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果、所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．故选D．7．（2018·江苏镇江·3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形、并使得各个扇形的面积都相等、然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2、4、6、…、2n（每个区域内标注1个数字、且各区域内标注的数字互不相同）、转动转盘1次、当转盘停止转动时、若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是、则n的取值为（）A．36 B．30 C．24 D．18【解答】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是、∴=、解得：n=24、故选：C．二.填空题1. （2018·广西贺州·3分）从﹣1.0、、π、5.1.7这6个数中随机抽取一个数、抽到无理数的概率是．【解答】解：∵在﹣1.0、、π、5.1.7这6个数中无理数有、π这2个、∴抽到无理数的概率是=、故答案为：．2. （2018·湖北江汉·3分）在“Wish you success”中、任选一个字母、这个字母为“s”的概率为．【分析】根据概率公式进行计算即可．【解答】解：任选一个字母、这个字母为“s”的概率为：=、故答案为：．3.（2018·浙江省台州·5分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球、把它们分别标号为1、2、3．随机摸出一个小球然后放回、再随机摸出一个小球、则两次摸出的小球标号相同的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图、然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况、再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意、画树状图如下：共有9种等可能结果、其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果、所以两次摸出的小球标号相同的概率是=、故答案为：．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．(2018·辽宁省葫芦岛市) 有四张看上去无差别的卡片、正面分别写有“兴城首山”、“龙回头”、“觉华岛”、“葫芦山庄”四个景区的名称、将它们背面朝上、从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是．【解答】解：∵在这4张无差别的卡片上、只有1张写有“葫芦山庄”、∴从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是．故答案为：．5．（2018·辽宁省盘锦市）如图、正六边形内接于⊙O、小明向圆内投掷飞镖一次、则飞镖落在阴影部分的概率是．【解答】解：如图所示：连接OA．∵正六边形内接于⊙O、∴△OAB、△OBC都是等边三角形、∴∠AOB=∠OBC=60°、∴OC∥AB、∴S△ABC=S△OBC、∴S阴=S扇形OBC、则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．6．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）一个不透明布袋里有3个红球、4个白球和m个黄球、这些球除颜色外其余都相同、若从中随机摸出1个球是红球的概率为、则m的值为 2 ．【分析】根据题目中的数据可以计算出总的球的个数、从而可以求得m的值．【解答】解：由题意可得、m=3÷﹣3﹣4=9﹣3﹣4=2、故答案为：2．【点评】本题考查概率公式、解答本题的关键是明确题意、求出相应的m的值．7. （2018•呼和浩特•3分）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数）、若从﹣3≤k≤3中任取k值、则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为．解：当2k﹣1＞0时、解得：k＞、则＜k≤3时、y随x增加而增加、故﹣3≤k＜时、y随x增加而减小、则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：=．故答案为：．8．（2018·江苏常州·2分）中华文化源远流长、如图是中国古代文化符号的太极图、圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点、则此点取黑色部分的概率是．【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等、根据概率公式计算即可．【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称、∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等、∴在圆内随机取一点、则此点取黑色部分的概率是、故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形、掌握概率公式是解题的关键．9.（2018·湖北咸宁·3分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球、把它们分别标号为1、2、3.随机摸出一个小球然后放回、再随机摸出一个小球、则两次摸出的小球标号相同的概率是_________。

2021中考数学专题冲刺训练：概率一、选择题1. 下列事件中，是必然事件的是()A.购买一张彩票，中奖B.射击运动员射击一次，命中靶心C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和是180°2. 下列说法错误的是()A.必然事件发生的概率是1B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率C.概率很小的事件不可能发生D.掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得3. 下列事件中，是必然事件的为()A．三点确定一个圆B．抛掷一枚骰子，朝上的一面点数恰好是5C．四边形有一个外接圆D．圆的切线垂直于过切点的半径4. 下列事件是确定性事件的是()A．阴天一定会下雨B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里不少于2本书5. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()A．每2次必有1次正面向上B．必有5次正面向上C．可能有7次正面向上D．不可能有10次正面向上6. 在▱ABCD中，AC ，BD 是两条对角线，现从以下四个关系式：① AB ＝BC ，②AC ＝BD ，③AC ⊥BD ，④ AB ⊥BC 中任选一个作为条件，可推出▱ABCD 是菱形的概率为( ) A.12B.14C.34D.257. 如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆．一只自由飞翔的小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.115πB.215πC.415πD.π58. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A.25B.12C.35D ．无法确定二、填空题9. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球.10. 2019·贵阳一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出1个球，如果摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m 与n 的关系是____________．11. 有五张卡片(形状、大小、质地等均相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．12. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是________(结果保留小数点后一位)．13. (2019·浙江台州)一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是__________．14. 一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球有________个．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.如果在AB上任取一点M，那么AM≤AC的概率是________．16. 任取不等式组⎩⎨⎧k －3≤0，2k ＋5>0的一个整数解，则能使关于x 的方程2x ＋k ＝－1的解为非负数的概率为________．三、解答题17. 甲、乙、丙三名同学站成一排合影留念．(1)请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果； (2)求出甲同学站在中间位置的概率．18. 方案设计盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色不同外其余都相同，每次从盒中摸出1个球，摸三次，不放回，请你按要求设计盒中红球的个数． (1)“摸出的3个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸出红球”是必然事件；(3)“至少摸出2个黄球”是确定性事件； (4)“至少摸出2个黄球”是随机事件．19.某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理．下面是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图(如图)； 乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4∶17∶15. 根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：(1)这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？(2)如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？(3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1 min 跳绳次数的平均值．20. A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．(1)求两次传球后，球恰好在B手中的概率；(2)求三次传球后，球恰好在A手中的概率．21. 某水果公司以1.5元/千克的成本价新进了20000千克雪梨，销售人员首先从所有的雪梨中随机地抽取若干千克，进行了“雪梨损坏率”的统计，并把获得的数据记录在下表中．(1)请你帮忙完成此表；(2)如果公司希望售完这些雪梨后所得的税前利润超过10000元，那么在出售雪梨(已去掉损坏的雪梨)时，售价最低应定为多少元/千克(结果精确到0.1元/千克)?22. 想经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：(1)求三辆车全部同向而行的概率；(2)求至少有两辆车向左转的概率；(3)由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为25，向左转和直行的频率均为310.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．23. 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.(1)若Rt△ABC的两直角边长之比为2∶3，现随机向图②掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？(2)若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．24. 母亲节当天，小明去花店买花送给母亲，挑中了康乃馨和兰花两种花．已知康乃馨每枝5元，兰花每枝3元，小明只有30元，希望购买花的枝数不少于7枝，其中至少有一枝是康乃馨．(1)小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；(2)如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从(1)中任选一种方案买花，求他能实现购买愿望的概率．2021中考数学专题冲刺训练：概率-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】C[解析]本题考查必然事件和不可能事件的概念，以及大量重复试验下，用频率估计概率.必然事件是一定会发生的事件，因而概率为1，选项A正确;通过大量重复试验，可以将频率近似地当作概率，选项B正确;概率很小的事件也可能发生，只是发生的机率比较小，选项C错误;掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率近似是大量重复试验发生的频率，不能用列举法求得，选项D正确.3. 【答案】D4. 【答案】D[解析] 阴天和下雨没有必然关联，因此是一个随机事件；黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门也是一个随机事件；打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播也是一个随机事件；选项D包含着抽屉原理，是一个必然事件，也是一个确定性事件．5. 【答案】C[解析] 因为一枚质地均匀的硬币只有正、反两面，所以不管掷多少次，硬币正面朝上的概率都是12，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有7次正面向上．故选C.6. 【答案】A[解析] ①AB＝BC，③AC⊥BD能够推出▱ABCD为菱形，4种情形中有2种符合要求，所以所求概率为24＝12.7. 【答案】B[解析] 因为132＝122＋52，即AB2＝BC2＋AC2，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC的内切圆半径＝12×(12＋5－13)＝2.所以S△ABC＝12AC·BC＝12×12×5＝30，S圆＝4π.所以小鸟落在花圃上的概率＝S圆S△ABC＝4π30＝215π.故选B.8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】20[解析]摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是=，设口袋中大约有x个白球，则=，解得x=20.经检验，x=20是原方程的解，故答案为20.10. 【答案】m＋n＝10[解析] ∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴m与n的关系是m＋n＝10.故答案为m＋n＝10.11. 【答案】25[解析] 五种图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有线段、圆2种，所以所求概率为2 5.12. 【答案】0.4[解析] 利用大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率．观察表格发现随着摸球次数的增多，频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到黑球的频率估计值为0.4.故答案为0.4.13. 【答案】4 9【解析】画树状图如图所示：一共有9种等可能的情况，两次摸出的小球颜色不同的有4种，∴两次摸出的小球颜色不同的概率为49；故答案为：49．14. 【答案】8[解析] 由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为1－0.4＝0.6，所以球的总个数为(8＋4)÷0.6＝20，所以红球有20－(8＋4)＝8(个)．15. 【答案】22 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，设边AC 的长为1，则边AB的长为 2.在AB 上取点D ，使AD ＝1，则点M 在线段AD 上时，才满足条件．故在AB 上任取一点M ，AM ≤AC 的概率为12＝22.16. 【答案】13 [解析] 因为不等式组⎩⎨⎧k －3≤0，2k ＋5>0的解集为－52＜k≤3，所以不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2，3. 关于x 的方程2x ＋k ＝－1的解为x ＝－k ＋12. 因为关于x 的方程2x ＋k ＝－1的解为非负数， 所以k ＋1≤0，解得k≤－1，所以能使关于x 的方程2x ＋k ＝－1的解为非负数的k 的值为－1，－2， 所以能使关于x 的方程2x ＋k ＝－1的解为非负数的概率为26＝13.三、解答题17. 【答案】解：(1)三名同学的站法从左到右有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)，共6种等可能的结果．(2)甲同学站在中间位置的结果有2种，记为事件A ，所以P(A)＝26＝13.18. 【答案】解：(1)2个或1个． (2)8个或9个． (3)9个或1个．(4)多于1个且小于9个．19. 【答案】解：(1)第①组频率为1－96%＝0.04. ∴第②组频率为0.12－0.04＝0.08， 从而，总人数为12÷0.08＝150人．又②③④组的频数之比为4∶17∶15，可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12.(2)第⑤、⑥两组的频率之和为0.16＋0.08＝0.24.由样本是随机抽取的，估计全年级有900×0.24＝216人达到优秀． (3)x ＝ 100×6＋110×12＋120×51＋130×45＋140×24＋150×12150＝127(次)．20. 【答案】解：(1)根据题意，画树状图如下：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰好在B 手中的结果只有1种， ∴两次传球后，球恰好在B 手中的概率为14. (2)根据题意，画树状图如下：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰好在A 手中的结果有2种， ∴三次传球后，球恰好在A 手中的概率为28＝14.21. 【答案】解：(1)表中从上到下依次填：0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103.(2)填完表后，从表中可以看出，雪梨损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以估计雪梨损坏的概率为0.1， 则在20000千克雪梨中完好的雪梨的质量约为20000×(1－0.1)＝18000(千克)，完好的雪梨的实际进价为1.5×2000018000＝53(元/千克)． 设雪梨的售价为x 元/千克，则有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53×18000>10000，解得x>2.2. 故在出售雪梨时，售价最低应定为2.3元/千克．22. 【答案】(1)根据题意，画出树状图如下：故P(三辆车全部同向而行)＝19. (2)P(至少有两辆车向左转)＝727.(3)依题意得，汽车右转、左转、直行的概率分别为25，310，310，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为90×310＝27(秒)； 直行绿灯亮的时间为90×310＝27(秒)； 右转绿灯亮的时间为90×25＝36(秒)．23. 【答案】(1)因为Rt △ABC 的两直角边长之比为2∶3， 所以设b ＝2k ，a ＝3k ，由勾股定理，得c ＝a2＋b2＝13k ，所以针尖落在四个直角三角形区域的概率为4×12×2k×3k 13k2＝1213. (2)因为正方形EFMN 的边长为8，所以c ＝8，所以a2＋b2＝c2＝64. 因为Rt △ABC 的周长为18， 即a ＋b ＋c ＝18， 所以a ＋b ＝10，所以Rt △ABC 的面积＝12ab ＝14[(a ＋b)2－(a2＋b2)] ＝9.24. 【答案】(1)设小明购买x 枝康乃馨，y 枝兰花，其中x≥1，x ，y 均为整数，则⎩⎨⎧5x ＋3y≤30，①7≤x ＋y.②①＋②×3，得5x ＋3y ＋21≤30＋3x ＋3y ， 所以x≤92，所以1≤x≤92. 当x ＝1时，5×1＋3y≤30， 所以y≤253，所以y 可取8，7，6，所以可购买1枝康乃馨，8枝兰花或1枝康乃馨，7枝兰花或1枝康乃馨，6枝兰花．当x ＝2时，5×2＋3y≤30， 所以y≤203，所以y 可取6，5，所以可购买2枝康乃馨，6枝兰花或2枝康乃馨，5枝兰花． 当x ＝3时，5×3＋3y≤30， 所以y≤5，所以y 可取5，4，所以可购买3枝康乃馨，5枝兰花或3枝康乃馨，4枝兰花． 当x ＝4时，5×4＋3y≤30， 所以y≤103，所以y 可取3， 所以可购买4枝康乃馨，3枝兰花． 综上所述，共有8种购买方案． 方案如下表：(单位：枝)(2)若小明先购买一张2元的祝福卡，则5x＋3y≤28，则他能实现购买愿望的方案为方案二、方案三、方案四、方案五、方案七，共5种，所以从(1)中任选一种方案买花，他能实现购买愿望的概率为5 8.。

专题五 统计与概率综合统计图表：认真审题，从统计图表中获取有用信息，根据题意求出相应的量．统计量的计算：中位数是排出来的，众数是数出来的，平均数、方差是算出来的．概率的计算和应用：利用画树状图或列表法列举所有等可能结果是解决这类题目的关键．利用画树状图或列表法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图适合两步或两步以上完成的事件．注意用到的知识点：概率等于所求情况数与总情况数之比．中考重难点突破 统计图表与三数的综合【例1】(2021·苏州中考)为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表．班级一班 二班 三班 四班 五班 废纸质量/kg4.54.45.13.35.7则每个班级回收废纸的平均质量为( C ) A ．5 kg B ．4.8 kg C ．4.6 kg D ．4.5 kg【解析】求五个班废纸回收质量的平均数即可得出答案．1．(2021·盘锦中考)甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是( C )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁概率的计算【例2】(2019·百色适应性演练)欢度端午节，小新用不透明袋子装了4个粽子来学校与同学分享，其中有豆沙棕和肉棕各1个，板栗粽2个，这些粽子形状与大小完全一样．(1)若小新随机从袋子中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？(2)若小新随机从袋子中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小新取出的两个都是板栗粽的概率．【解析】(1)直接根据概率公式计算可得结果；(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得结果． 【解答】解：(1)∵一共有4个粽子，其中肉粽有1个，∴取出的是肉粽的概率是14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小新取出的两个都是板栗粽的结果有2种，∴小新取出的两个都是板栗粽的概率为212 ＝16.2．(2021·南通中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为________；(2)随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．解：(1)12；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有16种等可能的结果，其中两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为416 ＝14.统计与概率的综合【例3】(2021·西藏中考)为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．甲 乙(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为________，在扇形统计图中，m 的值为________； (2)根据本次调查结果，估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a ，b ，c ，d 中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a 同学参加的概率．【解析】(1)总人数乘以A 对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C 方案人数，再用C 方案人数除以总人数即可得出m 的值；(2)用总人数乘以样本中B 方案人数所占比例即可得出答案；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：(1)40；30；[选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40(人)，则选择“书画展览”的人数为200－(40＋80＋20)＝60(人)，∴在扇形统计图中，m %＝60200×100%＝30%，即m ＝30.](2)估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2 000×80200＝800(人)；(3)由题意，列表：a b c da (b ，a ) (c ，a )(d ，a ) b (a ，b )(c ，b ) (d ，b ) c (a ，c ) (b ，c ) (d ，c ) d (a ，d ) (b ，d ) (c ，d )由表可知，共有12种等可能的结果，其中a 同学参加的结果有6种，∴a 同学参加的概率为612 ＝12.3．(2020·百色一模)学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类(A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差)．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，陈老师一共调查了______名学生；(2)将条形统计图补充完整；扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是多少度？(3)为了共同进步，陈老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．解：(1)20；(2)C 类学生人数为20×25%＝5(名)，C 类女生人数为5－2＝3(名).D 类学生所占的百分比为1－15%－50%－25%＝10%，D 类学生人数为20×10%＝2(名)，D 类男生人数为2－1＝1(名).补充条形统计图如图所示．扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是360°×10%＝36°； (3)A 类学生中的两名女生分别记为A 1和A 2， 由题意，列表：女A 1 女A 2 男A 男D (女A 1，男D) (女A 2男D) (男A ，男D) 女D (女A 1，女D) (女A 2，女D) (男A ，女D)由表可知，共有6种等可能结果，其中一男一女的结果有3种，∴所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率为36 ＝12 .中考专题过关1.(2021·陕西中考)今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________； (2)求这60天的日平均气温的平均数；(3)若日平均气温在18 ℃～21 ℃的范围内(包含18 ℃和21 ℃)为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．解：(1)19.5 ℃；19 ℃；[这60天的日平均气温的中位数为19＋202＝19.5(℃)，众数为19 ℃.](2)这60天的日平均气温的平均数为160×(17×5＋18×12＋19×13＋20×9＋21×6＋22×4＋23×6＋24×5)＝20(℃)；(3)∵12＋13＋9＋660×30＝20(天)，∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天． 2．(2021·营口中考)李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同(不透明)的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A.转移注意力，B.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松训练．(1)若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是________； (2)若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊(取走后不放回)，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．解：(1)14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为612 ＝12.3．(2021·盐城中考)圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．祖冲之(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．(用画树状图或列表方法求解)解：(1)110；(2) 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)由表可知，共有∴其中有一幅是祖冲之的概率为612 ＝12.4．(2021·枣庄中考)某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A ，B ，C ，D 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．图1图2(1)王老师采取的调查方式是________(填“普查”或“抽样调查”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，表示C 班的扇形圆心角的度数为________；(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)解：(1)抽样调查；24；B 班级的件数有4÷60°360°－4－10－4＝6(件)，补全条形统计图如图所示；(2)150°；[1024×360°＝150°.](3)由题意，画树状图如图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有6种，∴P (恰好抽中一男一女)＝612 ＝12.5．(2021·济宁中考)某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．(1)在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是________； (2)请补全条形统计图；(3)若该校九年级共有学生1 200人，则估计该校“良好”的人数是________；(4)已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率．解：(1)108°；[在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是360°×30%＝108°.] (2)这次调查的人数为12÷30%＝40(人).则及格的人数为40－3－17－12＝8(人).补全条形统计图如图；(3)510人；[估计该校“良好”的人数为1 200×1740＝510(人).](4)由题意，画树状图如图：由图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有2种，26＝1 3.∴抽到两名男生的概率为。