基于非概率可靠性的连续体结构拓扑优化设计

基于非概率可靠性的连续体结构拓扑优化设计*宋宗凤陈建军朱增青刘国梁(西安电子科技大学机电工程学院西安 710071)Email: jjchen@ Tel: +86-29-88204489摘要：构建了区间载荷作用下区间参数连续体结构的拓扑优化数学模型，以结构形状拓扑信息为设计变量，结构总质量均值极小化为目标函数，满足单元应力非概率可靠性为约束条件。

基于区间因子法，导出了应力响应的均值和离差的计算表达式。

采用双方向渐进结构优化的求解策略与方法。

算例验证了文中模型及求解方法的合理性和方法的有效性。

关键词：区间参数连续体结构；非概率可靠性；区间因子法；拓扑优化Topology Optimization Design of Plain Elastic Continuum Based on Non-probabilistic Reliability SONG Z ONG-F ENG CHEN J IAN-J UN ZHU Z ENG-Q ING LIU G UO-L IANG (School of Electronic Mechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071,China)Abstract： The topology optimization mathematical model with stress constraints of plain elastic continuum structures under interval loads is established. The topology model is constructed based on non-probabilistic probability. The weight of this structure is studied as the research objects and the structures elements topological information are regarded as the design variables here. The computational expressions of numerical characteristics of stress responses based on interval factor method are deduced. BESO method is used in the optimization. The example illustrate the correctness and practicability of the optimal model and solving approach in this paper.Key words：Interval plain elastic continuum structures; Non-probabilistic reliability; Interval factor method; Topology optimization工程结构中，结构的物理参数、几何参数、边界条件和所受荷载的不确定性是客观存在的。

这些不确定性量可能是随机变量、模糊变量或区间变量。

随机理论、模糊集理论和区间分析是解决不确定性问题的常用方法[1]。

近年来，在非概率可靠性研究和连续体结构的拓扑优化设计研究方面，一些成果不断涌现。

文[2]提出了非概率可靠性模型；文[3]用概率可靠性方法类似的处理；文[4]提出了拓扑优化的有无复合体方法；文[5]利用可退化*国家863项目(2006AA04Z402)和陕西省自然科学基金项目(2005A009)资助.有限单元对平面连续体结构进行优化；文[6]提出了基于应力的双方向结构拓扑优化算法。

然而，迄今所见到的大部分结构优化设计均属于确定性连续体结构或随机性连续体结构，对区间参数连续体结构的拓扑优化设计的研究迄今甚少。

本文研究了具有区间参数的平面连续体结构在强度非概率约束下的拓扑优化设计问题。

考虑结构材料参数、作用载荷和强度约束均为区间变量，借助于区间运算法则，构建了基于非概率可靠性的平面应力薄板结构的拓扑优化数学模型表达式。

最后，通过算例来验证文中模型和方法的有效性。

1 区间结构的有限元分析和区间分析的非概率可靠性设变量x 在区间],[x x 内变化，则称],[x x X x I =∈为区间变量。

令,I C R C R X X X X X ⎡⎤=-+⎣⎦，其中C X 为区间I X 的均值，R X 为区间I X 的离差。

引入区间因子C FI X x x =，则区间变量x 可表为：C FI X x x ⋅=，同样，FI x 也为区间变量，其均值为1，离差为R C X X 为区间变量x 的离差率。

可见，区间因子FI x 的取值范围同样描述了区间变量x 的取值分散不确定性。

设平面连续体结构有n 个矩形单元，则任意e 单元的刚度矩阵为：B B e T e dxdy =⎰⎰K D 1,,e n = (1)式中：B 为单元几何矩阵，它只与几何参数有关，故为定常矩阵；D 为弹性矩阵。

为处理方便，这里将参数μ视为确定性量。

由于弹性模量],[R C R C E E E E E +-∈为区间变量，引入E 的区间因子FI E ，则C FI E E E =⋅，故单元弹性矩阵D 、刚度矩阵e K 以及结构的总刚度阵K 可分别表示为：C D D ⋅=FI E (2)()e e C FI E =⋅K K ，1,,e n = (3) ne C FI e E ==⋅∑K K K (4)其中C D 、()e C K 和C K 分别为当E 取其均值C E 时单元的弹性矩阵、刚度矩阵和结构总刚度阵。

载荷P 具有不确定性的一般情况是非常复杂的，这里只考虑载荷的幅值是具有不确定性的区间变量。

由于载荷P P P ,P P C R C R ⎡⎤∈-+⎣⎦为区间变量，故引入区间变量P 的区间因子FI P ，则有P P C FIP = (5) 将式(4)、(5)代入到结构有限元方程K P δ=，得节点位移向量δ为：()1K P C C FI FIP E δ-= (6) 再由单元节点位移与单元应力之关系，可推得各单元应σδ力区间向量为：()11e DBT D BT K P C C C C FI FI FI FI e e e FI FIE P E P E E σδσ--=== (7) 其中e T 为e 单元的选择矩阵，C e σ为当D 、K 和P 分别取均值C D 、C K 和CP 时的单元应力，已知FI E 、FI P 和C e σ时，由式(7)并借助区间运算法则可确定第e 个单元应力e σ的取值区间。

在平面连续体结构的拓扑优化中为便于强度的可靠度校核，通常是以各单元中心点处的Mises 应力当作单元的最大工作应力i σ，即：2223i i i i i xy y x y x i τσσσσσ+-+= (8)其中：,,xi yi xyi σστ分别为第i 个单元x 、y 方向的正应力和x-y 平面上的剪应力。

显然，应力i σ是关于应力分量,,xi yi xyi σστ的非线性区间函数，注意到,,xi yi xyi σστ均由同一区间载荷P 产生，故它们彼此完全正相关。

从上式出发，利用求解区间变量均值和离差的方法可求得i σ的均值和离差分别为：()C FI FI i FI E P E σ=()R FI FI i FIE P E σ=其中,,C C C xi yi xyiσστ分别为,,xi yi xyi σστ的均值，()C FI FI FI E P E 和()R FI FI FI E P E 分别为FI FI FI E P E 的均值和离差，通过区间运算可以求得。

设向量},,,{21n x x x =X 表示与结构有关的基本区间变量集合。

其中(1,2,,)I i i x X i n ∈=，I i X 为变量的变化区间。

设12()(,,,)n P g g x x x ==X 为由结构失效准则确定的功能函数，当),,,(21n x x x g 为关于(1,2,,)i x i n =连续时，P 为区间变量。

设功能函数P 的均值和离差分别为C P 和R P ，并令C R P P η= (11)按照基于区间分析的结构非概率可靠性理论[3]，超曲面0)(=X g 称为失效面，它将结构的基本参量空间分为失效区域和安全区域两部分。

根据式(11)，只要1η>，则对于(1,2,,)I i i x X i n ∀∈=，均有0)(>X g ，此时结构安全可靠。

当1η<-时，对于(1,2,,)I i i x X i n ∀∈=，均有0)(<X g ，结构必然失效。

而当11η-≤≤时，对(1,2,,)I i i x X i n ∀∈=，0)(<X g 和0)(>X g 均有可能，从严格意义上讲，此时不能认为结构可靠。

当功能函数为区间变量的线性函数时，考虑功能方程011=-=∑∑+==n m j j j m i i i s b r a P (12)其中：I i i r R ∈，Ij j s S ∈为不相关区间变量；i a ，j b 为常数。

由非概率可靠性的初始定义式(11)可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->-+-==∑∑∑∑∑∑∑∑+==+===+=+==0,00,1111111n m j C jj m i Cii n m j C j j m i C i i m i n m j Rjj R i i n m j C j j m i C ii R C S b R a S b R a S b R a S b R a P P η (13) 2 基于非概率的拓扑优化设计基于一般性，考虑区间参数结构受到区间载荷作用的情况，即各向同性的、厚度为t 的平面连续体结构其物理参数：弹性模量E 、质量密度ρ、许用应力0σR 和结构所承受的载荷P 同时为区间变量。

假设该平面连续体结构被离散为n 个矩形单元。

此时，结构的总质量和单元应力也随之呈现出区间性。

在进行优化计算之前，先通过区间因子法将区间变量表示成区间因子与其均值的形式。

为此，这里构建了以结构的拓扑形状信息i b 为拓扑设计变量，以结构总质量均值C W 极小化为目标函数，同时满足所有单元应力非概率约束的结构拓扑优化设计模型，该模型的数学描述如下：012C 1*find :,,,min :s.t.:(0)0(0;1)(1,2,,)i nn C i ii i b b b W b At R R b i n σσρηη==--=≤∈=∑ (14)其中：C W 为结构的总质量均值；C ρ为质量密度均值；i At 为第i 个单元的体积；0σR 为许用应力区间变量；iR σ为第i 个单元的最大工作应力区间变量；*η给定的大于1的非概率可靠性指标；)(⋅η为基于区间模型求得的非概率可靠性指标，(0;1)i b ∈表示每一拓扑设计变量只能取0或1两个离散值。