辽宁省沈阳市东北育才学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题

cos
4
3 5
，
18
C.
25
24
D.
25
sin
2
cos
2
2
2 cos2
4
1
2
9 25
1
7 25
.
故选：A.
6.正四棱锥的侧棱长是底面边长的 倍，则 的取值范围是
A. (0, )
【答案】C
B. (1 , ) 2
C. ( 2 , ) 2
D. ( 3 , ) 2
【分析】根据底面的中心到底面顶点的连线与底面边长的比值为 2 可选出答案. 2
为
A. 10a km 2
【答案】B
B. 78a km 6
C. 65a km 5
D. 39a km 3
【分析】依题意画出草图，利用正弦定理求出 AN 6 a ， BN 6 a ，再由勾股定
2
3
理计算可得；
【详解】
解：依题意可得如下图象：
高一年级数学科试卷共共 6 页 第 4页
则在 AMN 中， A 45 ， AMN 60 ，
A．1
B．2
C． 2
D． 2 2
【答案】D 【分析】
在直观图中 AC ∥ y 轴，可知原图形中 AC ∥ y 轴，故 AC BC , A C = 1 AC ,求 2
直观图中 AC 的长即可求解.
【详解】
∵直观图是等腰直角三角形 ABC ， ÐB A C = 90 , A O = 1，∴ A C = 2 ，根据 直观图中平行于 y 轴的长度变为原来的一半,
高一年级数学科试卷共共 6 页 第 3页
【详解】正四棱锥的顶点到底面的投影为底面的中心，底面的中心到底面顶点的连线与

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在边长为1的正方形ABCD 中，向量，则向量的夹角为（ ）11,23DE DC BF BC →→→→==,AE AF →→A ．B ．C ．D ．6π4π3π512π【答案】B【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量的模,AE AF →→长，然后求得数量积，从而求得向量夹角.AE AF →→⋅【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，则，，12DE =13BF=AE ==AF =则由知，0AB AD →→⋅=1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅221(15())263AB AD →→==+则,cos AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>===⋅故向量的夹角为,AE AF →→4π故选：B2．在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 1b c a c a b +≥++A A ．B ．C ．D ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,3⎛⎤⎥⎝⎦π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，结合为三角形内角222b c a bc +-≥1cos 2A ≥A 即可解得的取值范围.A 【详解】解：因为，1b c a c a b +≥++整理可得：，222b c a bc +-≥由余弦定理可得：，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=由为三角形内角，即，可得：.∴A ()0,πA ∈π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C ．3．下列各式正确的是（ ）A ．B ．tan2tan3>3tantan 55ππ>C ．D ．sin sin 1018ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1723cos cos 43ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据三角函数的单调性以及每个选项对应角所在的象限逐项分析.【详解】对于A ， ， 在第二象限是增函数， ，错2,3,3222ππππ<<<<>tan y x =tan 3tan 2∴>误；对于B ， ， ， ，错误；325πππ<<3tan 05π∴<0,tan 0525πππ<<∴>对于C ， ，sin sin ,sin sin ,01010181818102πππππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在第一象限是增函数， ，错误；sin y x =sin sin ,sin sin 10181018ππππ⎛⎫⎛⎫∴>-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，，1717cos coscos 4cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ，正确；23231cos cos cos 8cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317cos cos 34ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．复数满足，则的范围为（ ）z z z z z +=⋅zA ．B ．C ．D ．[]0,1⎡⎣[]0,20,⎡⎣【答案】C【分析】设，由得，后可得答案.i z x y =+z z z z +=⋅x y ，【详解】设，则.i z x y =+i z x y =-则.[]22222200,2z z z z x x y x x y x ⇒=+⇒≥=⇒⋅-∈+=.[]0,2故选：C5．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A 偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海C A C 里）分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东，80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里，AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．函数，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任()sin f x a x x=()f x 3π()g x 意，都有成立，则的值为（ ）R x ∈()6g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a A ．B ．C ．D ．1-1±2-2±【答案】A【分析】先求出 的解析式，再求出 ，由题意 是 的最大值，运用辅助角()g x 6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 公式求出的最大值即可.()g x【详解】依题意，()sin 333g x f x a x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，33,622622a ag g ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333g x x x x πππϕ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦其中，cos ϕϕ==∴，即 ，()g x 322a=-()210a += ；1a ∴=-故选：A.7．函数与的图像相交于两点，则中点坐标为（ ）6cos (0)y x x π=<<y x =M N ､MN A ．B ．C ．D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭23,32π⎛⎫⎪⎝⎭23,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据 和 的对称性确定MN 中点的位置即可.cos y x =tan y x =【详解】由于，所以 和 都是关于点()()cos cos ,tan tan x x x xππ-=--=-6cos y x ==y x 对称的，,02π⎛⎫⎪⎝⎭所以M ，N 也是关于 对称的，M ，N 的中点就是 ；,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.8．在中，内角的对边分别为，且边上的中线ABC ,,A B C ,,,sin cos2,1a b c b A b A a ==AC（ ）BM =c =A ．3B C ．1或2D ．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式sin cos2b A b A=sin B =ABM ACM 、可得，在中由余弦定理可得，综上cos cos 0AMB CMB ∠+∠=2221b c =-ABC 2212cos b c c B =+-即可求解c【详解】由得，∴，∵sin cos2b A b A=()22sin sin 12sin B A B A=-(22sin sinB A =，∴，即.sin 0A≠2sin 0B=sin B =在中，由余弦定理可得ABM ACM 、，整理得，cos cos 0AMB CMB Ð+Ð=2221b c =-在中，，∴，即 （*），ABC 2212cos b c c B =+-222112cos c c c B -=+-22cos 20c c B +-=当时，（*）式可解得，；1cos 2B ==1c =()0c >当时，（*）式可解得，；1cos 2B ==-2c =()0c >故选：C二、多选题9．复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）21iz i +=-A ．B ．z 的共轭复数为|z |=3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.z 【详解】由题得，复数，可得，则A22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-||z ==不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复z 1322i -z 13222+=z 平面内的对应点为，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.13(,)22故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）()1,0a =(1,b = A ．B ．||16a b += ()2a b a +⋅= C ．向量与的夹角为D ．向量在上的投影向量为+a b a30°+a b a 2a【答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】，所以，故A 错误；((11,02,a b +=++=4a b +==，故B 正确；()1202a ab ⋅+=⨯+⨯=，()1cos ,2a a b a a b a a b⋅+<+>==+，，，故C 错误；(),0,πa a b <+>∈a ∴< π3ab +>=向量在上的投影向量为，故D 正确．+a b a ()2·21a a b a a a a a ⋅+=⨯=故选：BD 11．已知函数，下列命题中的真命题有（ ）()22cos 22f x x =-A ．，为奇函数R β∃∈()f x β+B ．，对恒成立30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()()2f x f x α=+x R ∈C ．，，若，则的最小值为1x ∀2x R ∈()()122f x f x -=12x x -4πD ．，，若，则1x ∀2x R ∈()()120f x f x ==()12x x k k Z π-=∈【答案】BC 【分析】先化简函数；作出函数的图象，再逐项判断，()22cos 22cos 41f x x x =-=-()cos 41f x x =-；由函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；()f x β+()f x β由，得，，，；又()()2f x f x α=+()cos 41cos 481x x α-=+-82k απ=4k πα=Z k ∈，取或时成立B 正确； 由时，得30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭4πα=2π()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=的最小值为，所以C 正确；当时，12x x -22244T ππ==⨯()()120f x f x ==，所以D 错误.()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈【详解】由题意；()22cos 22cos 41f x x x =-=-∵的图象如图所示；()cos 41f x x =-函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，()f x β+()f x β它不会是奇函数的，故A 错误；若 ，()()2f x f x α=+∴，()cos 41cos 481x x α-=+-∴，82k απ=∴，；4k πα=Z k ∈又，30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴取或时，4πα=2π∴对恒成立，故B 正确；()()2f x f x α=+x R ∈时，()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-= 的最小值为，故C 正确；12x x-22244T ππ==⨯当时， ()()120f x f x ==()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法ABC A B C a b c 23cos 3cos b C c B a +=正确的是（ ）A ．若，则的外接圆的面积为2BC A +=ABC 12πB ．若，则2b c a +=ABCC ．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为2C A =ABC c (D ．若，且，为的内心，则2A C =sin 2sin B C =O ABC AOB 【答案】BCD【分析】根据条件求出.23cos 3cos b C c B a +=3a =选项A ：根据条件求角，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；2B C A +=A 选项B ：把的面积表示成的一个函数，利用二次函数求最值；ABC bc 选项C ：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边c 6cos A ABC A 的范围；c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公C ABC 式求的内切圆半径，从而求的面积.ABC AOB 【详解】因为，所以由正弦定理，得,23cos 3cos b C c B a +=3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=即，()3sin sin B C a A+=因为，所以，且，所以.A B C π++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =选项：若，则，A 2BC A +=3A π=所以的外接圆的直径，所以ABC 2sin aR A ==R =所以的外接圆的面积为，选项A 错误；ABC 23ππ⨯=选项：若，则，B 2b c a +=6b c +=又因为，所以由余弦定理，得，3a =2292cos b c bc A =+-即，所以，()2922cos b c bc bc A=+--27cos 12A bc =-所以111sin 222ABCS bc A =====所以当时，B 正确；3b =ABC S 选项：由正弦定理，得 ，即 ，C sin sin 2a cA A =2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，ABC 020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩64A ππ<<所以，故选项C 正确；(6cos c A =∈选项：因为，所以，D sin 2sin B C =2b c =因为，所以，2A C =()sin sin sin 3B A C C=+=所以由正弦定理，得，即，sin sin b cB C =2sin 3sin c c C C =sin 32sin C C =所以，sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，所以，222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=222cos 2cos3C C +=所以，又因为，所以，，，23cos 4C =2A C =6C π=3A π=2B π=b c ==即是直角三角形，所以内切圆的半径为ABC ()12r a c b =+-=所以的面积为D 正确.AOB 1122S cr===故选：BCD.三、填空题13．已知，点为角终边上的一点，且02πβα<<<(1,P αsin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．=β=【答案】．3π【分析】由三角函数定义可得，已知等式用诱导公式变形得可得，结合角的sin ,cos ααsin()αβ-大小及范围求得，然后由两角差的正弦公式求得后可得．cos()αβ-sin ββ【详解】∵，∴，(1,P ||7OP =∴，．sin α=1cos 7α=又，∴sin cos cos sin αβαβ-=sin()αβ-=∵，∴，02πβα<<<02παβ<-<∴，13cos()14αβ-=∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---．131147=-=∵，∴．02βπ<<3πβ=故答案为：.3π【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14．已知函数的部分图像如图所示，且，则()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<()1f α=__________.sin 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】-13【分析】根据图像求出的解析式即可.()f x 【详解】由图可知： ， ，723,,,241234T A T T πππππω==-=∴===()()3sin 2f x x ϕ∴=+又 ，即 ，()2533sin ,0,,336f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫=-=+∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()555113sin 2,sin 2sin 2sin 266663f ππππααααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：- .1315．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为z 1z =x 2230zx zx ++=z ______.【答案】74-【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为z a bi =+a b ∈R 221a b +=，再分和两种情况求验证是否成立.()()222320axax bx bx i +++-=0b =0b ≠,a x 【详解】设，(，且)z a bi =+a b ∈R 221a b +=则原方程变为.2230zx zx ++=()()222320ax ax bx bx i +++-=所以，①且，②；2230ax ax ++=220bx bx -=（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；0b =21a =1a =±1a =从而，此时或3，故满足条件；1a =-2230x x --==1x -1z =-（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，0b ≠0x =2x =0x=2x =38a =-b =所以.83z =-综上满足条件的所以复数的和为.3371884⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，z a bi =+再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.z 16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，，，，且点A 、B 、C 、D 共2AB =6BC =4AD CD ==圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则的值为______．MN BC ⋅【答案】##367157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得、，再由，应用1cos 2C =1cos 7ABC ∠=1122MN AB CD =- 向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设，则，180A C ∠+∠=︒cos cos A C =-在△中，ABD 222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅在△中，BCD 222252cos 248BC CD BD BDC BC CD +--==⋅所以，可得，故，同理得，2220521648BD BD --=228BD =1cos 2C =1cos 7ABC ∠=又，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，MN AB BN AM =+- 所以，1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD=+-++=- 所以.1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+=故答案为：367【点睛】关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化求值.1()2AB MN BC B D CC ⋅=⋅+ 四、解答题17．已知为锐角，.θ()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭(1)求的值；θ(2)求函数的对称中心和单调区间.()tan 2y x θ=+【答案】(1)；3π(2)对称中心为,单调增区间为，无减区间.(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用诱导公式化简可得，即求；1cos 2θ=（2）利用正切函数的性质即得.【详解】（1）∵，()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴，又为锐角，()()cos sin 1cos cos tan 2θθθθθ-==-θ∴；3πθ=（2）由题知函数，tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得，2,Z 32k x k ππ+=∈,Z 46k x k ππ=-∈∴函数的对称中心为；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭由，得，2,Z232k x k k πππππ-<+<+∈5,Z212212k k x k ππππ-<<+∈∴函数的单调增区间为，无减区间.tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭18．已知z 为复数，和均为实数，其中是虚数单位.i z +2i z-i （1）求复数z 和；z（2）若在第四象限，求m 的范围.117i12z z m m =+--+【答案】（1），2）2i z =-|z |=()12,1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z ，再求其模；i(,)z a b a b R =+∈,a b （2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可：1215+i12m m z m m --=-+2101502m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩【详解】（1）设，则，i(,)z a b a b R =+∈i (1)i z a b +=++由为实数，得，则，i z +10b +=1b =-由为实数，得，则，i 212i 2i 2i 55z a a a-+-==+--205a -=2a =∴，则2i z =-|z |（2）11717215i 2+1i +i 121212m m z z m m m m m m --⎛⎫=+-=+-= ⎪-+-+-+⎝⎭由在第四象限，得，解得或，1z 211011252502m m m m m m m -⎧>⎧⎪><⎪⎪-⇒⎨⎨-⎪⎪-<<<⎩⎪+⎩或122m -<<15m <<故m 的取值范围为．()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设，然后依据题设建()i ,z a b ab R =+∈立方程求出，属于基础题.19．的内角，，的对边分别是，，，已知．ABC A B C a b c sin cos c B bA =+(1)求；B (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围．ABC 3b =ABC 【答案】(1)3B π=(2)(3,9⎤⎦【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出，a c +再利用三角恒等变换求值即可.【详解】（1）由正弦定理得，，sin sin sin cos C A B B A =+在中，，ABC A B C π++=C A B π=--故，()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B=--=+=+∴，sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B B A +=+∴，，sin cos sin A B A B =sin 0A ≠从而，cos B B =tan B =∵，∴；()0,B π∈3B π=（2）由正弦定理得，，其中为的外接圆半径，2sin b R B ==2π3A C +=R ABC故)2π2sin 2sin sin sin sin sin 3a c R A R C A C A A ⎤⎛⎫+=+=+=+-⎪⎥⎝⎭⎦，3πsin 6sin 26A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭因为是锐角三角形，，，ABC 02A π<<02C π<<即且，02A π<<2032A <-<ππ故，，ππ62A <<ππ2π363A <+<，πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭从而，故，6a c <+≤39ab c +<++≤故三角形周长的取值范围为．(3,9⎤⎦20．函数图象的一条对称轴为，一个零点为，最()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭12x π=43x π=小正周期满足．T 43T ππ≤≤(1)求的解析式；()f x(2)若对任意恒成立，求的最大值．()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭[],x m n ∈n m -【答案】(1)；()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2).23π【分析】（1）首先根据周期的范围求出，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出和322ω≤≤ω的值，从而可求出函数的解析式；ϕ()f x （2）首先根据的解析式把条件转化为，再结()f x ()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到，即得到sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，结合正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而可求的最大值．11sin 232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭x n m -【详解】（1）因为函数的最小正周期满足，所以，即；()f x T 43T ππ≤≤243πππω≤≤322ω≤≤因为函数图象的一条对称轴为，所以①，()f x 12x π=11,Z122k k ππωϕπ+=+∈因为函数的一个零点为，所以②，()f x 43x π=224,Z 3k k πωϕπ+=∈②①，得，所以当时，，-()212124,,Z55k k k k ω=-+-∈213k k -=2ω=因为，所以把代入①，得.2πϕ<2ω=3πϕ=所以.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为，所以由，得，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 4sin 2323x x πππ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即，cos 22sin 233x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即，所以22sin 2sin 21033x x ππ⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，11sin 232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭所以，即，513222,Z 636k x k k πππππ+≤+≤+∈11,Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈所以的最大值为.n m -1121243πππ-=21．在平面四边形中，ABCD 90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==(1)求的面积；ACD(2)若，求的值；9cos 16ACB ∠=34AB BC+【答案】；(2)8.【分析】（1）在中，由余弦定理求得得，再根据三角形的面积公式可求得答案；ACD AD （2）在中，由正弦定理求得，再由正弦和角公式求得，在中，根据正ACD sin DAC ∠sin B ABC 弦定理求得，由此可求得答案.AB BC ，【详解】（1）解：在中，ACD 60,6,D AC CD ∠=︒==，2221cos 22CD ADAC D AD CD +-===⋅⋅解得，AD=所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠== （2）解：在中，，ACD60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DC D DAC =∠=解得，3sin 4DAC ∠=又，所以，所以，90A ∠=︒3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭sin CAB ∠又，所以9cos 16ACB ∠=sin ACB ∠=所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在中，ABC sin sin sin AB BC ACACB CAB B ==∠∠==所以，6564AB BC ====，所以.335+4844AB BC +=⨯=22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台π4由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C ．现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC ，记AO OC =2COA AOM ∠=∠.ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭（1）当时，求矩形观赏台MNPQ 的面积；π6AOM ∠=（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.【答案】（1）平方米；（2）212.5平方米.)501【分析】（1）过M 作OA 的垂线，交AO 于点E ,过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，分别计算出MN 、NP ，即可求出矩形MNPQ 的面积（2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x 的函数，AOM x ∠=，利用三角函数求最值.()100cos sin 200sin 2S x x x=-+【详解】（1）当时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .π6AOM ∠=则.π1sin201062ME OM =⋅=⨯=.πcos206OE OM =⋅==过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，.NF ME =∵，，π4AOB ∠=10OF NF ==∴.10MN OE OF =-=.5NP =矩形MNPQ 的面积平方米.())510501S MN NP =⋅=⨯=所以矩形观赏台MNPQ 的面积平方米.)501（2）由题意可知，，，，，AOM x ∠=π4AOB ∠=π4MON x ∠=-3π4MNO ∠=在中，由，OMN sin sin MN OMMON MNO =∠∠得.()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-矩形MNPQ 的面积.()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-观赏台的面积.AOC 211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x=⋅⋅∠=⨯⨯=整个观赏台面积.()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+设，，πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭π64Ex ≤≤∴0t ≤≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x=-=+-=-∴.2sin 21x t =-∴()100cos sin 200sin 2S x x x=-+.()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭当时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.14t ⎡=∈⎢⎣∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。

2021-2022学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC →→→→==，则向量,AE AF →→的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1b c a c a b+≥++，则角A 的取值范围是（）A ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦B ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．下列各式正确的是（）A ．tan2tan3>B ．3tantan 55ππ>C ．sin sin 1018ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1723cos cos 43ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．复数z 满足z z z z +=⋅，则z 的范围为（）A ．[]0,1B ．⎡⎣C ．[]0,2D ．⎡⎣5．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70︒的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35︒的方向航行了C .若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A ．北偏东80︒，B ．北偏东65︒，2)C ．北偏东65︒，D ．北偏东80︒，2)+6．函数()sin f x a x x =+，将()f x 图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图像，若对任意R x ∈，都有()6g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（）A ．1-B ．1±C ．2-D ．2±7．函数6cos (0)y x x π=<<与y x =的图像相交于M N ､两点，则MN 中点坐标为（）A ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,32π⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32π⎛⎫-⎪⎝⎭8．在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,,sin cos2,1a b c b A b A a ==，且AC 边上的中线2BM =，则c =（）A ．3B C ．1或2D ．2或3二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．已知平面向量()1,0a =，(b = ，则下列说法正确的是（）A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量+a b 与a 的夹角为30°D ．向量+a b 在a 上的投影向量为2a11．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4πD ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为12πB ．若2b c a +=，则ABCC ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则边c 的长度的取值范围为(D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB 三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知02πβα<<<，点(1,P 为角α终边上的一点，且sin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则角β=________．14．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，且()1f α=，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，且点A 、B 、C 、D 共圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则MN BC ⋅的值为______．四､解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知θ为锐角，()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(1)求θ的值；(2)求函数()tan 2y x θ=+的对称中心和单调区间.18．已知z 为复数，i z +和2iz-均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 和z ；（2）若117i 12z z m m =+--+在第四象限，求m 的范围.19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos c B b A =+．(1)求B ；(2)若ABC 是锐角三角形，3b =，求ABC 周长的取值范围．20．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为12x π=，一个零点为43x π=，最小正周期T 满足43T ππ≤≤．(1)求()f x 的解析式；(2)若()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对任意[],x m n ∈恒成立，求n m -的最大值．21．在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==．(1)求ACD 的面积；(2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C ．现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）当π6AOM ∠=时，求矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.1．B 【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量,AE AF →→的模长，然后求得数量积AE AF →→⋅，从而求得向量夹角.【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，则12DE =，13BF =，2AE ==，3AF ==则由0AB AD →→⋅=知，1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅221(15())263AB AD →→==+则5,6cos 2AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>==⋅故向量,AE AF →→的夹角为4π故选：B 2．C 【分析】由已知，整理可得：222b c a bc +-≥，由余弦定理可解得1cos 2A ≥，结合A 为三角形内角即可解得A 的取值范围.【详解】解：因为1b c a c a b+≥++，整理可得：222b c a bc +-≥，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=，∴由A 为三角形内角，即()0,πA ∈，可得：π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C ．3．D【分析】根据三角函数的单调性以及每个选项对应角所在的象限逐项分析.【详解】对于A ，2,3,3222ππππ<<<<>，tan y x =在第二象限是增函数，tan 3tan 2∴>，错误；对于B ，325πππ<<，3tan 05π∴<，0,tan 0525πππ<<∴>，错误；对于C ，sin sin ,sin sin ,01010181818102πππππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin y x =在第一象限是增函数，sin sin ,sin sin 10181018ππππ⎛⎫⎛⎫∴>-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，1717cos cos cos 4cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23231cos coscos 8cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2317cos cos 34ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；故选：D.4．C 【分析】设i z x y =+，由z z z z +=⋅得x y ，，后可得答案.【详解】设i z x y =+，则i z x y =-.则[]22222200,2z z z z x x y x x y x ⇒=+⇒≥=⇒⋅-∈+=.则[]0,2z ==.故选：C 5．C 【分析】在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =，BC =AC 的长度，在ABC 中，可由正弦定理建立方程sin 105BC ACCAB sin ︒=∠，求出CAB ∠．【详解】据题意知，在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =海里，BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⨯⨯∠22402404=+-⨯⨯3200=+所以AC ==海里，又sin CAB =∠sin 2CAB ∠=，又因为CAB ∠为锐角，所以45CAB ︒∠=，所以航行的方向和路程分别为北偏东65︒，海里.故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．A 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意6g π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的最大值，运用辅助角公式求出()g x 的最大值即可.【详解】依题意()sin 333g x f x a x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33,622622a ag g ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333g x x x x πππϕ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，其中cos ϕϕ==，∴()g x 322a =-，即()210a +=，1a ∴=-；故选：A.7．A 【分析】根据cos y x =和tan y x =的对称性确定MN 中点的位置即可.【详解】由于()()cos cos ,tan tan x x x x ππ-=--=-，所以6cos y x =和=y x 都是关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称的，所以M ，N 也是关于,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称的，M ，N 的中点就是,02π⎛⎫⎪⎝⎭；故选：A.8．C 【分析】由正弦定理及sin cos2b A b A =可得sin B =，在ABM ACM 、中由余弦定理列式cos cos 0AMB CMB ∠+∠=可得2221b c =-，在ABC 中由余弦定理可得2212cos b c c B =+-，综上即可求解c 【详解】由sin cos2b A b A =得()22sin sin 12sin B A B A -=-，∴(22sin sin 0B A =，∵sin 0A ≠，∴2sin 0B =，即sin B =在ABM ACM 、中，由余弦定理可得22222222cos cos 0bb c a AMB CMB 骣骣+-+-琪琪琪琪桫桫Ð+Ð=，整理得2221b c =-，在ABC 中，2212cos b c c B =+-，∴222112cos c c c B -=+-，即22cos 20c c B +-=（*），当1cos 2B ==时，（*）式可解得1c =，()0c >；当1cos 2B ==-时，（*）式可解得2c =，()0c >；故选：C 9．CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10．BD 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,0a b +=++= ，所以4a b += ，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b aa b⋅+<+>==+，(),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．故选：BD 11．BC 【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos 41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；由()()2f x f x α=+，得()cos 41cos 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确；由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误.【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos 41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若()()2f x f x α=+，∴()cos 41cos 481x x α-=+-，∴82k απ=，∴4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时，∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确；()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．BCD 【分析】根据条件23cos 3cos b C c B a +=求出3a =.选项A ：根据条件2B C A +=求角A ，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B ：把ABC 的面积表示成bc 的一个函数，利用二次函数求最值；选项C ：根据正弦定理把边c 表示为6cos A ，利用ABC 为锐角三角形求角A 的范围，从而求边c 的范围；选项D ：利用正弦定理求出角C ，从而判断出ABC 是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求ABC 的内切圆半径，从而求AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=,即()3sin sin B C a A +=，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =.选项A ：若2B C A +=，则3A π=，所以ABC 的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC 的外接圆的面积为23ππ⨯=，选项A 错误；选项B ：若2b c a +=，则6b c +=，又因为3a =，所以由余弦定理，得2292cos b c bc A =+-，即()2922cos b c bc bc A =+--，所以27cos 12A bc=-，所以111sin 222ABCS bc A bc bc ===所以当3b =时，ABC S B 正确；选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A=，即2cos 6cos c a A A ==，因为ABC 为锐角三角形，所以020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以64A ππ<<，所以(6cos c A =∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，所以2b c =，因为2A C =，所以()sin sin sin 3B A C C =+=，所以由正弦定理sin sin b cB C=，得2sin 3sin c c C C =，即sin 32sin C C =，所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=，即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=，所以222cos 2cos 3C C +=，所以23cos 4C =，又因为2A C =，所以6C π=，3A π=，2B π=，b c =，即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()12r a c b =+-=所以AOB的面积为1122S cr ==⨯D 正确.故选：BCD.13．3π．【分析】由三角函数定义可得sin ,cos αα，已知等式用诱导公式变形得可得sin()αβ-，结合角的大小及范围求得cos()αβ-，然后由两角差的正弦公式求得sin β后可得β．【详解】∵(1,P ，∴||7OP =，∴sin α=，1cos 7α=．又sin cos cos sin 14αβαβ-=，∴sin()αβ-=∵02πβα<<<，∴02παβ<-<，∴13cos()14αβ-=，∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---1317147142=-⨯．∵02βπ<<，∴3πβ=．故答案为：3π.【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14．-13【分析】根据图像求出()f x 的解析式即可.【详解】由图可知：723,,,241234T A T Tπππππω==-=∴===，()()3sin 2f x x ϕ∴=+，又()2533sin ,0,,336f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫=-=+∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()555113sin 2,sin 2sin 2sin 266663f ππππααααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故答案为：-13.15．74-【解析】首先设z a bi =+(a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时=1x -或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以83z =-.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．367##157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得1cos 2C =、1cos 7ABC ∠=，再由1122MN AB CD =- ，应用向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设180A C ∠+∠=︒，则cos cos A C =-，在△ABD 中222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅，在△BCD 中222252cos 248BC CD BD BD C BC CD +--==⋅，所以2220521648BD BD --=，可得228BD =，故1cos 2C =，同理得1cos 7ABC ∠=，又MN AB BN AM =+-，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，所以1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD =+-++=- ，所以1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+= .故答案为：367【点睛】关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化1()2AB MN BC B D C C ⋅=⋅+求值.17．(1)3π；(2)对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭,单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，无减区间.【分析】（1）利用诱导公式化简可得1cos 2θ=，即求；（2）利用正切函数的性质即得.【详解】（1）∵()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴()()cos sin 1cos cos tan 2θθθθθ-==-，又θ为锐角，∴3πθ=；（2）由题知函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎝⎭，由2Z 32k x k ππ+=∈，得,Z 46k x k ππ=-∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭；由2,Z 232k x k k πππππ-<+<+∈，得5,Z 212212k k x k ππππ-<<+∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭，无减区间.18．（1）2i z =-，|z |=（2）()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U 【分析】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，依据题设，建立方程求出,a b ，即可求得z ，再求其模；（2）先求出1215+i 12m m z m m --=-+，再根据题意建立不等式组2101502m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩求解即可：【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i (1)i z a b +=++，由i z +为实数，得10b +=，则1b =-，由i 212i 2i 2i 55z a a a -+-==+--为实数，得205a -=，则2a =，∴2i z =-，则|z |=（2）11717215i 2+1i +i 121212m m z z m m m m m m --⎛⎫=+-=+-= ⎪-+-+-+⎝⎭由1z 在第四象限，得211011252502m m m m m m m -⎧>⎧⎪><⎪⎪-⇒⎨⎨-⎪⎪-<<<⎩⎪+⎩或，解得122m -<<或15m <<，故m 的取值范围为()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U ．【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设()i ,z a b a b R =+∈，然后依据题设建立方程求出，属于基础题.19．(1)3B π=(2)(3,9⎤+⎦【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出a c +，再利用三角恒等变换求值即可.【详解】（1）由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C A B B A =+，在ABC 中，A B C π++=，C A Bπ=--故()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =--=+=+，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 3A B A B A B B A +=+，∴sin cos sin A B A B =，sin 0A ≠，从而cos B B =，tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由正弦定理得，2sin bR B==2π3A C +=，其中R 为ABC 的外接圆半径，故)2π2sin 2sin sin sin 2sin sin 3a c R A R C A C A A ⎤⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦3πsin cos 6sin226A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭，因为ABC 是锐角三角形，02A π<<，02C π<<，即02A π<<且2032A <-<ππ，故ππ62A <<，ππ2π363A <+<，所以πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而6a c <+≤，故39a b c <++≤，故三角形周长的取值范围为(3,9⎤+⎦．20．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)23π.【分析】（1）首先根据周期的范围求出322ω≤≤，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出ω和ϕ的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）首先根据()f x 的解析式把条件()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭转化为7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即得到11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图象即可求出x 的取值范围，从而可求n m -的最大值．【详解】（1）因为函数()f x 的最小正周期T 满足43T ππ≤≤，所以243πππω≤≤，即322ω≤≤；因为函数()f x 图象的一条对称轴为12x π=，所以11,Z 122k k ππωϕπ+=+∈①，因为函数()f x 的一个零点为43x π=，所以224,Z 3k k πωϕπ+=∈②，②-①，得()212124,,Z 55k k k k ω=-+-∈，所以当213k k -=时，2ω=，因为2πϕ<，所以把2ω=代入①，得3πϕ=.所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以由()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 4sin 2323x x πππ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 22sin 233x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即212sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 2sin 21033x x ππ⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以513222,Z 636k x k k πππππ+≤+≤+∈，即11,Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈，所以n m -的最大值为1121243πππ-=.21．(2)8.【分析】（1）在ACD 中，由余弦定理求得得AD ，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在ACD 中，由正弦定理求得sin DAC ∠，再由正弦和角公式求得sin B ，在ABC 中，根据正弦定理求得AB BC ，，由此可求得答案.【详解】（1）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==22221cos 22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =，所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠=⨯（2）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DCD DAC=∠，即sin DAC =∠，解得3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin 4CAB ∠=，又9cos 16ACB ∠=，所以sin 16ACB ∠=，所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠==所以6564164AB BC =⨯=⨯=，，所以335+4844AB BC +=⨯=.22．（1）)501平方米；（2）212.5平方米.【分析】（1）过M 作OA 的垂线，交AO 于点E ,过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，分别计算出MN 、NP ，即可求出矩形MNPQ 的面积（2）由题意可知，AOM x ∠=，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x 的函数，()100cos sin 200sin 2S x x x =-+，利用三角函数求最值.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=.πcos2062OE OM =⋅=⨯.过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=.5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米.（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OMMON MNO=∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-.矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.答案第17页，共17页观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+.设πcos sin cos 4t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π64E x ≤≤，∴04t ≤≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-.∴()100cos sin 200sin 2S x x x=-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当10,44t ⎡=∈⎢⎣⎦时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。

2015-2016学年下学期高一年级第一次阶段性考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高一数学组一、选择题：（每题5分，满分60分）1．如果θ是第二象限角，且满足cossin22θθ-=2θ A ．是第一象限角B ．是第二象限角C ．是第三象限角D ．可能是第一象限角，也可能是第三象限角2．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos2y x =的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．函数()()()204sin 0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则集合()(){}|0x f f x =元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．函数sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数表达式为 A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=-- D ．4sin()84y x ππ=+ 5．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ ，则sin(2)=12πα-A B ．C ．12 D ．12-6．已知15cos =617πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值是A ．1817 B ．348315- C ．343158- D ．－18177．设()0,x π∈ ，关于x 的方程2sin()3x a π+=有2个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A ．()B ．(C ．)D ．(-8．)tan 70cos10201︒︒︒-的值为A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x --的值为A ．725B ．1225C ．1325D ．182510．下列四组函数中，①()()1tan tan(),41tan x f x x g x x π+=+=-；②()()sin tan ,21cos x xf xg x x ==+；③()()1cos tan ,2sin x x f x g x x -==；④ ()()22tan tan2,1tan xf x xg x x==-， ()()f x g x 与表示同一函数的共有A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组11．已知函数()()sin()04f x x πωω3=->，59()()088f f ππ+=，且()f x 在区间 59(,)88ππ上单调递减，则ω的值为A ．2B ．67C ．627或D ．()860,1,2, (77)k k += 12．已知当(,)6x ππ∈-时，不等式cos 22sin 610x a x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1[,1]2- B ．[]1,0- C ．[ D ．1(,)2+∞二、填空题：（每题5分，满分20分） 13．55arccos(sin)arcsin(sin )36ππ+=14．已知函()()2sin 1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=++>><<的最大值为3，其图象的两条相邻对称轴间的距离为2，与y 轴交点的纵坐标为2，则()f x 的单调递增区间是 ．15．已知函数()()11sin cos |sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 ． 16．函数()sin cos 22x x f x a b ππ=+的一个零点为13，且313()()0212f f <<，对于下列结论： ①13()03f =；②()4()3f x f ≥；③1317()()1212f f =；④()f x 的单调减区间是()214,433k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；⑤()f x 的单调增区间是4104,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确的结论编号）三、解答题：（17题10分，18-22题，每题12分，满分70分） 17.已知角θ终边上一点(2,)P m，且csc θ （1）求m 的值以及tan θ的值；（2）求23cos 1sin sin 2sec cos2m θθθθθ⎛⎫+-⋅⎪⎝⎭的值.18．已知函数()sin()142x f x π=-+．（1）画出函数()f x 在9,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象(只需作图即可，不需写出过程)；（2）求函数()f x（3）求函数()f x 的对称中心．19．已知3tan 24α=，(,)22ππα∈-，()sin()sin()2sin f x x x ααα=++--，且对任意的x ∈R ，恒有()0f x ≥成立，试求sin()4πα-的值．20．如图，已知OPQ3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP x ∠=，矩形ABCD 的面积为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及相应的x 值．21.已知,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=----．（1）化简()f α； （2）若cos(2)4πα+=，求()f α的值．22．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若存在正实数．．．,m n 使得()()()h x mf x ng x =+恒成立，则称()h x 为()f x ，()g x 在R 上的生成函数．若()sin 2x f x =，()cos g x x =.（1）判断函数sin y kx =()k ∈R 是否()f x ，()g x 在R 上的生成函数，请说明理由； （2）记()G x 为()f x ，()g x 在R 上的生成函数，若()13G π=，且()G x 的最大值为98，求()G x 的解析式．2015-2016学年下学期高一年级第一次阶段性考试数学试卷答案一、选择题CBDAA BCCAA AD二、填空题π []41,41,k k k -+∈Z⎡-⎢⎣⎦ ①②⑤三、解答题17解：（1）1=m ，21tan =θ （2）原式371tan 3tan tan 13tan 2tan sin cos cos 3cos sin 2sin 222222-=++-=--+=--+=θθθθθθθθθθθ18解：(2)π4=T ；单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++274,234ππππk k （Z k ∈） （3）对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+1,22ππk （Z k ∈） 19．解：依题意f （x ）=2sin αcosx ﹣2sin α=2sin α（cosx ﹣1）由对任意x ∈R ，都有f （x ）≥0成立，∵co sx ﹣1≤0， ∴sin α≤0，∴﹣≤α≤0，由tan2α=，即=，得tan α=﹣3，（舍去），∴sin α=﹣，cos α=，则=（sin α﹣cos α）=×（﹣）=﹣．20．解：（1）在Rt△OBC 中，OB=OCcosx=cosx ，BC=OCsinx=sinx ，在Rt△OAD 中， =tan60°=，∴OA=BC=sinx ，∵AB=OB﹣OA=cosx ﹣sinx ，∴f（x ）=S=ABBC=（cosx ﹣sinx ）sinx=3sinxcosx ﹣sin 2x=sin2x ﹣（1﹣cos2x ）=sin （2x+）﹣，x ∈（0，）…（6分）（Ⅱ）由x ∈（0，），x+∈（0，），得x ∈（0，）而y=f （x ）+f （x+）=sin （2x+）﹣+sin[2（x+）+]﹣= [sin （2x+）+cos （2x+）]﹣=sin （2x+）﹣，由2x+∈（，），故当2x+=，即x=时，y 取最大值﹣…（12分）21．解：（1）cos sin (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--（2）⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,4ππα，∴)43,4(42πππα-∈+，又0102)42cos(<-=+πα，∴)43,2(42πππα∈+， ∴1027)102(1)42sin(2=--=+πα ∴5322102722)102(4)42(cos 2cos =⋅+⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππαα 又⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,4ππα，∴0cos >α ∴()f α55222cos 1cos -=+-=-=αα22．解：（1）若函数y=sinkx ，（k ∈R ）是f （x ），g （x ）在R 上的生成函数，则存在正实数m ，n 使得sinkx=恒成立，取x=0得：0=n ，不符合n ＞0这个条件，故函数y=sinkx ，（k ∈R ）不是为f （x ），g （x ）在R 上的生成函数，（2）∵G（x ）为f （x ），g （x ）在R 上的生成函数，若，则存在正实数m ，n 使得G （x ）=恒成立，且，即：m+n=2，故G （x ）===令sin =t ，则G （x ）=﹣2nt 2+（2﹣n ）t+n ，根据其G （x ）的最大值为，得到：n=1 或代入m+n=2，得故G（x）的解析式为：G（x）=或G（x）=．。