2020年辽宁省沈阳市东北育才学校高一(下)期中数学试卷

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在边长为1的正方形ABCD 中，向量，则向量的夹角为（ ）11,23DE DC BF BC →→→→==,AE AF →→A ．B ．C ．D ．6π4π3π512π【答案】B【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量的模,AE AF →→长，然后求得数量积，从而求得向量夹角.AE AF →→⋅【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，则，，12DE =13BF=AE ==AF =则由知，0AB AD →→⋅=1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅221(15())263AB AD →→==+则,cos AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>===⋅故向量的夹角为,AE AF →→4π故选：B2．在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 1b c a c a b +≥++A A ．B ．C ．D ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,3⎛⎤⎥⎝⎦π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，结合为三角形内角222b c a bc +-≥1cos 2A ≥A 即可解得的取值范围.A 【详解】解：因为，1b c a c a b +≥++整理可得：，222b c a bc +-≥由余弦定理可得：，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=由为三角形内角，即，可得：.∴A ()0,πA ∈π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C ．3．下列各式正确的是（ ）A ．B ．tan2tan3>3tantan 55ππ>C ．D ．sin sin 1018ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1723cos cos 43ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据三角函数的单调性以及每个选项对应角所在的象限逐项分析.【详解】对于A ， ， 在第二象限是增函数， ，错2,3,3222ππππ<<<<>tan y x =tan 3tan 2∴>误；对于B ， ， ， ，错误；325πππ<<3tan 05π∴<0,tan 0525πππ<<∴>对于C ， ，sin sin ,sin sin ,01010181818102πππππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在第一象限是增函数， ，错误；sin y x =sin sin ,sin sin 10181018ππππ⎛⎫⎛⎫∴>-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，，1717cos coscos 4cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ，正确；23231cos cos cos 8cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317cos cos 34ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．复数满足，则的范围为（ ）z z z z z +=⋅zA ．B ．C ．D ．[]0,1⎡⎣[]0,20,⎡⎣【答案】C【分析】设，由得，后可得答案.i z x y =+z z z z +=⋅x y ，【详解】设，则.i z x y =+i z x y =-则.[]22222200,2z z z z x x y x x y x ⇒=+⇒≥=⇒⋅-∈+=.[]0,2故选：C5．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A 偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海C A C 里）分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东，80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里，AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．函数，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任()sin f x a x x=()f x 3π()g x 意，都有成立，则的值为（ ）R x ∈()6g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a A ．B ．C ．D ．1-1±2-2±【答案】A【分析】先求出 的解析式，再求出 ，由题意 是 的最大值，运用辅助角()g x 6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 公式求出的最大值即可.()g x【详解】依题意，()sin 333g x f x a x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，33,622622a ag g ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333g x x x x πππϕ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦其中，cos ϕϕ==∴，即 ，()g x 322a=-()210a += ；1a ∴=-故选：A.7．函数与的图像相交于两点，则中点坐标为（ ）6cos (0)y x x π=<<y x =M N ､MN A ．B ．C ．D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭23,32π⎛⎫⎪⎝⎭23,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据 和 的对称性确定MN 中点的位置即可.cos y x =tan y x =【详解】由于，所以 和 都是关于点()()cos cos ,tan tan x x x xππ-=--=-6cos y x ==y x 对称的，,02π⎛⎫⎪⎝⎭所以M ，N 也是关于 对称的，M ，N 的中点就是 ；,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.8．在中，内角的对边分别为，且边上的中线ABC ,,A B C ,,,sin cos2,1a b c b A b A a ==AC（ ）BM =c =A ．3B C ．1或2D ．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式sin cos2b A b A=sin B =ABM ACM 、可得，在中由余弦定理可得，综上cos cos 0AMB CMB ∠+∠=2221b c =-ABC 2212cos b c c B =+-即可求解c【详解】由得，∴，∵sin cos2b A b A=()22sin sin 12sin B A B A=-(22sin sinB A =，∴，即.sin 0A≠2sin 0B=sin B =在中，由余弦定理可得ABM ACM 、，整理得，cos cos 0AMB CMB Ð+Ð=2221b c =-在中，，∴，即 （*），ABC 2212cos b c c B =+-222112cos c c c B -=+-22cos 20c c B +-=当时，（*）式可解得，；1cos 2B ==1c =()0c >当时，（*）式可解得，；1cos 2B ==-2c =()0c >故选：C二、多选题9．复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）21iz i +=-A ．B ．z 的共轭复数为|z |=3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.z 【详解】由题得，复数，可得，则A22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-||z ==不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复z 1322i -z 13222+=z 平面内的对应点为，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.13(,)22故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）()1,0a =(1,b = A ．B ．||16a b += ()2a b a +⋅= C ．向量与的夹角为D ．向量在上的投影向量为+a b a30°+a b a 2a【答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】，所以，故A 错误；((11,02,a b +=++=4a b +==，故B 正确；()1202a ab ⋅+=⨯+⨯=，()1cos ,2a a b a a b a a b⋅+<+>==+，，，故C 错误；(),0,πa a b <+>∈a ∴< π3ab +>=向量在上的投影向量为，故D 正确．+a b a ()2·21a a b a a a a a ⋅+=⨯=故选：BD 11．已知函数，下列命题中的真命题有（ ）()22cos 22f x x =-A ．，为奇函数R β∃∈()f x β+B ．，对恒成立30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()()2f x f x α=+x R ∈C ．，，若，则的最小值为1x ∀2x R ∈()()122f x f x -=12x x -4πD ．，，若，则1x ∀2x R ∈()()120f x f x ==()12x x k k Z π-=∈【答案】BC 【分析】先化简函数；作出函数的图象，再逐项判断，()22cos 22cos 41f x x x =-=-()cos 41f x x =-；由函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；()f x β+()f x β由，得，，，；又()()2f x f x α=+()cos 41cos 481x x α-=+-82k απ=4k πα=Z k ∈，取或时成立B 正确； 由时，得30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭4πα=2π()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=的最小值为，所以C 正确；当时，12x x -22244T ππ==⨯()()120f x f x ==，所以D 错误.()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈【详解】由题意；()22cos 22cos 41f x x x =-=-∵的图象如图所示；()cos 41f x x =-函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，()f x β+()f x β它不会是奇函数的，故A 错误；若 ，()()2f x f x α=+∴，()cos 41cos 481x x α-=+-∴，82k απ=∴，；4k πα=Z k ∈又，30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴取或时，4πα=2π∴对恒成立，故B 正确；()()2f x f x α=+x R ∈时，()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-= 的最小值为，故C 正确；12x x-22244T ππ==⨯当时， ()()120f x f x ==()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法ABC A B C a b c 23cos 3cos b C c B a +=正确的是（ ）A ．若，则的外接圆的面积为2BC A +=ABC 12πB ．若，则2b c a +=ABCC ．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为2C A =ABC c (D ．若，且，为的内心，则2A C =sin 2sin B C =O ABC AOB 【答案】BCD【分析】根据条件求出.23cos 3cos b C c B a +=3a =选项A ：根据条件求角，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；2B C A +=A 选项B ：把的面积表示成的一个函数，利用二次函数求最值；ABC bc 选项C ：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边c 6cos A ABC A 的范围；c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公C ABC 式求的内切圆半径，从而求的面积.ABC AOB 【详解】因为，所以由正弦定理，得,23cos 3cos b C c B a +=3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=即，()3sin sin B C a A+=因为，所以，且，所以.A B C π++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =选项：若，则，A 2BC A +=3A π=所以的外接圆的直径，所以ABC 2sin aR A ==R =所以的外接圆的面积为，选项A 错误；ABC 23ππ⨯=选项：若，则，B 2b c a +=6b c +=又因为，所以由余弦定理，得，3a =2292cos b c bc A =+-即，所以，()2922cos b c bc bc A=+--27cos 12A bc =-所以111sin 222ABCS bc A =====所以当时，B 正确；3b =ABC S 选项：由正弦定理，得 ，即 ，C sin sin 2a cA A =2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，ABC 020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩64A ππ<<所以，故选项C 正确；(6cos c A =∈选项：因为，所以，D sin 2sin B C =2b c =因为，所以，2A C =()sin sin sin 3B A C C=+=所以由正弦定理，得，即，sin sin b cB C =2sin 3sin c c C C =sin 32sin C C =所以，sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，所以，222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=222cos 2cos3C C +=所以，又因为，所以，，，23cos 4C =2A C =6C π=3A π=2B π=b c ==即是直角三角形，所以内切圆的半径为ABC ()12r a c b =+-=所以的面积为D 正确.AOB 1122S cr===故选：BCD.三、填空题13．已知，点为角终边上的一点，且02πβα<<<(1,P αsin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．=β=【答案】．3π【分析】由三角函数定义可得，已知等式用诱导公式变形得可得，结合角的sin ,cos ααsin()αβ-大小及范围求得，然后由两角差的正弦公式求得后可得．cos()αβ-sin ββ【详解】∵，∴，(1,P ||7OP =∴，．sin α=1cos 7α=又，∴sin cos cos sin αβαβ-=sin()αβ-=∵，∴，02πβα<<<02παβ<-<∴，13cos()14αβ-=∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---．131147=-=∵，∴．02βπ<<3πβ=故答案为：.3π【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14．已知函数的部分图像如图所示，且，则()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<()1f α=__________.sin 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】-13【分析】根据图像求出的解析式即可.()f x 【详解】由图可知： ， ，723,,,241234T A T T πππππω==-=∴===()()3sin 2f x x ϕ∴=+又 ，即 ，()2533sin ,0,,336f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫=-=+∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()555113sin 2,sin 2sin 2sin 266663f ππππααααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：- .1315．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为z 1z =x 2230zx zx ++=z ______.【答案】74-【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为z a bi =+a b ∈R 221a b +=，再分和两种情况求验证是否成立.()()222320axax bx bx i +++-=0b =0b ≠,a x 【详解】设，(，且)z a bi =+a b ∈R 221a b +=则原方程变为.2230zx zx ++=()()222320ax ax bx bx i +++-=所以，①且，②；2230ax ax ++=220bx bx -=（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；0b =21a =1a =±1a =从而，此时或3，故满足条件；1a =-2230x x --==1x -1z =-（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，0b ≠0x =2x =0x=2x =38a =-b =所以.83z =-综上满足条件的所以复数的和为.3371884⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，z a bi =+再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.z 16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，，，，且点A 、B 、C 、D 共2AB =6BC =4AD CD ==圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则的值为______．MN BC ⋅【答案】##367157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得、，再由，应用1cos 2C =1cos 7ABC ∠=1122MN AB CD =- 向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设，则，180A C ∠+∠=︒cos cos A C =-在△中，ABD 222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅在△中，BCD 222252cos 248BC CD BD BDC BC CD +--==⋅所以，可得，故，同理得，2220521648BD BD --=228BD =1cos 2C =1cos 7ABC ∠=又，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，MN AB BN AM =+- 所以，1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD=+-++=- 所以.1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+=故答案为：367【点睛】关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化求值.1()2AB MN BC B D CC ⋅=⋅+ 四、解答题17．已知为锐角，.θ()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭(1)求的值；θ(2)求函数的对称中心和单调区间.()tan 2y x θ=+【答案】(1)；3π(2)对称中心为,单调增区间为，无减区间.(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用诱导公式化简可得，即求；1cos 2θ=（2）利用正切函数的性质即得.【详解】（1）∵，()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴，又为锐角，()()cos sin 1cos cos tan 2θθθθθ-==-θ∴；3πθ=（2）由题知函数，tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得，2,Z 32k x k ππ+=∈,Z 46k x k ππ=-∈∴函数的对称中心为；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭由，得，2,Z232k x k k πππππ-<+<+∈5,Z212212k k x k ππππ-<<+∈∴函数的单调增区间为，无减区间.tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭18．已知z 为复数，和均为实数，其中是虚数单位.i z +2i z-i （1）求复数z 和；z（2）若在第四象限，求m 的范围.117i12z z m m =+--+【答案】（1），2）2i z =-|z |=()12,1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z ，再求其模；i(,)z a b a b R =+∈,a b （2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可：1215+i12m m z m m --=-+2101502m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩【详解】（1）设，则，i(,)z a b a b R =+∈i (1)i z a b +=++由为实数，得，则，i z +10b +=1b =-由为实数，得，则，i 212i 2i 2i 55z a a a-+-==+--205a -=2a =∴，则2i z =-|z |（2）11717215i 2+1i +i 121212m m z z m m m m m m --⎛⎫=+-=+-= ⎪-+-+-+⎝⎭由在第四象限，得，解得或，1z 211011252502m m m m m m m -⎧>⎧⎪><⎪⎪-⇒⎨⎨-⎪⎪-<<<⎩⎪+⎩或122m -<<15m <<故m 的取值范围为．()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设，然后依据题设建()i ,z a b ab R =+∈立方程求出，属于基础题.19．的内角，，的对边分别是，，，已知．ABC A B C a b c sin cos c B bA =+(1)求；B (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围．ABC 3b =ABC 【答案】(1)3B π=(2)(3,9⎤⎦【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出，a c +再利用三角恒等变换求值即可.【详解】（1）由正弦定理得，，sin sin sin cos C A B B A =+在中，，ABC A B C π++=C A B π=--故，()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B=--=+=+∴，sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B B A +=+∴，，sin cos sin A B A B =sin 0A ≠从而，cos B B =tan B =∵，∴；()0,B π∈3B π=（2）由正弦定理得，，其中为的外接圆半径，2sin b R B ==2π3A C +=R ABC故)2π2sin 2sin sin sin sin sin 3a c R A R C A C A A ⎤⎛⎫+=+=+=+-⎪⎥⎝⎭⎦，3πsin 6sin 26A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭因为是锐角三角形，，，ABC 02A π<<02C π<<即且，02A π<<2032A <-<ππ故，，ππ62A <<ππ2π363A <+<，πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭从而，故，6a c <+≤39ab c +<++≤故三角形周长的取值范围为．(3,9⎤⎦20．函数图象的一条对称轴为，一个零点为，最()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭12x π=43x π=小正周期满足．T 43T ππ≤≤(1)求的解析式；()f x(2)若对任意恒成立，求的最大值．()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭[],x m n ∈n m -【答案】(1)；()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2).23π【分析】（1）首先根据周期的范围求出，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出和322ω≤≤ω的值，从而可求出函数的解析式；ϕ()f x （2）首先根据的解析式把条件转化为，再结()f x ()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到，即得到sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，结合正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而可求的最大值．11sin 232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭x n m -【详解】（1）因为函数的最小正周期满足，所以，即；()f x T 43T ππ≤≤243πππω≤≤322ω≤≤因为函数图象的一条对称轴为，所以①，()f x 12x π=11,Z122k k ππωϕπ+=+∈因为函数的一个零点为，所以②，()f x 43x π=224,Z 3k k πωϕπ+=∈②①，得，所以当时，，-()212124,,Z55k k k k ω=-+-∈213k k -=2ω=因为，所以把代入①，得.2πϕ<2ω=3πϕ=所以.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为，所以由，得，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 4sin 2323x x πππ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即，cos 22sin 233x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即，所以22sin 2sin 21033x x ππ⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，11sin 232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭所以，即，513222,Z 636k x k k πππππ+≤+≤+∈11,Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈所以的最大值为.n m -1121243πππ-=21．在平面四边形中，ABCD 90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==(1)求的面积；ACD(2)若，求的值；9cos 16ACB ∠=34AB BC+【答案】；(2)8.【分析】（1）在中，由余弦定理求得得，再根据三角形的面积公式可求得答案；ACD AD （2）在中，由正弦定理求得，再由正弦和角公式求得，在中，根据正ACD sin DAC ∠sin B ABC 弦定理求得，由此可求得答案.AB BC ，【详解】（1）解：在中，ACD 60,6,D AC CD ∠=︒==，2221cos 22CD ADAC D AD CD +-===⋅⋅解得，AD=所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠== （2）解：在中，，ACD60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DC D DAC =∠=解得，3sin 4DAC ∠=又，所以，所以，90A ∠=︒3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭sin CAB ∠又，所以9cos 16ACB ∠=sin ACB ∠=所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在中，ABC sin sin sin AB BC ACACB CAB B ==∠∠==所以，6564AB BC ====，所以.335+4844AB BC +=⨯=22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台π4由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C ．现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC ，记AO OC =2COA AOM ∠=∠.ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭（1）当时，求矩形观赏台MNPQ 的面积；π6AOM ∠=（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.【答案】（1）平方米；（2）212.5平方米.)501【分析】（1）过M 作OA 的垂线，交AO 于点E ,过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，分别计算出MN 、NP ，即可求出矩形MNPQ 的面积（2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x 的函数，AOM x ∠=，利用三角函数求最值.()100cos sin 200sin 2S x x x=-+【详解】（1）当时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .π6AOM ∠=则.π1sin201062ME OM =⋅=⨯=.πcos206OE OM =⋅==过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，.NF ME =∵，，π4AOB ∠=10OF NF ==∴.10MN OE OF =-=.5NP =矩形MNPQ 的面积平方米.())510501S MN NP =⋅=⨯=所以矩形观赏台MNPQ 的面积平方米.)501（2）由题意可知，，，，，AOM x ∠=π4AOB ∠=π4MON x ∠=-3π4MNO ∠=在中，由，OMN sin sin MN OMMON MNO =∠∠得.()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-矩形MNPQ 的面积.()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-观赏台的面积.AOC 211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x=⋅⋅∠=⨯⨯=整个观赏台面积.()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+设，，πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭π64Ex ≤≤∴0t ≤≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x=-=+-=-∴.2sin 21x t =-∴()100cos sin 200sin 2S x x x=-+.()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭当时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.14t ⎡=∈⎢⎣∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。

辽宁省2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2018·株洲模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）下列函数与有相同图象的一个函数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·天水开学考) 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量 =（3，4），若⊥ ，则tan（α+ ）=（）A . 7B .C . ﹣7D .4. （2分）设，则（）A . a<b<cB . a<c<bC . c<a<bD . b<a<c5. （2分） (2019高二上·桂林月考) 已知则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一上·吉林期末) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·天津模拟) 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共9分)9. （1分） (2020高二下·上海期末) 若一个圆锥的全面积为，其侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆维的体积为________．10. （2分） (2020高一上·诸暨期末) ________， ________.11. （1分） (2020高一上·南昌期中) 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作 .在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数在上是增函数；④函数是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.12. （1分） (2020高二下·北京期中) 口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X，若，则的值为________ .13. （1分） (2017高一上·靖江期中) 设函数f（x）= ﹣ln（1+|x|），则使得f（2x）＞f（x﹣1）成立的x取值范围是________．14. （1分） (2016高一上·平阳期中) 已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则f（3）=________．（n+1）*1=3（n*1），则2*1=________；15. （2分）定义一种新运算“*”，对自然数n满足以下等式：（1）1*1=1；（2）n*1=________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分）已知集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|y= }（1）求（∁RA）∩B；（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}，且C⊆A，求a的取值范围．17. （5分） (2017高一上·奉新期末) 已知f（α）= ．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若角A是△ABC的内角，且f（A）= ，求cos2A﹣sin2A的值．18. （15分） (2019高一上·重庆月考) 已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若且在上的最小值为，求的值.19. （5分） (2016高一上·临川期中) 已知函数f（x）=﹣ +x在区间[m，n]上的最小值是2m，最大值是2n，求m，n的值．20. （10分） (2019高一上·遵义期中) 二次函数满足，且方程有两个相等的实数根.（1）求函数的解析式及值域；（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是 .若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.。

辽宁省东北育才学校高一下学期期中考试（数学）一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1. 下面命题中正确论述的命题个数是（ ）①求解某一类问题的算法是唯一的；②任何一个算法都可能包含顺序结构、条件结构、循环结构； ③在“Scilab ”程序语言中,赋值号与数学中的等号的意义相同。

④在“Scilab ”程序语言中,赋值号左右能对换； ⑤循环结构中一定包含条件结构A.1个B.2个C.3个D.4个2. 若向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈，则a b -=( ) A. 2-或0B. 2或2或103. 如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=，若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（ ） A.B.36C. 60D.14. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在1=x 处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ． )1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数5. 给出命题：（1）某彩票的中奖概率为11000，意味着买1000张彩票一定能中奖 （2）对立事件一定是互斥事件（3）若事件A 、B 满足P(A)+P(B)=1，则A 、B 为对立事件（4）从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，记事件A 为“恰有1个白球”, 记事件B 为“恰有2个白球”，则A 与B 为互斥而不对立的两个事件 其中正确命题的个数是 （ ）A.3B. 2C. 1D. 0 6. 若sin cos tan ,0,,cos sin 2ααπβαββααα+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭，则等于（ ）A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.在△ABC 中，给出下列四个命题：①若B A 2sin 2sin =，则△ABC 必是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则△ABC 必是直角三角形；③若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则△ABC 必是钝角三角形；204060 80 100④若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则△ABC 必是等边三角形.以上命题中正确的命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 用秦九韶算法计算多项式2456()187543f x x x x x x =+++++在x=5时所对应的4V 的值为（ ） A ．1829 B. 1805 C. 2507 D. 25439. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,...,270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，265； ③11，38，65，92，119，146，173，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样10. 有五条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A. 35 B. 25 C. 310 D. 1211. 如图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i<＝100B ．i >100C ．i>50D ．i<＝5012．若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12 D ．12- 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共 13. 在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = . 14. 设对变量x,y 有如下观察数据:则y 对x 的回归直线ˆybx a =+必过定点________. 15. 已知ΔAOB 中，点P 在直线AB 上，且满足：2()OP tPA tOB t R =+∈，则||||PA PB = 16. 给出下列命题：①(sin ,1),(cos ,1),a b a b ααα==-⊥则存在实数，使得 ②1(2,2),(sin 1,cos ),//2a b a b ααα==--若则存在实数，使得 ③函数3sin()2y x π=+是偶函数 ④5sin(2)84x y x ππ==+是函数的一条对称抽方程⑤sin sin αβαβαβ>>若，是第一象限的角且，，则⑥13tan ,2tan 2ππαβπαπαββ⎛⎫∈<<+< ⎪⎝⎭若，，且则 其中所有正确命题的序号为_________________三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(m/s)的数据如下表:(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、标准差（精确到0.01）,并判断选谁参加比赛更合适.18.(本题满分12分)阅读以上流程图，若记y=f （x ）(1) 写出y=f(x)的解析式，并求函数的值域， （2） 若x 0满足f(x 0)＜0 且f(f(x 0))=1,求x 0.19.(本题满分12分)已知直线a x y +-=与圆422=+y x 交于B A ,两点，O 为原点，求 （1）与的数量积；（2）a 为何值时，与两向量夹角为3π。

辽宁省沈阳市2020版高一下学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·大连期末) 已知角的终边经过点，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·南平期末) 已知向量，，且，则的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2016高二上·厦门期中) 在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A . 12B .C . 28D .4. （2分）(2020·随县模拟) 函数的最小正周期是，则函数在区间上的零点个数为（）A . 31B . 32C . 63D . 645. （2分） (2017高三·银川月考) 已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则 =10时，的值是（）A . 110B . 120C . 130D . 1406. （2分）判断下列命题的为真命题．（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞C . 若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dD . 若a＞b，则an＞bn ，＞（n∈N+且n≥2）7. （2分）若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两相异实根都在（﹣1，3）内，则k的取值范围是（）A . k≥3或k≤0B . k＜﹣1C . k＞0D . （﹣1，0）8. （2分） (2018高二上·泸县期末) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A .B .C .D .9. （2分）已知，则tanx等于（）A .B .C .D .10. （2分）已知等差数列中，为其前n项和，若，则当取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或8二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·虎林模拟) 已知向量 =（1，2）， =（4，3），且⊥（t + ），则实数t=________．12. （1分） (2018高一下·苏州期末) 已知角的终边上的一点的坐标为，则________．13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，若则角A的值为________．14. （1分） (2017高二上·四川期中) 已知，则________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2019高一下·吉林月考) 已知等比数列满足，，设数列的前项和为，则的最大值是________.16. （1分） (2016高二下·吉林开学考) 设{an}是公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根，则a2007+a2008=________．17. （1分）(2018高一下·三明期末) 在中，角所对的边分别为，若，则最大角的余弦值为________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为．（1）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，bc=1，b+c=3，求a的值．19. （10分） (2016高二上·嘉定期中) 已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．20. （10分） (2017高二上·黑龙江月考) 等差数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足且，求数列的前项和 .21. （10分） (2018高一下·抚顺期末) 已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.22. （10分）(2020·南京模拟) 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“ 数列”.设数列中（1）若，且数列是“ 数列”，求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“ 数列”，并说明理由；（3）若数列是“ 数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（）A．﹣1 B．C．D．12．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（）A．0 B．C．D．5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（）A．B．C．D．9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C．D．10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．511．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是．14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C= ．15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则= ．16．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】9R：平面向量数量积的运算；93：向量的模．【分析】利用向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵，，∴， =5．又，∴3x+8=5，解得x=﹣1．故选A．2．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④【考点】BA：茎叶图．【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：极差是91﹣78=13①是错误的；众数是83，②是错误的；中位数是=84，∴③是正确的；=85，∴④是正确的．错误的是③④；故选D3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据子集的概念，交集的概念以及充要条件的概念，即可找出正确选项．【解答】解：若A⊆B，则A的元素都是集合B的元素，∴A∩B=A；∴A⊆B是A∩B=A的充分条件；若A∩B=A，则A的元素都是集合B的元素，∴A⊆B；∴A⊆B是A∩B=A的必要条件；∴A⊆B是A∩B=A成立的充要条件．故选：C．4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（）A．0 B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】程序运行的功能是求S=sin+sin+sin+…+sin的值，利用三角函数的周期性与诱导公式求得S的值．【解答】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=sin+sin+sin +…+sin的值，∵sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin﹣sin﹣sin﹣sin﹣sin=0，2020=8×251+6，∴S=251×0+sin+sin+sin+sin+sin+sin=．故选：B．5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P=．故选A．6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=sin y”的逆否命题为真命题【考点】2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．可得PD⊥BC，．由满足=k（+）（k∈R），可得，A，P，D三点共线，得到AB=AC．因此cos∠BAC=cos ∠DPC===．即可得出．【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．则PD⊥BC，，∵满足=k（+）（k∈R∴，∴A，P，D三点共线，∴AB=AC．∴cos∠BAC=cos∠DPC===．∴．∴，解得k=．故选：A．9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，从而进而求解；【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x≤y≤﹣x M=A∩B，可以画出可行域M：目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，z min=d2=（）2=，z在点B或D处取得最大值，z max=|0B|2=（）2+（）2=，∴≤z≤，故选A；10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5【考点】7F：基本不等式．【分析】已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D11．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点【考点】L%：三角形五心．【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB 的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∴=（+2）∵∴==∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选B．12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】7F：基本不等式．【分析】题目给出了两个和为常数2的正数a，b，我们可以借助于基本不等式及其变形式直接推导出其中①③⑤是正确的，②④可以通过举反例说明不正确．【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b=2，则（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，①正确；由，所以，，所以，，所以，②正确；由=（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，③正确；若a=b=1，满足a＞0，b＞0，a+b=2，但a3+b3=13+13=2＜3，所以，④不正确；因为，而，则，所以（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，⑤正确．所以，正确的是①②③⑤．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是存在x0∈R使≤0 ．【考点】2J：命题的否定；2H：全称命题．【分析】根据全称命题和特称命题、命题的否定的定义，求出命题的否定．【解答】解：根据“命题的否定”的定义，若命题，则它的否定为：存在x0∈R使≤0，或x02+x0+1=0，故答案为存在x0∈R使≤0．14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C= ．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C的正切值，得到C的值即可．【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），则S=（a2+b2﹣c2）．由余弦定理得cosC=，所以S=又由三角形的面积公式得S=，所以，所以tanC=．又C∈（0，π），所以C=．故答案为：．15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则= 10 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知中E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，我们可以以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系，分别求出向量，的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．【解答】解：以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系∵AB=3，AC=6，则A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，则E（2，2），F（1，4）则=（2，2），=（1，4）∴=10故答案为：1016．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为③④⑥①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，即可判断①；由向量共线的坐标表示和辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可判断②；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断③；由代入法，求得最值，即可判断④；可令α=390°，β=30°，求出正弦值，即可判断⑤；由两角和的正切公式，结合条件，即可判断⑥．【解答】解：对于①，由=（sinα，1），=（cosα，﹣1），⊥，可得•=sinαcosα﹣1=0，即sin2α=2，不成立，故①错；对于②，由=（2，2），=（sinα﹣1，﹣cosα），∥，可得2（﹣cosα）=2（sinα﹣1），即有sinα+cosα=，由sinα+cosα=sin（α+）≤，可得α不存在，故②错；对于③，函数=﹣cosx是偶函数，故③对；对于④，由sin（2×+）=sin=﹣1，为最小值，则x=的一条对称抽方程，故④对；对于⑤若α，β是第一象限的角且α＞β，可令α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，故⑤错；对于⑥，若α，β∈（，π），tanα＜，则tanα＜0，tanβ＜0，即为＜0，可得tanαtanβ﹣1＞0，tan（α+β）=＞0，由α，β∈（，π），可得π＜α+β＜2π，结合tan（α+β）＞0，可得π＜α+β＜π，故⑥对．故答案为：③④⑥．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．【考点】HR：余弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先由已知条件圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案．【解答】解：如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，．∵A+C=180°，∴sinA=sinC．∴=．由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，在△CDB中 BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，∴20﹣16cosA=52﹣48cosC∵cosC=﹣cosA，∴64cosA=﹣32，，∴A=120°，∴．故答案为．18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的频率0.08；再由频率、频数的关系频率=；可得总人数．（2）根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和（1）的结论；容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率．（3）由中位数的意义，作答即可．【解答】解：（1）第一组的频率为1﹣0.96=0.04，第二组的频率为0.12﹣0.04=0.08，故总人数为=150（人），即这次共抽调了150人；（2）第一组人数为150×0.04=6（人），第三、四组人数分别为51人、45人，这次测试的优秀率为×100%=24%；（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所以成绩为120次的学生至少有7人．19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）已知等式右边变形后，利用余弦定理化简，整理求出sinB的值，根据B为锐角，求出B的度数；（2）把sinB的值代入f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出值域，利用正弦函数的单调性求出f（x）的递减区间即可．【解答】解：（1）∵cosB=，即=，代入已知等式得：tanB=，即=，∴sinB=，∵△ABC是锐角三角形，∴B=；（2）把sinB=代入得：f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+cosx=2sin（x+），∵x∈[0，]，∴x+∈[，]，∴≤sin（x+）≤1，即1≤2sin（x+）≤2，∴f（x）的值域为[1，2]，∵+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，≤x≤，又0≤x≤，∴f（x）在x∈[0，]上的单调减区间为[，]．20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，可得频率为0.08，进而可得参数人数为50，计算50﹣（4+14+8+4）可得；（2）可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，列举可得总的基本事件共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有15个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，故频率为0.008×10=0.08，故参数人数为=50，∴分数在[70，80）之间的频数为50﹣（4+14+8+4）=20；（2）按分层抽样三个分数段的频数之比为5：2：1，可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，从中任选2人进行交流有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，a）（1，b）（1，A）（2，3）（2，4）（2，5）（2，a）（2，b）（2，A）（3，4）（3，5）（3，a）（3，b）（3，A）（4，5）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）（a，b）（a，A）（b，A）共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有（1，a）（1，b）（1，A）（2，a）（2，b）（2，A）（3，a）（3，b）（3，A）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）共15个，故交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率P=．21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两个向量垂直，利用向量积的运算和正弦定理求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用余弦定理求得ac，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）∵⊥，∴cosB•（2a+c）+cosC•b=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0，整理得cosB=﹣，∠B=，∵y=sin2A+sin2C=2sin（）cos（）=2sin（A+C）cos（A﹣C）=2sinBcos（A ﹣C）=cos（A﹣C），∵0＜∠A=﹣∠C＜，＞∠C＞0∴﹣＜﹣C＜∴＜cos（A﹣C）≤1∴＜y≤．Ⅱ）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=a2+c2+ac=（a+b）2﹣2ac+ac=16﹣ac，∴ac=3，∴S△ABC=acsinB=×3×=22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）将，利用平面向量基本定理化简成：﹣ 2+•，再结合向量的数量积公式即可得出不会随点P的变化而变化，值为1；（2）先结合图形利用平面向量基本定理将向量，分别用向量+， +表示，再利用题中条件化成1+2cosθ，最后结合三角函数的性质求的最大值．【解答】解：（1）由于=（﹣）•（﹣）﹣•（﹣），=﹣．=（﹣）•（﹣﹣）﹣•（﹣）=﹣2+•=﹣1+2×2×=1．所以=1，即不会随点P的变化而变化，值为1．（2）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×2×+•（﹣）﹣2=2﹣1+•=1+1×2cosθ（其中θ为，的夹角）所以θ=0时，取最大值3．。

东北育才学校2020学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知=-=⋅==b a b a x b a ρρρρρρ则且,10)4,(),2,1(（ ）A ．–10B ．10C ．5-D ．5 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为112,6n n S a -=⋅+则a 的值为 （ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．123．在ABC ∆中，3B π∠=，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6ac =，则b 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．64. .已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2212424n n S S a --+=，*n N ∈，则1n a +等于( )A ．125B ．168C ．202D ．2125. 若AB C ∆的三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 3sin 4sin 5==，则AB C ∆（ ） A .—定是锐角三角形 B .—定是直角三角形 C .—定是钝角三角形 D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，其公比1q ≠，若111111,,a b a b ==则（ ）A ．66a b > B ．66a b = C ．66a b < D ．D ．6666b a b a ><或7.如图所示，已知,,,,2c OC b OB a OA BC AB ρρρ====则下列等式中成立的是（ ）（A ）a b c ρρρ2123-=（B ）a b c ρρρ-=2 （C ）b a c ρρρ-=2（D ）b a c ρρρ2123-=8．在等差数列{}n a 中，1479112()3()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S 为( )A ．13B ．26C ．52D ．1569.如图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．. i<＝100B ．i>100C ．i>50D ．i<＝5010．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是（ ）12a A ）（55a B 2）（ 66a C 2）（ 99a D 2）（ 12. 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ） (A).(B).(C). 3 (D).二、填空题: （每小题5分，共20分）13．若向量a v 与b v 满足：||2,||2,||2a b a b ==+=v v v v ，则a v 与b v的夹角弧度数为________14. 等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若21214n n S n T n ++=+，则36b a ________ .15.设F E ,分别是ABC Rt ∆的斜边BC 上的两个三等分点，已知6,3==AC AB ,则AE AF ⋅=u u u r u u u r________ .16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，数列{}n b ，63-=n b n若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，则实数k 的取值范围是三．解答题（共六道题，满分70分） 17．（本小题满分10分）已知(,1),(sin ,cos ),()a m b x x f x a b ===⋅r r r r 且满足() 1.2f π=（1）求函数()y f x =的解析式及最小正周期； （2）在锐角三角形ABC 中，若()2sin ,12f A π=且AB=2，AC=3，求BC 的长。

辽宁省沈阳市东北育才学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 的值是（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知向量，，若与的夹角为，则（）A．2B．C．D．1(★) 3. △ ABC的内角、、的对边分别为、、,若, , ,则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．(★) 5. 把函数的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为点，则有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1(★★★) 7. 已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（）A．B．10C．D．8(★★) 8. 在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（）A．B．C．D．(★★★★★) 10. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 11. 函数 f（ x）＝ cos（2 x ）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x(★★★) 12. 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若，则△ ABC 不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形三、填空题(★★★) 13. 设向量，，若，则实数= ___________ . (★★★) 14. _____(★★★★)15. △ ABC的外接圆的圆心为 O， AB＝2， AC ， BC＝3，则• 的值为_____.四、双空题(★★★) 16. 已知函数的部分图象如图所示，则_______ ， _________ ．五、解答题(★★★) 17. 已知．（1）求的值；（2）求的值．(★★) 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求；（2）若与共线，求的值.(★★★) 19. 已知，，，，（1）求的值；（2）求的值.(★★★) 20. 设的内角的对边分别为,且.（1）求角的大小;（2）若,求的周长.(★★★) 21. 已知函数.（1）求的值；（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.。

辽宁省2020版高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高一下·长春期中) 在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝1，∠A＝60°，则∠B＝（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 90°2. （2分）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A . 6B . -6C . 5D . -43. （2分） (2019高二下·桂林期中) “ “是“ ”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知复数,则的实部为（）A . lB . 2C . -2D . -15. （2分） (2020高三上·浙江月考) 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知向量= (－3 ,2 ) , =(x,－4) , 若，则x=（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分） (2019高三上·金华期末) 已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A .B . 4C .D .8. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A . 4B . 2C . 2D .9. （2分）(2018·衡水模拟) 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A .B .C .D .10. （2分）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A . [﹣1，0]B . [﹣1，2]C . [﹣1，3]D . [﹣1，4]二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高二下·上海月考) 设，则 ________．12. （1分）(2019·天津模拟) 已知为虚数单位，复数，则等于________；13. （1分） (2017高一上·龙海期末) 设向量 =（1，cosθ）与 =（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于________．14. （1分）如图，在锐角△ABC中，= ，P是线段BN（不含端点）上的一点，若 =m+n ，则 + 的最小值为________．15. （1分） (2018高二上·湖南月考) 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C 成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为________．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2018·长宁模拟) 已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上的对应点分别为，，，求△ 的面积．17. （10分）(2018高三上·赣州期中) 在中，分别为角的对边, 已知（1）求值；（2）若 ,且的面积为，试求边长的长.18. （15分） (2019高一下·桂林期中) 已知单位向量，设与的夹角为，且．（1）求；（2）求．19. （5分）若非零向量与为共线向量，如何画出3+？20. （5分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．21. （5分） (2017高二下·杭州期末) 设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP= ，∠AOQ=α，α∈[0， ]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=sinα•（• ），求f（α）的值域．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。