宜昌市部分省级示范高中2024秋季学期高二年级期中考试数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填涂到答题卡指定位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡与本题对应范围内．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数(2i)43i z -=+，则z 的共轭复数是（）A.12i + B.12i -+ C.12i - D.12i--【答案】C 【解析】【分析】由复数的四则运算及共轭复数的概念即可求解.【详解】由(2i)43i z -=+，可得：()43i (2i)510i 12i (2i)(2i)5z +++===+-+，所以z 的共轭复数是12i -.故选：C.2.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题正确的是（）A.若m α ，n α∥，则m n ∥B.若m α ，m n 丄，则n α⊥C.若m α⊥，n α⊥，则m n ∥D.若m α⊥，m n ⊥，则n α∥【答案】C 【解析】【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.【详解】因为m α ，n α∥，则m n ∥或,m n 相交或,m n 异面，故A 错误；由m α ，m n 丄，则n 与α的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B 错误；若m α⊥，n α⊥，则m n ∥，故C 正确；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故D 错误.故选：C.3.“3a =”是“直线()1:1210l a x y -++=与直线2:310l x ay +-=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当3a =时，1:2210l x y ++=，2:3310l x y +-=，显然12l l k k =，两直线平行，满足充分条件；当()1:1210l a x y -++=与直线2:310l x ay +-=平行时，12l l k k =，则132a a--=-∴3a =或2a =-，当3a =时显然成立，当2a =-时，1:3210l x y -++=，2:3210l x y --=，整理后1:3210l x y --=与2:3210l x y --=重合，故舍去，∴3a =，满足必要条件；∴“3a =”是“直线()1:1210l a x y -++=与直线2:310l x ay +-=平行”的充要条件故选：C4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生15~之间的随机数，当出现1、2、3时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（）A.0.35B.0.55C.0.6D.0.65【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为130.6520=.故选：D5.已知点D 在ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则12x y+的最小值为（）A.52B.92C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量共面定理的推论可得22x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】由题意知，,,,A B C D 四点共面，又23DO xOA yOB OC =+-，则23OD xOA yOB OC =--+，所以231x y --+=，即22x y +=，因为0,0x y >>，所以()121121222522x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当22x y y x =，即23x y ==时等号成立，所以12x y +的最小值为92.故选：B.6.已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为为，则球O 的表面积为（）A.10πB.25πC.100πD.125π【答案】B 【解析】【分析】先判断球心在三棱锥的高线SH 上，由正弦定理求得CH ，求得SH ，借助于Rt OHC 列方程，求出外接球半径即得.【详解】如图，设点S 在底面的射影为点H ，因底面边长均为，故球心O 在SH 上，连接CH ，设球O 的半径为R ，则SO OC R ==，由正弦定理232sin 60CH =，解得2CH =，在Rt SHC △中，4SH =，则|4|OH R =-，在Rt OHC 中，由22|4|4R R -+=，解得52R =，则球O 的表面积为2254π4π(25π2S R ==⨯=.故选：B.7.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3)cos cos 0a b C c B ++=，且2222c a b --=，则ABC V 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简(3)cos cos 0a b C c B ++=可得1cos 3=-C ，进而结合余弦定理可得3ab =，进而结合面积公式即可求解.【详解】由(3)cos cos 0a b C c B ++=，根据正弦定理得，(3sin sin )cos sin cos 0A B C C B ++=，即3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，即()3sin cos sin 0++=A C B C ，即3sin cos sin 0A C A +=，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，所以3cos 10C +=，即1cos 3=-C ，所以2221cos 23a b c C ab +-==-，又2222c a b --=，则211cos 23C ab ab -==-=-，即3ab =，又sin 3C ===，所以ABC V 的面积为11sin 3223ab C =⨯⨯=故选：A.8.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的焦距为2c ，若直线()380kx y k c -++=恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，则椭圆Γ的离心率范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点8,3c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，整理不等式283b c a <可得离心率103e <<.【详解】将直线()380kx y k c -++=整理可得()380k x c y c +-+=，易知该直线恒过定点8,3c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线()380kx y k c -++=恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，可知点8,3c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部；易知椭圆上的点当其横坐标为c -时，纵坐标为2b a ±，即可得283bc a<，整理可得223830c ac a +-<，即23830e e +-<，解得103e <<.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9.下面四个结论不正确的是（）A.已知()1,1,a x = ，()3,,9b x =- ，若310x <，则a b和的夹角为钝角B.已知()2,0,1a =- ，()3,2,5b =- ，则b 在a 上的投影向量是21,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.若直线c 0ax by ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <D.设{},,a b c 是空间向量的一组基底，则{},,a b b c a c -++也是空间向量的一组基底【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，C ，利用反例来判断；对于B ，根据投影向量的定义计算即可；对于D ，证明a b b c a c-++ ，，共面，即可判断.【详解】对于A ，当3x =-时，()1,1,3a =- ，()3,3,9b =-- ，3a b =- ，此时a b 和的夹角为π，故A错误；对于B ，向量b 在向量a上的投影向量为()121cos ,2,0,1,0,555a a b a b a b a aa -⋅⎛⎫⋅=⋅==-=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，令1a =，1b =-，0c =，则直线0ax by c ++=为0x y -=，此时直线经过第三象限，但00ab bc <=，，故C 错误；对于D ，若()()a c ab bc λμ+=-++ ，则1λμ==，所以a b b c a c -++ ，，共面，故不能作为基底，故D 错误.故选：ACD.10.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为21s ，平均数为1x ;去掉的两个数据的方差为22s ，平均数为2x ﹔原样本数据的方差为2s ，平均数为x ，若x =2x ，则下列说法正确的是（）A.x 1x =B.222121514s s s =+C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；对于B 选项，写出21s 和22s 的表达式即可；对于C 选项，根据中位数定义判断即可；对于D 选项，根据分位数定义判断即可.【详解】A.剩下的28个样本数据的和为128x ，去掉的两个数据和为22x ，原样本数据和为30x ，所以1228230x x x +=，因为x =2x ，所以x 1x =，故A 选项正确；B.设1232930x x x x x <<<<< ，2222121312911[()()()]28s x x x x x x =-+-++- ，因为12x x x ==，所以2222113011[(()]2s x x x x =-+-，所以()()()()()222222221211213129130128230s s x x x x x x x x x x s ⎡⎤+=-+-+-++-+-=⎢⎥⎣⎦，所以222121514s s s =+，故B 选项正确；C.剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C 选项错误；D.3022% 6.6⨯=，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个；2822% 6.16⨯=，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个；因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D 正确.故选：ABD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,MN 为正方体1111ABCD A B C D -内切球O 的直径，点P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，则下列说法正确的是（）A.当P 为BC 中点时，1AB 与DP 所成角余弦值为5B.当P ∈面1114,3P ACD BCC B V -=时，点P 的轨迹长度为C.PM PN ⋅的取值范围为[]0,2D.AM 与1AC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量即可得A 正确，利用线面平行性质以及椎体体积公式计算可得点P 的轨迹即是线段1BC ，可得B 正确，利用极化恒等式计算可得C 正确，由点M 的位置关系可知D 错误.【详解】根据题意，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，对于A，如下图所示：易知()()()()12,0,0,2,2,2,0,0,0,1,2,0A B D P ，则()()10,2,2,1,2,0AB DP ==,可得111cos ,5AB DP AB DP AB DP ⋅==，即当P 为BC 中点时，1AB 与DP所成角余弦值为5，可得A 正确；对于B ，易知1ACD △是边长为(24S =⨯=，由三棱锥1P ACD -的体积为143P ACD V -=，可得点P 到平面1ACD的距离为33V h S ==，即点P 在与平面1ACD 平行且距离为233的平面内，连接1111,,A B BC A C ，如下图所示：由正方体性质可得平面1//ACD 平面11A BC ，且两平面间的距离等于33，所以点P ∈平面11A BC ，又P ∈面11BCC B ，平面11A BC 平面111BCC B BC =，即可得点P 的轨迹即是线段1BC ，因此点P 的轨迹长度为2，即可得B 正确；对于C ，依题意可知O 即为正方体的中心，如下图所示：()()2PM PN PO OM PO ON PO PO OM PO ON OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()22POPO OM ON OM =+⋅+- ，又因为MN 为球O 的直径，所以0,1OM ON OM ON +===，即可得()2221PM PN PO PO OM ON OM PO ⋅=+⋅+-=- ，又易知当点P 为正方体与球O 的切点时，PO 最小；当点P 为正方体的顶点时，PO最大；即3PO ⎡∈⎣ ，因此可得PM PN ⋅的取值范围为[]0,2，即C 正确；对于D ，易知1AC 的中点即为球心O ，如下图所示：当AM 与球相切时，AM 与1AC所成的角最大，此时111sin sin 3CC MAO CAC AC ∠=∠===，显然π3MAO ∠<，结合两直线所成角的范围可知AM 与1AC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦错误，即D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a b ，满足35a b a == ,,与b 的夹角为60o，则a b -= _______.【答案】【解析】【分析】根据模长公式即可求解.【详解】115cos 603522a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯= ，()22229251519a b a b a b ∴-=+-⋅=+-=，a b ∴-=，13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是________立方米．【答案】84π【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算．【详解】由已知圆台的上底半径为3r =米，下底半径为6R =米，母线长为5l =米，所以高为4h ==（米），体积为221π(3366)484π3V =⨯+⨯+⨯=（立方米）．故答案为：84π．14.已知()2,0A -，()2,0B ，若圆22(1)(32)4x a y a --+-+=上存在点P 满足5PA PB ⋅=，则a 的取值范围是______________【答案】[]1,2-【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点P 的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于a 的不等式，解之即可得解.【详解】设点(,)P x y ，则(2,)PA x y =--- ，(2,)PB x y =-- ，所以2(2)(2)5PA PB x x y ⋅=---+= ，则229x y +=，所以点P 的轨迹方程为229x y +=，圆心为(0,0)，半径为3，由此可知圆22(1)(32)4x a y a --+-+=与229x y +=有公共点，又圆22(1)(32)4x a y a --+-+=的圆心为(1,32)a a +-，半径为2，所以15≤≤，解得12a -≤≤，即a 的取值范围是[]1,2-.故答案为：[]1,2-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知三点()()()3,4,3,2,1,0A B C -.（1）若直线1l 过点()1,0C 且与直线BC 垂直，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点A ，且在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍，求直线2l 的方程.【答案】（1）330x y --=（2）340y x +=或250x y +-=【解析】【分析】（1）先求得直线A 的斜率，再根据两直线垂直斜率关系结合点斜式求解即可；（2）分析当截距均为0时的情况，再设直线2l 方程为12x y b b +=，根据直线2l 经过点A 求解即可.【小问1详解】由()()3,4,3,2A B -可得直线A 的斜率为421333AB k -==---，因1l AB ⊥为，故直线1l 的斜率为3，则直线1l 的方程为()031y x -=-，即330.x y --=【小问2详解】当截距均为0时，直线2l 方程为340y x +=，符合题意，当截距不为0时，不妨设直线2l 方程为12x y b b +=，又直线2l 经过点A ，故3412b b -+=，即52b =，所以直线2l 方程为250x y +-=，综上，所求直线2l 方程为340y x +=或250x y +-=.16.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，34，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）25（2）223300【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式求解；（2）先求出两人中至少有一人赢得比赛的对立事件甲、乙两人都未赢得比赛的概率，再去求甲、乙两人至少有一人赢得比赛的概率.【小问1详解】设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()223P A =，()135P B =，()234P B =，所以()151P A =，()231P A =，设C =“甲在比赛中恰好赢一轮”则()()()1212P C P A A P A A =+()()()()12124112625353155P A P A P A P A =+=⨯+⨯==.【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则12A A =“甲赢得比赛”，12B B =“乙赢得比赛”,所以()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=，()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=,设D =“甲赢得比赛”，E =“乙赢得比赛”.于是D E =“两人中至少有一人赢得比赛”，由()()12815P D P A A ==，()()12920P E P B B ==,所以()()87111515P D P D =-=-=，()()911112020P E P E =-=-=，所以()()1P D E P DE =- ()()711223111520300P D P E =-=-⨯=.17.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中()()2,0,1,0A B -且2PA PB =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 在（1）的轨迹上运动，点M 为AP 的中点，求点M 的轨迹方程;（3）若点(),P x y 在（1）的轨迹上运动，求46y t x +=-的取值范围.【答案】（1）2240x x y -+=；（2）221x y +=；（3）4747,33⎡--⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）设出(),P x y ，由题意列出方程，化简得到点P 的轨迹方程；（2）利用相关点法求解点M 的轨迹方程；（3）46y t x +=-表示的几何意义为圆心为()2,0，半径为2的圆上的点与()6,4-连线的斜率，画出图形，数形结合求出最值，从而求出取值范围.【小问1详解】设(),P x y =化简得：2240x x y -+=，故点P 的轨迹方程为2240x x y -+=；【小问2详解】设(),M a b ，因为点M 为AP 的中点，所以点P 的坐标为()22,2a b +，将()22,2P a b +代入2240x x y -+=中，得到221a b +=，所以点M 的轨迹方程为221x y +=；【小问3详解】因为点(),P x y 在（1）的轨迹上运动，所以2240x x y -+=，变形为()2224x y -+=，即点(),P x y 为圆心为()2,0，半径为2的圆上的点，则46y t x +=-表示的几何意义为圆上一点与()6,4-连线的斜率，如图：当过()6,4-的直线与圆相切时，取得最值，设()46y k x +=-，2=，解得：43k -+=或43k -=·，故46y t x +=-的取值范围是44,33⎡---+⎢⎣⎦.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,,//ABCD AB AD AD ⊥BC ，3,2PA BC AB AD ====，PB E =为PD 中点，点F 在PC 上，且3PC FC =.（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求二面角F AE D --的余弦值；（3）线段AC 上是否存在点Q ，使得//DQ 平面FAE ？说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）32222（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意和勾股定理可得AB PA ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得AD PA ⊥，进而建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法即可求出该面面角；（3）假设存在这样的点Q ，则存在[]0,1λ∈使得AQ AC λ= .利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于λ的方程，解得[]20,1λ=∉，即可下结论.【小问1详解】在PAB 中，22222232(13).PA AB PB +=+==所以90PAB ∠= ，即AB PA ⊥.又因为AB AD ⊥，在平面PAD 中，PA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD .【小问2详解】因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,,ABCD AB AB AD AD =⊥⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，由PA ⊂平面PAB ，得AD PA⊥.由（2）知AB PA ⊥，且已知AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()2,0,0D ，()()0,0,3,3,2,0P C.所以()()()()0,0,3,2,0,0,3,2,0,3,2,3AP AD AC CP ====-- 因为E 为PD 中点，所以()131,0,22AE AP AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ .由3PC FC =知，()1243,2,01,,12,,1333AF AC CF AC CP ⎛⎫⎛⎫=+=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r，则0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3024203x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩令2z =，则3,3x y =-=.于是()3,3,2n =-.由（1）知AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量为()0,2,0AB = .所以322cos ,22n AB n AB n AB⋅== ，由题知，二面角F AE D --为锐角，所以其余弦值为22；【小问3详解】设Q 是线段AC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得AQ AC λ=.因为()()3,2,0,2,0,0AC DA ==- ，所以()32,2,0DQ DA AQ DA AC λλλ=+=+=- .因为DQ ⊄平面AEF ，所以DQ //平面AEF ，当且仅当0DQ n ⋅=，即()()32,2,03,3,20λλ-⋅-=.即()()32323020λλ-⨯-+⨯+⨯=.解得2λ=.因为[]20,1λ=∉，所以线段AC 上不存在Q 使得DQ //平面AEF .19.已知四个点()(1234331,1,,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恰有三个点在椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 上.（1）判断哪个点不在椭圆C 上，并求出椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别是A 、B ，点P 是直线4x =上一点，直线PA 、PB 与椭圆C 的另一个交点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）1P 不在椭圆上，22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得34,P P 必在椭圆C 上，()11,1P 不在椭圆上，代入即得解；（2）方法一，设直线MN ：x my n =+，M (11x y ，)，N (22x y ，)，P (04y ，)，利用P 、M 、A 和P 、B 、N三点共线得()()2112232y x y x +=-，联立22143x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元结合韦达定理的得122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -=+代入上式求解即可；方法二，讨论直线PA ，PB 斜率与零的关系，然后分别设直线PA ，PB 方程，分别与椭圆方程联立，求出M 、N 的坐标，进而求出直线MN 的方程式，求出定点即可，【小问1详解】因为34P P 和关于y 轴对称，必定均在椭圆上，代入得：221914a b +=.若点()11,1P 在椭圆上，则22111a b +=，与上式矛盾.所以1P 不在椭圆上.由22221914031a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】方法一：设直线MN ：x my n =+，M (11x y ，)，N (22x y ，)，P (04y ，).由题意得：()()011422y y x =----①，022422y y x =--②，由①②得：()()2112232y x y x +=-，又1122x my n x my n =+=+，，代入上式得：()()122121232my y n y my y n y ++=+-③把22143x y x my n⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立消元得：()223412my n y ++=，即()222346312m y mny n +++-=0，所以122634mny y m -+=+，212231234n y y m -=+，由③得：()()1221212332my y n y my y n y ++=+-，即()()()121212241n y y my y n y ++=+-，将122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -=+，代入上式得：()()21212241034m n n n y m +-+-=+，即()()1212214034m n n y m ⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦，则1n =，故直线MN 恒过定点()1,0，方法二：当直线PA ，PB 斜率不为0时，设直线PA ：2x my =-，直线PB ：2x ny =+令4x =得：62P y m n==，即3m n =.将PA ：2x my =-代入22143x y +=得：()22324120my y -+-=，即()2234120m y my +-=，则21234M m y m =+，所以22221268223434M M m m x my m m -=-=-=++，即22268123434m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，又3m n =，则有22254836274274n n M n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将PB ：2x ny =+代入22143x y +=得：()22324120ny y ++-=，即()2234120n y ny ++=，则21234N n y n -=+，所以22221268223434N N n n x ny n n --+=+=+=++，即22268123434n n N n n ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，.于是，34108488116M N MN M N y y n n k x x n -+==--，而直线MN ：()N MN N y y k x x -=-，令0y =得:4222232221281166894681341084834343n 4N N MN y n n n n n x x k n n n n ---+--+=+=⨯+==+++++.又当直线PA ，PB 斜率为0时，MN 也过点()1,0.故直线MN 过定点()1,0.。
