【附20套高考模拟试题】2020届湖北省宜昌金东方高级中学高考数学模拟试卷含答案

湖北2020届高三高考模拟考试试题理科数学（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ）A.i -1B.i +1C.i --1D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x xA -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.87 6．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin)(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(πB.]3,0(πC.]2,6[ππD.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C.5D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==b a ，则向量在向量方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

湖北加油，利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射B A f →:，使集合B 中的元素在A 中都有原象，这样的映射个数共有（ ）A ．16B ．14C ．15D ．122．曲线23-+=x x y 的一条切线平行于直线y=4x －1，则切点P 0的坐标为 （ ）A ．（0，－2）或（1，0）B ．（1，0）或（－1，－4）C ．（－1，－4）或（0，－2）D ．（1，0）或（2，8）3．已知函数)1(,121)(12005-+-=f xxx f 那么的值等于（ ）A ．2212005-B ．2212005+ C ．0 D ．－24．已知相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内，若p ：l 、m 中至少有一条与β相交；q ：α与β相交，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件5．若奇数=+=+=∈)5(),2()()2(,1)2())((f f x f x f f R x x f 则满足 （ ）A ．0B ．1C ．25D ．56．一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台），若小棱锥的体积为y ，棱台的体积为x ，则y 关于x 的函数图象大致形状为（ ）7．若9)141414(lim 1=-++-+--∞→aa a a a n n Λ，则实数a 等于（ ）A ．35B ．31C ．－35D ．－318．已知)1lg(),21lg(sin ,3lg y x --顺次成等差数列，则（ ）A ．y 有最小值1211，无最大值 B ．y 有最大值1，无最小值C ．y 有最小值1211，最大值1 D ．y 有最小值－1，最大值19．已知,3||,22||==q p p 、q 夹角为,4π如图所示，若q p AB 25+=，q p AC 3-=，且D 为BC 中 点，则AD 的长度为（ ）A ．215B ．215 C ．7 D ．810．用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有（ ）A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种11．若对于任意的],[b a x ∈，函数101|)()()(|)(),(≤-x f x g x f x g x f 满足，则称在[a ，b]上)(x g 可以替代)(x f .若x x f =)(，则下列函数中可以在[4，16]替代)(x f 是（ ）A ．2-xB ．4xC ．56+x D ．62-x12．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用黑色签字笔直接答在试题上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.） 13．若=+++∈∈++++=-20050212005200522102005*),,()1(a a a N n x x a x a x a a nx ΛΛ则R.14．二次函数)(2R ∈++=x c bx ax y 的部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解是 .15．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买卡才合算. 16．设有四个条件：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等； ②过点22200),(r y x y x =+与圆相切的直线方程是;200r y y x x =+③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离.其中正确命题的标号是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．（本小题满分12分）若一个箱内装有分别标有号码1，2，…，50的50个小球，从中任意取出两个球把其上的号码相加，计算：（1）其和能被3整除的概率；（2）其和不能被3整除的概率.18．（本小题满分12分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ，最小正周期为T.（1）求M 、T ；（2）若有10个互不相等的正数,)(M x f x i i =满足且)10,,2,1(10Λ=<i x i π，求： 1021x x x +++Λ的值.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点.（1）求证：EF⊥面BCD；（2）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现在一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的枕木，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？21．（本小题满分12分）已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6.（1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）若321=⋅PF PF ，求△PF 1F 2的面积（3）若已知D （0，3），M 、N 在C 上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围.22．（本小题满分14分）已知)(x f 在（－1，1）上有定义，)21(f =1，且满足),1()()()1,1(,xyy x f y f x f y x --=--∈有对数列.12,21211nnn x x x x +==+ （1）证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数； （2）求)(n x f 的表达式； （3）是否存在自然数m ，使得对于任意48)(1)(1)(1*,21-<+++∈m x f x f x f N n n Λ且成立？若存在，求出m 的最小值. 参考答案1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.B8.A9.A 10.C 11.C 12.B13．1)1(2005--n 14．}2,3|{-<>x x x 或 15．神州行 16．④17．解：因为基本事件总数250C n =，从1到50中能被3整除的数有3，6，9等16个数，被3除余1的数有17个，被3除余2的数有17个，按题意：（1）.12254092501171172161=⋅+=C C C C P …………7分 （2）.1225816112=-=P P …………12分 18．解：)62sin(22cos 2sin 3cos sin 322cos )(π+=+=+=x x x x x x x f (2)分（1）M=2，ππ==22T …………6分 （2）∵2)62sin(2,2)(=+=πi i x x f 即∴)(6,2262Z k k x k x i i ∈+=+=+πππππ…………9分又9,,2,1,0,100Λ=∴<<k x i π ∴πππ3140610)921(1021=⨯++++=+++ΛΛx x x …………12分 19．（1）证明：取BC 中点G ，连FG 、AG.∵AE ⊥面ABC ，BD//AE ， ∴BD ⊥面ABC ， 又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ，又AC=AB ， G 是BC 中点，∴AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD ， ∵F 是CD 的中点且BD=2，∴FG//BD 且FG=21BD=1，∴FG//AE. ……2分 又AE=1，∴AE=FG ，故四边形AEFG 是平行四边形， 从而EF//AG ， ∴EF ⊥面BCD. …………6分（2）解：取AB 的中点H ，则H 为C 在面ABDE 上的射影.过C作CK ⊥DE 于K ，连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ， ∴∠HKC 为二面角C —DE —B 的平面角. …………8分 易知,22,5,5===CD DE EC 由,5213)22(21CK S DCE ⨯⨯=⨯⨯=∆ 可得CK=,3052在CHK Rt ∆中，.46cos ,410sin =∠==∠HKC CK CH HKC 故 ∴面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值为46. …………12分20．解：（1）安全负荷k lad k y (221⋅=为正常数），翻转90°后，222lda k y ⋅=. ∵ady y =21， ∴当a d <<0时，y 1<y 2，安全负荷变大；当12,0y y d a <<<时，安全负荷变小；当21,y y d a ==时，安全负荷不变. …………5分（2）设截取的宽为a ，高为d ，则.44,)2(222222R d a R d a =+=+即 ∵枕木长度不变， ∴2ad u =最大时，安全负荷最大.2222244d R d a d u -== 令)(46242d R d u -==υ则)32(8)64(4233523d R d d R d -=-='υ 令0(36,0>=='d R d 则υ，舍去负）即取R d 36=，取R d R a 332222=-=时，u 最大，即安全负荷最大. ………………12分 21．解：（1）已知C 为椭圆，其中5,3==c a ，∴b=2，∴C的方程为.14922=+y x …………3分（2）由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠⋅⋅-+=+=∠⋅⋅.20||cos ||||2||||,6||||,3cos ||||22121212221212121F F PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF PF ∴,53cos ,5||||2121=∠⋅=⋅PF F PF PF∴.254521sin ||||21212121=⨯⨯=∠⋅⋅⋅=∆PF F PF PF S FPF ……7分（3）设N （s ，t ），),(y x M ，则由||DN DM λ=，可得),3(3,),3,()3,(-+==-=-t y s x t s y x λλλ故 ∴M 、N 在动点P 的轨迹上，故,14)33(9)(1492222=-++=+t t s t sλλ且 消去s 可得2||,6513,14)33(2222≤-=-=--+t t t t 又解得λλλλλλ∴,551,2|6513|≤≤≤-λλλ解得故实数λ的取值范围是]5,51[. ………………12分22．解：（1）当x =y=0时，)0(=f ；令x =0，得0)()()()()0(=-+-=-y f y f y f y f f 即∴对任意的0)()(),1,1(=-+-∈x f x f x故)(x f 在（－1，1）上为奇函数. …………3分 （2）∵}{n x 满足.12,21211nnn x x x x +==+ ∴.10<<n x ∵),12(])(1)([)()(2nnn n n n n n x x f x x x x f x f x f +=----=--)(x f 在（－1，1）上为奇函数. ∴)(2)(1n n x f x f =+；由1112),1)(,21,1)21(-==∴==n n x f x f x f （从而 ……8分（3）112212122112112121211)(1)(1)(1---=--=++++=+++n n n n x f x f x f ΛΛ假设存在自然数m ，使得对于任意48)(1)(1)(1*,21-<+++∈m x f x f x f N n n Λ有成立. 即482121-<--m n 恒成立. ∴248≥-m 解得16≥m . ∴存在自然数16≥m ，使得对于任意48)(1)(1)(1*,21-<+++∈m x f x f x f N n n Λ有成立. 此时，m 的最小值为16. …………14分。

2020年湖北省宜昌市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，则A∩B=()A. (−∞,1)B. (−2,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞)2.若复数z满足(1+2i)z=(1−i)，则|z|=()A. 25B. 35C. √105D. √103.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a4.执行如图所示的程序框图，输出的T为()A. 0B. 1C. √3D. 1+√35.设函数f(x)=√22sin2x+√22cos2x，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为2πB. f(x)的图形关于直线x=π8对称C. f(x)的一个零点为x=−π8D. f(x)在区间(0,π4)上单调递减6.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=4，a6=14，则S6=()A. −634B. 634C. ±634D. 6387.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A. 35B. 34C. 12D. 3108.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”则重()A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤9.如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为()A. 64B. 72C. 84D. 9610.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是()A. (√5−2):√5B. 2:√5C. √5:(1+√5)D. 1:2√511.某几何体的三视图如图所示，图中三角形均是边长为2的正三角形，几何体表面上的点M对应正视图中的点A，几何体表面上的点N对应侧视图中的点B，则几何体中线段MN的长度为A. 1B. 2C. √2D. 2√212.设函数f(x)=lnxx，若关于x的不等式f(x)>ax有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为()A. (ln39,ln24] B. [ln39,ln24) C. (ln24,12e] D. [ln24,12e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ 则x=______．14.已知数据x，y的取值如表：x12345y13.2m14.215.416.4从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线ŷ=0.8x+â上，则m的取值为______ ．15.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB且AB=7，AD=3，CD=4，DE=3，若沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，则四棱锥D−ABCE的外接球的体积为______ ．16.已知双曲线x2−y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直3线PF1的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2B=A+C，a+√2b=2c，求sin C．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．20.为了调查民众对“新农村建设”政策的态度，现随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=xln x．(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)=f(x)−a(x−1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)解不等式f(x)−f(2x+4)<2；(2)若f(x)+f(x+3)≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题． 根据题意，求出集合A 、B ，由交集的定义计算可得答案． 解：根据题意，A ={x|x 2−5x +6>0}={x|x >3或x <2}， B ={x|x −1<0}={x|x <1}， 则A ∩B ={x|x <1}=(−∞,1)； 故选A ．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属基础题． 解：由已知得z =1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i 5=−15−35i ，所以|z |=√(−15)2+(−35)2=√105．故选C ．3.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．4.答案：B解析：本题考查了利用程序框图计算三角函数值求和的应用问题，是基础题．由题意知该程序的功能是计算并输出T=1+tanπ3+tan2π3+tan3π3+⋯+tan2018π3的值，根据正切函数的周期性以及特殊角的三角函数值即可求出T的值．解：根据题目中程序框图的运行情况知，该程序的功能是计算并输出T=1+tanπ3+tan2π3+tan3π3+⋯+tan2018π3，T=1+√3−√3+0+⋯+(−√3)=1．故选：B．5.答案：D解析：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：原函数，A.函数的最小正周期为T=2πω=π，f(x)的一个周期为2π，故A正确，B.当时，是最值，所以f(x)的图形关于直线x= π 8对称，故B正确，C.当时，，则f(x)的一个零点为x=− π 8，故C正确，D.当时，，此时函数f(x)不是单调函数，故D不正确．故选D．6.答案：B解析：本题考查等比数列的求和公式，等比数列的通项公式，先由q4=a6a2=116解得q，再求得a1=a2q=8，运用等比数列的求和公式可得S6.解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a2=4，a6=14，所以q4=a6a2=116，即q2=14.因为a n>0，所以q =12.于是a 1=a 2q=8，所以S 6=a 1(1−q 6)1−q=8×(1−126)1−12=634．故选B ．7.答案：C解析：解：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”， 依题意知P(A)=35， P(AB)=35×24=310，∴在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)=31035=12．故选C在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，需要做出第一次取到白球的概率和两次都取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．8.答案：D解析：本题考查了数列的应用，等差数列中项的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由每一尺的重量构成等差数列{a n }，a 1=4，a 5=2，由性质可得2a 3=a 1+a 5=6，解得a 3，又a 2+a 3+a 4=3a 3，即可求出结果．解：由题意，将每一尺的重量构成等差数列{a n }，且a 1=4，a 5=2， ∴2a 3=a 1+a 5=6，即a 3=3， ∴a 2+a 3+a 4=3a 3=9， 即中间三尺共重9斤． 故选D ．9.答案：B解析：本题考查了两个计数原理的实际应用，区域涂色问题注意分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色与A、C同色两大类．解：分两种情况：(1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4×3×2=24种；(2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B、D各有2种，有4×3×2×2=48种．共有24+48=72种，故选：B．10.答案：C解析：本题考查抛物线方程及抛物线的性质，关键是直线斜率及线段之间关系的综合应用，属较难题．先求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−2.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，Rt△MPN中，根据tan∠NMP=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=(√5+1)|PM|，则可得到结果.解：∵抛物线C：y2=4x，∴焦点为F:(1,0)，∵点A:(0,2)，∴抛物线的准线l 方程为：x=1，∴直线AF的斜率为k=−2，过M作MP⊥l，垂足为P，∴|FM|=|PM|，∵RtΔMNP中，tan∠NMP=|k|=2，∴|PN|=2，|PM|∴可得|PN|=2|PM|，∴得|MN|√|PN|2+|PM|2=√5|PM|，∵|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=(√5+1)|PM|，∴|MN|：|FN|=√5:(1+√5)．故选C．11.答案：C解析：本题考查由三视图还原几何体，是基础题．三视图还原的几何体是圆锥，根据所给的数据直接计算即可．三视图还原几何体是圆锥，M、N位置如图：底面半径是1，∴OM=1，ON=1，且OM⊥ON∴MN=√2，故选C．12.答案：B解析：本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题．根据不等式f(x)>ax.分离参数，数形结合即可求解．只有一个整数解，解：∵f(x)>ax只有一个整数解，即a<lnxx2令g(x)=lnx，则g(x)的图象在直线y=a的上方只有一个整数解．x2作出g(x)的图象，由图象可知a的取值范围为g(3)≤a<g(2)即ln39≤a<ln24，故选：B．13.答案：2解析：解：向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ ，则2(x−5)+3x=0，解得x=2，故答案为：2．根据两个向量垂直的坐标表示建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两个向量互相垂直，求参数x的值．着重考查了向量垂直的坐标表示的知识，属于基础题．14.答案：13.8解析：本题考查数据的回归直线方程，属于基础题.第四组数据在回归直线y^=0.8x+a^上，可得15.4= 0.8×4+a∧，求出a∧=12.2，求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程，求出m的值．解：第四组数据在回归直线y^=0.8x+a^上，可得15.4=0.8×4+a∧，∴a∧=12.2，∵x=3，y=59.2+m5，∴代入得59.2+m5=2.4+12.2，解得m=13.8．故答案为13.8．15.答案：125√23π解析：本题考查四棱锥D −ABCE 的外接球的体积，确定四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心是关键，属于中档题．利用平面ADE ⊥平面ABCE 且△ADE 为直角三角形，可得四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心，由正弦定理得四边形ABCE 的外接圆的直径，即可求出四棱锥D −ABCE 的外接球的体积．解：因为平面ADE ⊥平面ABCE 且△ADE 为直角三角形，所以四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心， 在△ABC 中，AB =7，BC =3√2，AC =5，∠ABC =π4，由正弦定理得四边形ABCE 的外接圆的直径为ACsin∠ABC =5sin∠ABC =5√2， 即得四棱锥D −ABCE 的外接球的半径为5√22，所以其体积为125√23π． 故答案为：125√23π． 16.答案：47解析：解：∵F 1、F 2分别为双曲线x 23−y 2=1的左、右焦点，∴F 1(−2,0)，F 2(2,0)；又点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，∴点P 的横坐标为2，纵坐标y 0=±√43−1=±√33． ∴P(2,±√33). ∴直线PF 1的方程为：√3x ±12y +2√3=0． ∴F 2到直线PF 1的距离d =√3×2±12×0+2√3|7√3=47．故答案为：47．依题意，可求得点P 的坐标，继而可求得直线PF 1的方程，利用点到直线间的距离公式即可求得答案． 本题考查双曲线的简单性质，考查直线的方程的确定与点到直线间的距离，求得直线PF 1的方程是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．17.答案：解：△ABC 中，∵2B =A +C ，∴B =π3，A +C =2π3．∵a +√2b =2c ，故由正弦定理可得sinA =2sinC −√2sinB =2sin(2π3−A)−√2⋅√32， 即sinA =2×√32cosA −2×(−12)sinA −√62，求得cosA =√22，∴A =π4，∴C =2π3−A =5π12，∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√6+√24．解析：△ABC 中，由条件求得B =π3，A +C =2π3.由a +√2b =2c ，利用正弦定理化简求得cosA =√22，可得A =π4，从而求得C =2π3−A 的值，从而求得sin C 的值．本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， 又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)， 又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)， 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0， 取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)， 又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量，∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t9+18t 2,y 1y 2=−169+18t 2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2 =(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t2−4t 3⋅12t 9+18t2+169=0，所以．因为线段AB 的中点为M ，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题． (Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b =1解得a =√2，故椭圆C 的方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y 1+y 2=12t9+18t 2，y 1y 2=−169+18t 2，可证CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．20.答案：解：(1)2×2列联表如下：K 2=100×(40×20−20×20)260×40×40×60≈2.778<3.841，所以没有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．(2)由题意知X 所有可能的取值为0，1，2，3，4.且观众支持“新农村建设”的概率为60100=35， 因此随机变量X ～B(4,35)，P(X =0)=C 40(25)4=16625，P(X =1)=C 41×35×(25)3=96625，P(X =2)=C 42×(35)2×(25)2=216625，P(X =3)=C 43×(35)3×25=216625， P(X =4)=C 44×(35)4=81625．所以随机变量X 的分布列为：所以X 的期望为E(X)=4×35=125．解析：本题主要考查了独立性检验，二项分布等知识，考查分析数据，分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)将调查表中的数据整理后填入2×2列联表，计算K 2，查表判断即可．(2)确定随机变量X 的所有可能的取值，又随机变量X ～B(4,35)，列出X 的分布列，求其期望即可．21.答案：解：(1)f′(x)=ln x +1，x >0，由f′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,1e )，f′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)，f′(x)>0，所以f (x)在区间(0,1e )上单调递减，在区间(1e ,+∞)上单调递增， 所以x =1e 是函数f (x)的极小值点，极大值点不存在; (2)g(x)=xln x −a(x −1)，则g′(x)=ln x +1−a ，由g′(x)=0，得x =e a−1， 当x ∈(0,e a−1)，g′(x)<0，当x ∈(e a−1,+∞)，g′(x)>0，所以在区间(0,e a−1)上，g(x)为单调递减，在区间(e a−1,+∞)上，g(x)为单调递增， 当e a−1≤1，即a ≤1时，在区间[1,e]上，g(x)为增函数， 所以g(x)的最小值为g(1)=0，当1<e a−1<e ，即1<a <2时，g(x)在区间[1,e a−1]上为减函数， 在区间[e a−1,e]上为增函数，所以g(x)的最小值为g(e a−1)=a −e a−1， 当e a−1≥e ，即a ≥2时，在区间[1,e]上，g(x)为减函数， 所以g(x)的最小值为g(e)=a +e −ae ， 综上，当a ≤1时，g(x)的最小值为0； 当1<a <2时，g(x)的最小值为a −e a−1； 当a ≥2时，g(x)的最小值为a +e −ae ．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究闭区间上函数的最值． (1)先对f (x )求导，由f′(x)=0，得x =1e ，求得f (x)在区间的单调性，从而得出函数f (x )极值点; (2)对g(x)求导，由g′(x)=0，得x =e a−1，求函数g(x)在区间[1,e]上的增减性，最后分类讨论，当a ≤1时，当1<a <2时，当a ≥2时，g(x)的最小值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知不等式f(x)−f(2x +4)<2，即|x −2|−|2x +2|<2， 等价于{x <−1−x +2+2x +2<2, 或{−1≤x ≤2−x +2−2x −2<2, 或{x >2x −2−2x −2<2； 解得x <−2或−23<x ≤2或x >2， ∴原不等式的解集为(−∞,−2)∪(−23,+∞)；(2)由题知f(x)+f(x +3)=|x −2|+|x +1|≥|(x −2)−(x +1)|=3， ∴f(x)+f(x +3)的最小值为3，∴m2+2m≤3，解得−3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[−3,1]．解析：本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．(1)利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f(x)−f(2x+4)<2的解集；(2)由绝对值不等式的意义求出f(x)+f(x+3)的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．。

2020年湖北省宜昌市金东方学校高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列各组函数为同一函数的是( )A．， B.C. D.参考答案：C2. 已知函数f（x）=，则函数f（x）的定义域是（）A．{x|x≠1}B．{x|x≠0}C．{x|x≠﹣1} D．x∈R参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分母不为0，得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故选：C．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．3. （5分）函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．[2，+∞）参考答案：B考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据函数定义域的定义，我们易列出关于x的不等式，解不等式即可得到答案．解答：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：x﹣1＞0即x＞1故函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．4. 若，则等于（）A．-5B．10C．-10D．5参考答案：B5. 已知，则f(3)为（）A 2B 3C 4D 5参考答案：A略6. 函数f(x)定义域为R，且对任意，恒成立.则下列选项中不恒成立的是A．B．C．D．参考答案：D7. 下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．D．参考答案：D【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】A，B选项通过二倍角公式求得结果均不为，C项代入cos也不得．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．cos2﹣sin2=cos=，排除B项．==，排除C项由tan45°=，知选D．故选D8. 已知α是第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9. 集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：B．10. 若，，则的值是（）A. B. C. D.参考答案：B，，，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图如图示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为．参考答案：0.8略12. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=20×20=400cm2，高h=20cm，故体积V==cm3，故答案为：13. 函数的定义域．参考答案：{x|x≠±2}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】本题中的函数是一个分工型函数，故可令分母不为零，解出使分母有意义的自变量的取值范围，此范围即函数的定义域．【解答】解：由题设，令x 2﹣2≠0，解得x≠±2故函数的定义域为{x|x≠±2}故答案为：{x|x≠±2}【点评】本题的考点是函数的定义域及共求法，求函数的定义域即求使得函数的解析式有意义的自变量的取值集合，其方法一般是令分母不为0，偶次根式根号下非负，对数的真数大于0等．解题时要注意积累求定义域的规律．14. 已知实数x、y满足，则目标函数的最小值是 .．参考答案：- 915. 已知方程（为实数）有两个实数根且一根在上，一根在上，的取值范围参考答案：16. 已知I={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，2，4，5}，N={0，3，5，7}，则?I（M∪N）= ．参考答案：{6，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意求出M∪N，然后求出?I（M∪N）即可．【解答】解：因为I={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，2，4，5}，N={0，3，5，7}，所以M∪N={0，1，2，3，4，5，7}所以：?I（M∪N）={6，8}，故答案为：{6，8}．17. 函数的最小值是 .参考答案：-5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖北省宜昌金东方高级中学2025届高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>2．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种3．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．34．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 5．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->6．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A B ．23C D ．17．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<8．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．139．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．4010．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm11．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 是实数集，A ={x|3≤x <7}，B ={x|4<x <10}，则(∁R A)∩B =( )A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]2. 若复数z 满足|z|⋅z .=20−15i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 3iD. −3i3. 记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯…+a 7(1+x)7，则a 0+a 1+a 2+⋯…+a 6的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 21884. 已知函数f(x)=log 21−x1+x ，若f(a)=12，则f(−a)=( )．A. 2B. −2C. 12D. −125. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.6. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >17. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足AE =14AD ，且AC ∩BD =F ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a⃗ +14b ⃗ B. 12a⃗ −14b ⃗ C. −12a⃗ +14b ⃗ D. 14a⃗ +14b ⃗ 9. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+111. 如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ，C 为PA 中点，PA =4√3，PO =6，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为( )A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√312. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1 B. f(7π10)>f(π5) C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =13x 3+x 2上点P 处切线的斜率为3，则点P 的坐标为____________14. 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．15. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．16. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点，|MF 1|=133，A 、B 是椭圆C 上异于M 的两点，且△AMB 的重心为F 2，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE ⊥平面PBE ； (2)求二面角D −PC −B 的余弦值．19. 已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2=4y 上，点M(0,4)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若线段|AB|=12√2，求直线AB 的方程；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.求证：点N在一条定直线上．20.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2，求f(x)在(−1,+∞)上的最小值．21.五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无4损害？22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 若a >b >0，求证：a +1(a−b)b ≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁R A ={x|x <3，或x ≥7}； ∴(∁R A)∩B =[7,10)． 故选：C ．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.答案：A解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，由|z|⋅z .=20−15i ，得√a 2+b 2(a −bi)=20−15i ， ∴{√a 2+b 2b =15√a 2+b 2a=20，解得a =4，b =3．∴z 的虚部为3． 故选：A ．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|⋅z .=20−15i ，由复数相等的条件列式求得a ，b 得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯+a 7(1+x)7=−[−3+(x +1)]7，∴a 7=−C 77=−1，则令x =0，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6+a 7=a 0+a 1+a 2+⋯+a 6−1=27=128， 则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=129， 故选：C ．二项式即−[−3+(x +1)]7，求得a 7 的值，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．4.答案：D解析：由已知得函数的定义域为(−1,1)且f(−x)=log21−(−x)1+−x =−log21−x1+x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(−a)=−f(a)=−12，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．7.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：根据题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AC 和BD 的交点，∴F 为AC 的中点， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −14b ⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ ，故选：A ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )由向量的减法得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示．9.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．10.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题． 根据F 1F 2=PF 2列方程得出a ，b ，c 的关系，从而得出答案． 解：不妨设P 在第一象限，∵△PF 1F 2为等腰直角三角形，F 1F 2=PF 2，且F 1F 2⊥PF 2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．11.答案：A解析：本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4√3，PO=6，∴OA=2√3，则圆锥底面周长为4√3π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为√(2√3)2+(4√3)2=2√15．故选：A．12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：(1,43)或(−3,0)解析：本题考查导数的几何意义，设P的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可．解：设P(x0,y0)，又y=13x3+x2，所以y′=x2+2x，由已知有x02+2x0=3，所以x0=1或−3，所以点P的坐标为(1,43)或(−3,0)．故答案为(1,43)或(−3,0)．14.答案：13解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目．先得出甲乙参加A 社团的概率，求出甲乙都参加A 社团的概率，进而得出答案．解：记3个社团分别为A,B,C ，依题意甲参加A 社团的概率为13，乙参加A 社团的概率为13， 所以甲和乙都参加A 社团的概率为13×13=19，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为19，甲和乙都参加C 社团的概率为19， 所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为19+19+19=13．故答案为：13．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：43解析：本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．根据椭圆的定义求出|MF 2|的长，根据焦半径的公式得到MF 2⊥F 1F 2，再结合重心的坐标公式，得到A 、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线AB 的斜率． 解：易知F 2(2,0).∵|MF 1|=133，∴|MF 2|=2×3−133=53=b 2a，根据焦半径公式可得MF 2⊥F 1F 2，M(2,53)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题知x 1+x 2+23=2，y 1+y 2+533=0，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−53． 又∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，相减得y 1−y 2x 1−x 2=−59⋅x 1+x2y 1+y 2=−59×4−53=43．故答案为：43．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵(2c −a)cosB −bcosA =0，∴2sinCcosB −sinAcosB −sinBcosA =0， 即2sinCcosB −sin(A +B)=0， 又sin(A +B)=sinC ，∴2sinCcosB −sinC =0即sinC(2cosB −1)=0， ∵C 是三角形的内角，sinC ≠0， ∴cosB =12，且B 是三角形内角， ∴B =π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，∴2sin(A+π6)∈(1,2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1,2]．解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得sinC(2cosB−1)=0，故有cosB=12，由此求得B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=2sin(A+π6)，根据A∈(0,2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得√3sinA+sin(C−π6)的取值范围．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD是正三角形，E是AD中点，∴PE⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CE，∵底面ABCD是矩形且AD=2AB，∴AE=DE=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∵PE∩BE=E，∴CE⊥平面PBE．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l AB ：y =kx +4与x 2=4y 联立得x 2−4kx −16=0， △=(−4k)2−4(−16)=16k 2+64>0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√k 2+4， 又|AB|=12√2，即√1+k 2⋅4√k 2+4=12√2，解得：k 2=2，k 2=−7(舍)，所以直线的方程y =±√2x +4 (2)证明：过点A 的切线：y =12x 1(x −x 1)+y 1=12x 1x −14x 12，①， 过点B 的切线：y =12x 2x −14x 22，②，联立①②得点N(x 1+x 22,−4)，所以点N 在定直线y =−4上．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理表示出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，根据弦长公式计算即可(2)先表示出过点A 的切线和过点B 的切线，然后两直线联立可求出点N 的坐标，即可得到点N 在定直线y =−4上．本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题20.答案：ln2+14．解析：依题意知函数f(x)的定义域为(−32,+∞)，f′(x)=2(2x+1)(x+1)2x+3，当−1<x <−12时，f′(x)<0恒成立；当x >−12时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,+∞)上递增，∴f(x)在(−1,+∞)上的最小值为f(−12)=ln2+14．21.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法， 选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621；(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n ；(单元：元) ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 3(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(14)1(1−14)2=2764； P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964； P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： Eξ=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n 16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场利益无损害．解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． (1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，利用对立事件的概率求出A 的概率值； (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)， 故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：见解析解析：a +1(a−b)b =(a −b)+b +1(a−b)b ，∵a >b >0，∴a −b >0，b >0，1(a−b)b >0，∴(a −b)+b +1(a−b)b≥3√(a −b)⋅b ⋅1(a−b)b3=3，∴a +1(a−b)b ≥3，当且仅当a −b =b =1(a−b)b ，即a =2，b =1时等号成立．。

2020年湖北省宜昌市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2<13,x∈N}，则A∩B等于()A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {1,2}D. {0,1,2}2.已知复数z=4−3i，则|z|=()A. 4B. 3C. 5D. 23.已知tanθ=−2，θ∈(3π2,2π)，则cosθ=()A. √55B. 2√55C. −√55D. ±√554.已知a=(ln2)13,b=(ln3)13,c=log213，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<a<cD. c<b<a5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S等于()A. 1+13+15+⋯+199B. 13+15+⋯+199C. 1+13+15+⋯+1101D. 13+15+⋯+11016.下列说法错误的是()A. 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据分散程度的大小B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 众数是一组数据中出现次数最多的数7.若过点A(4,0)的直线l与圆(x−2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的最大值为()A. √3B. √33C. −√3D. −√338. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A. 6斤B. 9斤C. 9.5斤D. 12斤9. 函数f(x)=e |x−1|−e(x −1)2的大致图像为( )A. B.C. D.10. △ABC 中，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，O 为该三角形的外心，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 192B. −192C. −72D. 72 11. 如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，AB =4，CD =√3，则该几何体的表面积为( )A. 6+√3B. 24+√3C. 24+2√3D. 3212. 设函数f(x)=(x −2)e x +a(x −1)2(a ≥0)在(0,2)内有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. a >0B. a >1C. a >√2D. a >2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x ≥0，f(x)=x 2−2x +3，则f(−3)=______．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0，则目标函数z =3x +y 的最大值为______．15. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，若S 4=5S 2，则a 4=_________．16. 若双曲线x 24−y 29=1的左支上一点P 到右焦点的距离是6，则点P 到左焦点的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2+c 2−b 2+2ac =2√3bcsinA ．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)当b =1且△ABC 的面积最大时，求a +c 的值．18. 如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°．(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)求该几何体的体积．19.为调查某地人群年龄与高血压的关系，用简单随机抽样方法从该地区年龄在20～60岁的人群中抽取200人测量血压，结果如下：(1)计算表中的a、c、b值：是否有99％的把握认为高血压与年龄有关？并说明理由．(2)现从这60名高血压患者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好一名患者年龄在20到39岁的概率．，n=a11+a12+a21+a22．附参考公式及参考数据：K2=n(a11a22−a12a21)2(a11+a21)(a11+a12)(a21+a22)(a12+a22)20.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．2(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程;(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB|．21. 已知函数f(x)=alnx +x 2−2，其中a ≠0.(1)若f(x)的最小值为−2，求a 的值;(2)若a =2，存在正实数x 1,x 2使得 f (x 1)+ f (x 2)= x 1+x 2，求x 1+x 2的取值范围。

2020年高考数学（3月份）模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|log2（x﹣1）＜1}，集合N＝{x|x2+x﹣6＜0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜3}D．{x|﹣2＜x＜3} 2．已知纯虚数z满足（1﹣2i）z＝2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．如图是国家统计局公布的2013﹣2018年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差4．在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝2x上，则＝（）A．B．C．D．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且7S2＝4S4，则公比q的值为（）A．1B．C．D．6．已知a＝log0.080.04，b＝log0.30.2，c＝0.30.04，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A．B．C．πD．8．已知双曲线C：0），O为坐标原点，F1F2为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F2G⊥OG，，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．9．《易﹒系辞上》有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C 的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西开百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3B．3C．4D．411．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0与椭圆交于A、B两点，与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1交于C、D两点．若存在k∈[﹣2，﹣1]，使得，则椭圆C1的离心率的取值范围为（）A．B．[C．D．12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为（x2+y2）3＝x2y2．给出下列四个结论：①曲线C有四条对称轴；②曲线C上的点到原点的最大距离为；③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①③④D．①②④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．的展开式中的常数项为•14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、满足（2+t）•＝0，则实数t的值为．15．设函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0），若f（x）在（0，1]上的最大值为，则a＝．16．已知函数f（在[0，π]上仅有2个零点，设，则g（x）的在区间[0，π]上的取值范围为．三、解答题：共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2，MB＝MD＝2．（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若CD∥AB，2CD＝AB，E为线段BM上一点，且BE＝2EM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值．18．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a1、a2、a5成等比数列，S7＝49．设数列{b n}的前n项和为T n，且满足．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜3．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x﹣4y+2＝0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若x轴上存在点M，过点M的直线l与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．20．某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为p（0＜p＜1），并且是否亮灯彼此相互独立．现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min），得到下面的频数表：亮灯时长/min[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长．（1）试估计p的值；（2）设X表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目．①求X的数学期望E（X）和方差D（X）；②若随机变量Z满足，则认为Z～N（0，1）．假设当4900＜X≤5000时，灯光展处于最佳灯光亮度．试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）．附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若Z～N（0，1），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．21．已知函数，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，若方程f（x）＝t有三个实数解x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），求证：x1+2＞x3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：参数方程与极坐标选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R）．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．（1）若点A（2，0）在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a＞0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且|PQ|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2x﹣1；（2）记f（x）的最大值为M，若实数a、b、c满足a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M＝{x|log2（x﹣1）＜1}，集合N＝{x|x2+x﹣6＜0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜3}D．{x|﹣2＜x＜3}【分析】求出集合A，B，再求出并集解：合M＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝（1，3），集合N＝{x|x2+x﹣6＜0}＝（﹣3，2），则M∪N＝（﹣3，3），故选：A．2．已知纯虚数z满足（1﹣2i）z＝2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值．解：由（1﹣2i）z＝2+ai，得z＝，∵z为纯虚数，∴，即a＝2．故选：D．3．如图是国家统计局公布的2013﹣2018年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【分析】利用柱形图的性质直接求解．解：由国家统计局公布的2013﹣2018年入境游客（单位：万人次）的变化情况柱形图，得：在A中，2014年我国入境游客万人次最少，故A正确；在B中，后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故B正确；在C中，这6年我国入境游客万人次的中位数为2015年和2016年入境游客万人次的平均数，从而这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次，故C正确；在D中，前3年我国入境游客万人次数据的方差大于后3年我国入境游客万人次数据的方差，故D错误．故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝2x上，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanθ的值，进而利用诱导公式，二倍角的三角函数公式即可求值得解．解：因为角θ终边落在直线y＝2x上，所以tanθ＝2，可得cos2θ＝，所以sin（+2θ）＝﹣cos2θ＝﹣（2cos2θ﹣1）＝﹣（2×﹣1）＝．故选：C．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且7S2＝4S4，则公比q的值为（）A．1B．C．D．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．解：q＝1时不成立，∴＝，q＞0，联立解得q＝．故选：C．6．已知a＝log0.080.04，b＝log0.30.2，c＝0.30.04，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c【分析】由a＝log0.080.04，b＝log0.30.2＝log0.090.04，根据对数函数的图象，所以b＞a＞log0.040.04＝1，c＝0.30.04＜1，得出结论．解：a＝log0.080.04，b＝log0.30.2＝log0.090.04，根据对数函数的图象，所以b＞a＞log0.040.04＝1，c＝0.30.04＜1，故选：B．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A．B．C．πD．【分析】设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O﹣ACM＝V M﹣AOC，求出d，再利用d2+r2＝1，求出r，代入求出结果．解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O﹣ACM＝V M﹣AOC，即＝，∴d＝，，故d＝，又d2+r2＝1，∴r，所以截面的面积为πr2＝，故选：A．8．已知双曲线C：0），O为坐标原点，F1F2为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F2G⊥OG，，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．【分析】由题意设G的坐标，再由F2G⊥OG可得数量积为0可得G的坐标，再由可得a，c，b的关系式，再由双曲线中的a，b，c之间的关系求出a，b的关系，进而可得双曲线的渐近线的方程．解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝x，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），设G在第一象限，坐标为（x0，x0），因为F2G⊥OG，所以＝0，即（x0﹣c，x0）•（x0，x0）＝0，整理可得：（1+）x02﹣cx0＝0，解得：x0＝，所以G（，），因为，可得＝，整理可得：2a4+a2b2﹣b4＝0，可得2a2＝b2，a＞0，b＞0，所以b＝所以双曲线的渐近线的方程为：y＝x＝，故选：D．9．《易﹒系辞上》有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．【分析】从这10个数中任取3个数，基本事件总数n＝＝120，利用列举法求出这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有10个，由此能求出这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率．解：河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，基本事件总数n＝＝120，这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有10个，分别为：（1，3，5），（3，5，7），（5，7，9），（1，5，9），（1，2，3），（1，4，7），（3，4，5），（3，6，9），（5，6，7），（7，8，9），则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为p＝．故选：C．10．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C 的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西开百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3B．3C．4D．4【分析】首先利用方向角求出三角形中各个角的大小，进一步利用正弦定理的应用求出AC和BC，最后利用余弦定理的应用求出结果．解：如图所示，根据题意知：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∠ACB＝60°，DC＝2，CE＝2，∠BCE＝75°，∠CBE＝45°，∠CEB＝60°．所以：在△BCE中，利用正弦定理，解得：，在△ADC中，：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，所以DC＝AC＝2，则在△ACB中，利用余弦定理AB2＝AC2+CB2﹣2AC•CB•cos60°，解得AB＝3．故选：B．11．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0与椭圆交于A、B两点，与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1交于C、D两点．若存在k∈[﹣2，﹣1]，使得，则椭圆C1的离心率的取值范围为（）A．B．[C．D．【分析】易求直线l过定点（3，1），即直线l恒过圆C2的圆心，所以C2是线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝2，再利用点差法得到k＝＝﹣，因为k∈[﹣2，﹣1]，所以，从而求出离心率e的取值范围．解：直线l的方程可化为：k（x﹣3）＝y﹣1，∴直线l过定点（3，1），即直线l恒过圆C2的圆心，又∵，∴，∴C2是线段AB的中点，如图所示：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝2，由，两式相减得：，∴，化简得：k＝＝﹣，∵k∈[﹣2，﹣1]，∴﹣2，∴，又∵e＝，∴，故选：A．12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为（x2+y2）3＝x2y2．给出下列四个结论：①曲线C有四条对称轴；②曲线C上的点到原点的最大距离为；③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①③④D．①②④【分析】通过方程中的x，y的变换，求得四叶草曲线的对称轴，可判断①；由y＝x与（x2+y2）3＝x2y2联立，解方程，结合两点的距离公式计算可判断②；设出第一象限的一点，运用基本不等式即可得到最大值可判断③；由四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，计算可判断④．解：四叶草曲线方程为（x2+y2）3＝x2y2，将x换为﹣x，y不变，可得方程不变，则曲线关于y轴对称；将y换为﹣y，x不变，可得方程不变，则曲线关于x轴对称；将x换为y，y换为x，可得方程不变，则曲线关于直线y＝x对称；将x换为﹣y，y换为﹣x，可得方程不变，则曲线关于直线y＝﹣x对称；曲线C有四条对称轴，故①正确；由y＝x与（x2+y2）3＝x2y2联立，可得y＝x＝或y＝x＝﹣，即有曲线C上的点到原点的最大距离为＝，故②错误；设曲线C第一象限上任意一点为（x，y），（x＞0，y＞0），可得围成的矩形面积为xy，由x2+y2≥2xy，则（x2+y2）3＝x2y2≥8（xy）3，即xy≤，当且仅当x＝y取得最大值，故③正确；易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于，则④正确．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．的展开式中的常数项为135•【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•（﹣）r•x﹣r＝（﹣）r x12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4，故二项式的展开式中的常数项为：（﹣）4×＝135，故答案为：135．14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、满足（2+t）•＝0，则实数t的值为﹣．【分析】由题意用坐标表示向量，再利用数量积列方程求出t的值．解：由题意知，向量＝（1，2），＝（3，1），＝（4，4）；又（2+t）•＝0，即2•+t•＝0，所以2×（1×4+2×4）+t（3×4+1×4）＝0，解得t＝﹣．故答案为：﹣．15．设函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0），若f（x）在（0，1]上的最大值为，则a＝．【分析】对函数求导，根据题意，y＝ax2+（2﹣2a）﹣2＝0，的两个根为x1，x2，由，所以x1＜0＜x2，由x2＞1，得到最大值为f（1），解出即可．解：f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0），f'（x）＝＝＝，0＜x＜2，根据题意，y＝ax2+（2﹣2a）﹣2＝0，的两个根为x1，x2，由，所以x1＜0＜x2，x，所以f（x）在（0，1]单调递增；f（x）的最大值为f（1）＝a＝，故答案为：16．已知函数f（在[0，π]上仅有2个零点，设，则g（x）的在区间[0，π]上的取值范围为[﹣，1+]．【分析】根据函数零点性质，求出ω的值，然后求出g（x）的解析式，利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数的单调性和对称性的关系进行转化求解即可．解：∵0≤x≤π，∴0≤xω≤πω，≤xω+≤πω+，∵f（x）在[0，π]上仅有2个零点，∴2π≤πω+≤3π，得≤ω≤，∵ω∈N，∴ω＝2，即f（x）＝sin（2x+），＝sin（x+）+sin2x＝sin x+cos x+2sin x cos x，设t＝sin x+cos x，则2sin x cos x＝t2﹣1，则g（x）＝h（t）＝t2﹣1+t，∵t＝sin x+cos x＝sin（x+），∴当0≤x≤π时，≤x+≤，即sin≤sin（x+）≤sin，即﹣≤sin（x+）≤1，则﹣1≤sin（x+）≤，即﹣1≤t≤，h（t）＝t2﹣1+t的对称轴为t＝﹣，∴当t＝﹣时，h（t）取得最小值，为h（﹣）＝﹣，当t＝时，h（t）取得最大值，为h（）＝1+，即h（t）的取值范围是[﹣，1+]，即g（x）的在区间[0，π]上的取值范围为[﹣，1+]，故答案为：[﹣，1+]三、解答题：共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2，MB＝MD＝2．（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若CD∥AB，2CD＝AB，E为线段BM上一点，且BE＝2EM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AB⊥AM，AD⊥AM，由此能证明AM⊥平面ABCD．（2）由AB⊥AD，AM⊥平面ABCD，以A为原点，AD为x轴，AM为y轴，AB为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EC与平面BDM所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2，MB＝MD＝2．∴AB2+AM2＝BM2，AD2+AM2＝DM2，∴AB⊥AM，AD⊥AM，∵AD∩AB＝A，∴AM⊥平面ABCD．（2）解：∵AB⊥AD，AM⊥平面ABCD，∴以A为原点，AD为x轴，AM为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，∵CD∥AB，2CD＝AB，E为线段BM上一点，且BE＝2EM，AB＝AM＝AD＝2，MB ＝MD＝2．∴E（0，，），C（2，0，1），D（2，0，0），B（0，0，2），M（0，2，0），＝（2，﹣，），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面BDM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设直线EC与平面BDM所成角为θ，则直线EC与平面BDM所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．18．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a1、a2、a5成等比数列，S7＝49．设数列{b n}的前n项和为T n，且满足．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜3．【分析】（1）设数列{a n}为公差d不为零的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；再由对数的运算性质和数列的递推式，可得所求b n；（2）求得c n＝（2n﹣1）•（）n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．解：（1）设数列{a n}为公差d不为零的等差数列，由a1、a2、a5成等比数列，可得a22＝a1a5，即（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S7＝49，可得7a1+21d＝49，即有49a1＝49，解得a1＝1，d＝2，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；又S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，由数列{b n}的前n项和为T n，且＝n+1，可得2+T n＝2n+1，即T n＝2n+1﹣2，当n＝1时，b1＝T1＝2；n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，对n＝1也成立，则b n＝2n，n∈N*；（2）证明：由，可得c n＝（2n﹣1）•（）n，设R n＝c1+c2+…+c n＝1•+3•（）2+…+（2n﹣1）•（）n，R n＝1•（）2+3•（）3+…+（2n﹣1）•（）n+1，上面两式相减可得R n＝1•+2[（）2+…+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化简可得R n＝3﹣（2n+3）•（）n，由（2n+3）•（）n＞0，可得c1+c2+…+c n＜3．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x﹣4y+2＝0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若x轴上存在点M，过点M的直线l与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，运用点到直线的距离公式，结合条件，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）设M（t，0），设点M，P（x1，y2），Q（x2，y2），显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+t．联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理和弦长公式，结合定值，可得t的方程，解方程可得所求M的坐标．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得d1＝＝，d2＝p，则＝＝，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（2）设M（t，0），设点M，P（x1，y2），Q（x2，y2），显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+t．联立方程，整理可得y2﹣4my﹣4t＝0．△＝16（m2+t）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，|PM|＝|y1|，|QM|＝|y2|，＝+＝＝＝＝，要使为定值，必有＝，解得t＝2，∴且为定值时，点M的坐标为（2，0）．20．某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为p（0＜p＜1），并且是否亮灯彼此相互独立．现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min），得到下面的频数表：亮灯时长/min[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长．（1）试估计p的值；（2）设X表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目．①求X的数学期望E（X）和方差D（X）；②若随机变量Z满足，则认为Z～N（0，1）．假设当4900＜X≤5000时，灯光展处于最佳灯光亮度．试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）．附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若Z～N（0，1），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）利用平均数的计算方法可得：估计p．（2）①由题意可得：X～B（10000，）．即可得出：E（X），D（X）．②随机变量Z满足＝X﹣100，可得﹣2＜Z≤0．又Z～N（0，1）．即可得出P（﹣2＜Z≤0）＝×P（﹣2＜X≤2）．解：（1）估计p＝＝．（2）①由题意可得：X～B（10000，）．∴E（X）＝10000×＝5000，方差D（X）＝10000×（1﹣）＝2500．②随机变量Z满足＝X﹣100，∴﹣2＜Z≤0．又Z～N（0，1）．∴P（﹣2＜Z≤0）＝×P（﹣2＜X≤2）＝×0.9545≈0.4773．由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长＝0.4773×100＝47.73min．21．已知函数，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，若方程f（x）＝t有三个实数解x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），求证：x1+2＞x3．【分析】（1）求导，分及两种情况讨论得解；（2）构造函数φ1（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）（0＜x＜2），可证x1+x2＞2，构造函数φ2（x）＝f（x）﹣f（4﹣x）（1＜x＜4），可证x3＜4﹣x2，由此即可得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，①当时，f′（x）≥0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当时，令f′（x）＝0得x2+mx+2＝0，解得，且，故0＜x1＜x2，∴当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：依题意，f′（1）＝3+m＝0，解得m＝﹣3，由（1）得，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴方程f（x）＝t有三个实数解x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3，设φ1（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）（0＜x＜2），则，∴φ1（x）在（0，2）单调递增，∴对任意x∈（0，1），φ1（x）＜φ1（1）＝0，∴φ1（x1）＝f（x1）﹣f（2﹣x1）＜0（0＜x1＜1），即f（x1）＜f（2﹣x1），∵f（x1）＝f（x2）＝t，∴f（x2）＜f（2﹣x1），x2∈（1，2），2﹣x1∈（1，2），∵f（x）在（1，2）单调递减，∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2，设φ2（x）＝f（x）﹣f（4﹣x）（1＜x＜4），则，∴φ2（x）在（1，4）单调递增，∴对任意x∈（1，2），φ2（x）＜φ2（2）＝0，∴φ2（x2）＝f（x2）﹣f（4﹣x2）＜0（1＜x2＜2），即f（x2）＜f（4﹣x2），∵f（x2）＝f（x3）＝t，∴f（x3）＜f（4﹣x2），x3∈（2，+∞），4﹣x2∈（2，3），∵f（x）在（2，+∞）单调递增，∴x3＜4﹣x2，∴x2+x3＜4＜x1+x2+2，∴x1+2＞x3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：参数方程与极坐标选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R）．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．（1）若点A（2，0）在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a＞0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且|PQ|的最小值为，求a的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数，a∈R）．点A（2，0）在直线l上，所以把点A（2，0）代入直线的参数方程，解得a＝1．所以，转换为极坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．转换为直角坐标方程为：．转换为参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为，整理得：，所以：|PQ|＝＝，所以当sin（）＝1时，，解得：a＝1﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2x﹣1；（2）记f（x）的最大值为M，若实数a、b、c满足a+b+c＝M，求证：．解：（1）当x≤﹣2时，不等式f（x）≥2x﹣1化为x﹣4≥2x﹣1，解得x≤﹣3；当﹣2＜x＜1时，不等式f（x）≥2x﹣1化为3x≥2x﹣1，解得x≥﹣1，即﹣1≤x＜1；当x≥1时，不等式f（x）≥2x﹣1化为﹣x+4≥2x﹣1，解得x≤，即1≤x≤．综上，不等式f（x）≥2x﹣1的解集为[﹣1，]；证明：（2）f（x）＝，图象如图：由图可知，f（x）的最大值M＝3．则a+b+c＝3．由柯西定理得（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，则．同理，．∴．当且仅当a＝b＝c时取等号．。

湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.2．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A 【解析】 【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <AE BE =Q()()2220031x x +=-解得01x =-()1,3E ∴-()4,3C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+(),353AM x x ∴=-+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r242660x x =-+- 242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 3．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =【答案】D 【解析】 【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.【详解】0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.5．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.6．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心． 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B 【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.9．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B．0y ±= C．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B 【解析】 【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【详解】如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，和. 故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.10．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④ C ．①④ D ．①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 11．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．12．已知(2sin,cos ),,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。