2020届高考数学临考练兵测试题1 理 新人教A版 精品

第六章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B. 2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D 解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于 A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.7．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.8．若a x －1，a y，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝ax －1·a－x ＋1.即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是 A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 11－q 81－q －a 8a 11－q 91－q ＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为 A ．1 006 B ．－2 012 C ．2 012 D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．答案22解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22. 12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案199299解析a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299. 13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________． 答案 2 解析 ∵S 3＝a 1＋a 3×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0.∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析 应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为________． 答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n ＝nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……a 2n －1－a 2n －3＝2.∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n . ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和，所以A n ＝480n ＋n n －12×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n －5002n －100.(2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2，可化简得502n <n 2＋n －10.∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10.又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数． 又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10.则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n. 所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010， 则2＋2n －1·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.1．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 答案 B解析 记等比数列{a n }的公比为q ，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7.又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q6q3)＝b 7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q 3≥2，当且仅当q ＝1时，等号成立，∴a 3＋a 9≥b 4＋b 10.故选B.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是A ．5B ．6C ．10D ．11答案 D解析 令f (x )＝32x －11知f (x )关于(112，0)对称，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝0， 且a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>…>0. ∴S 10＝0，S 11>0，选D.3．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0， ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n . 又a 1＝1，a 2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于A.12 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.故选B.5．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案 A解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1.∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)．∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析 等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )＝12px2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题易得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝px －(p ＋q )＋q x ＝px 2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －qx.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝qp. ∵p >q >0，∴0<q p<1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(0，q p ) q p(q p，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值1(2)依题意，y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q ＝2px 2＋px －p ， 2S n ＝2p ·a 2n ＋p ·a n －p (n ∈N *)．∴2a 1＝2p ·a 21＋pa 1－p . 由a 1＝1，得p ＝1. ∴2S n ＝2a 2n ＋a n －1.①∴当n ≥2时，2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1. ②①－②得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1. ∴2(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－12)＝0.由于a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝12(n ≥2)．∴{a n }是以a 1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n n －12·12＝n 2＋3n 4，∴b n ＝4S n n ＋3·q n ＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)qn －1＋nq n.③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nqn ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n－nq n ＋1＝q 1－q n 1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q 1－q n 1－q 2－nq n ＋11－q. 10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． 解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且 32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n qn －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]． 11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； (2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列． ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1， 即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1.∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列．∴b n ＝32×3n －1＝3n2.∴S n ＝321－3n1－3＝34(3n－1)． 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝2S 3，等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：{b n }中的每一项均为{a n }中的项；(2)若a 1＝12，数列{c n }满足：b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＋a 2＝2S 3得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ，∴a 1＝d .则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2. 则b n ＝2a 1·2n －1＝2na 1.∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n×12＝2n －1.由b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，得2n·c n ＝(－1)n[1＋2(n －1)]＝(－1)n(2n －1)． ∴c n ＝－1n2n －12n＝(2n －1)(－12)n.T n ＝(－12)＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12)＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(－12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－12)＋2(－12)2＋…＋2(－12)n －1－(2n －1)(－12)n＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1]－(2n －1)(－12)n＝－1＋2·1－－12n1－－12－(2n －1)(－12)n＝－1＋43－43(－12)n －(2n －1)(－12)n＝13－6n ＋13(－12)n ，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19. 13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)， 累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)． 又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1，b n ＝12n ＋1n＋3，b n 的最大值为b 1＝16， 所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]． 当t ＝0，不成立； 当t ≠0，g (m )是一次函数，⎩⎪⎨⎪⎧g －1>0，g1>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4n ＋1解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)． 因此b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)． 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4n ＋1. 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1. 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值． 解析 方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1.又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三 本题也可利用线性规划知识求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d .画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)方法一 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 (1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； (2)假设当n ＝k 时等式成立，即T n ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时，有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12. 即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1. 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．17．(2012·陕西)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4. 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)方法一 对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 方法二 对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 11－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q＝a 12－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k1－q－a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析 (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1.∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2， 因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n. 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)．又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列． 故a n ＋2n＝3n，即a n ＝3n－2n. (3)∵a n ＝3n－2n＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32. 19．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n.(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解析 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0. (2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列． 由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知， 对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③21 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14.故0<c ≤14. (ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即 x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14]．。

2020届高三数学（理科）模拟题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M （ ） A. }42|{≤≤-x x B.}1|{≥x x C.}41|{≤≤x x D.}2|{-≥x x 2.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设R ∈θ，则“π6θ=”是“21sin =θ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在等差数列{}n a 中,已知4826a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88C.143D.1765.若π1cos()42θ-=,则sin 2θ= ( )A.12-B.-C.126.函数)y x ωϕ=+其中(0,0π)ωϕ><<，的图象的一部分如图所示，则( )A. π3π,84ωϕ==B. ππ,84ωϕ==C. ππ,42ωϕ==D.π3π,44ωϕ==7.已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b=+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.5 8.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为（ ）A ．1603 B ．160 C ．2563D ．64 9.已知ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则AD AP ⋅=( )A.B.1C. D. 310.函数3)y x x =+的图象大致为( )A.B.C.D.11.函数3()log sin πf x x x =-在区间[]2,3-上零点的个数为( ) A.6B.5C.7D.812.若函数1()sin 2sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.观察下列各式：31=1,3321+2=3,33321+2+3=6,333321+2+3+4=10,…,由此推得：33331+2+3+n = ．14.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．15.已知向量a 与b 的夹角为120°，2||=，1||=，则=-2|b ________.16. ()f x 是定义在R 上的函数,其导函数为()f x '．若()(),(1)2019f x f x f '>=，则不等式()2019x ef x e >(其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．三、解答题（共70分。

2020届新课标版高考精选预测（理11）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内．1．若集合A ＝{x|1x＞2，x ∈R }，非空集合B 满足(A ∪B)⊆(A∩B)，则有∁R B ＝( )A ．(0，12)B ．(－∞，0]∪[12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．[12，＋∞)解析：由(A ∪B)⊆(A∩B)得A ∪B ＝A∩B ，所以A ＝B ，即B ＝{x|1x＞2，x ∈R }＝{x|0＜x ＜12}，故∁R B ＝(－∞，0]∪[12，＋∞)． 答案：B2．已知a ，b 是两个不共线的向量，AB u u u r ＝λa ＋b ，AC u u u r＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：由AB u u u r ＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得：AB u u u r ＝t AC u u u r(t ∈R )，所以λa ＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t1＝tμ，所以λμ＝1.答案：D3．过曲线y ＝x 3－2x ＋4上的点(1,3)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若直线l 1是曲线y ＝x 3－2x ＋4的切线，则直线l 2的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析：∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y′＝3x 2－2， ∴直线l 1的斜率为y′|x ＝1＝1，又l 1⊥l 2，∴直线l 2的斜率为－1，∴直线l 2的倾斜角为3π4.答案：D4．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a ，b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α. 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①错误，因为三个平面可以两两相交且交线相互平行；④错误，因为只有a ，b 相交时结论才成立．答案：B5．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A.y ^＝1.23x ＋4B.y ^＝1.23x ＋5C.y ^＝1.23x ＋0.08D.y ^＝0.08x ＋1.23解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08. 答案：C6．若i 是虚数单位，z ＝2－i ＋ai 2020(a ∈R )是实数，则(1＋ai 1－ai)2020等于( )A ．2B ．2iC ．iD ．22020解析：∵z ＝2－i ＋ai 2020＝2＋(a －1)i 为实数，∴a －1＝0，即a ＝1，∴(1＋ai 1－ai )2020＝(1＋i 1－i)2020＝i 2020＝i.答案：C7．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是( )A.110B.π10C.π4D.π40解析：将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x≤10,0≤y≤10.如图，当点(x ，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.答案：D8．已知双曲线过点(4，473)，渐近线方程为y ＝±43x ，圆C 经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是( )A.43B.473 C ．4 D.163解析：由题意易得双曲线的方程为x 29－y 216＝1，顶点为(±3,0)，焦点为(±5,0)．又圆心在双曲线上，所以圆C 应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±4，设圆心的纵坐标为m ，则169－m 216＝1，所以m 2＝16×79＝1129，所求的距离为 (±4)2＋1129＝163.答案：D 9．已知圆(x －4)2＋y 2＝a(a ＞0)上恰有四个点到直线x ＝－1的距离与到点(1,0)的距离相等，则实数a 的取值范围为( )A ．12＜a ＜16B ．12＜a ＜14C ．10＜a ＜16D ．13＜a ＜15解析：到直线x ＝－1的距离与到点(1,0)的距离相等的点的轨迹是抛物线y 2＝4x ，问题转化为圆与抛物线有四个交点，即联立它们的方程得到的方程组恰有四组解．由⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝ay 2＝4x ⇒x 2－4x ＋16－a ＝0，故此方程有两个相异的正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4(16－a)＞016－a ＞0， 故12＜a ＜16. 答案：A10．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点的旅游人数统计有误，甲景点的旅游人数实际为20万，被误统计为15万，乙景点的旅游人数实际为18万，被误统计为23万，更正后重新计算，得到的标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为( )A ．s ＝s 1B ．s ＜s 1C ．s ＞s 1D ．不能确定解析：由已知得，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ，又设各景点的实际旅游人数为x i (1≤i≤15，i ∈N *)，则s ＝115[(15－x )2＋(23－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x 15－x )2]， s 1＝115[(20－x )2＋(18－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x 15－x )2]. 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x )2＋(23－x )2与(20－x )2＋(18－x )2的大小即可．而(15－x )2＋(23－x )2＝754－76x ＋2x 2，(20－x )2＋(18－x )2＝724－76x ＋2x 2，所以(15－x )2＋(23－x )2＞(20－x )2＋(18－x )2，从而s ＞s 1.答案：C11．当不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥0kx －y ＋2－k≥0(k ＜0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值为( )A ．－13B ．－12C ．－1D ．－2解析：不等式组所表示的平面区域由三条直线围成，其中直线kx －y ＋2－k ＝0(k ＜0)即y －2＝k(x －1)(k ＜0)经过定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积的最小值．如图所示，设所围成的区域的面积为S ，则S ＝12·|OA|·|OB|＝12·|2－k|·|1－2k|. 因为k ＜0，所以－k ＞0，所以S ＝12(4－k －4k )＝12[4＋(－k)＋(－4k )]≥12[4＋2 (－k)(－4k)]＝4，当S 取得最小值4时，－k ＝－4k，解得k ＝－2.答案：D12．已知a ＞0且a≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时均有f(x)＜12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14]∪[4，＋∞)解析：f(x)＜12即x 2－a x ＜12，x 2－12＜a x .当0＜a ＜1时，如图甲所示，在x ＝1处，得12≤a ，∴12≤a ＜1；当a ＞1时，如图乙所示，在x ＝－1处，得12≤1a，∴1＜a≤2.答案：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上． 13．已知在区间(a ，b)上，f(x)＞0，f′(x)＞0，对x 轴上的任意两点(x 1,0)，(x 2,0)，(a ＜x 1＜x 2＜b)都有f(x 1＋x 22)＞f(x 1)＋f(x 2)2.若S 1＝⎠⎛ab f(x)dx ，S 2＝f(a)＋f(b)2(b －a)，S 3＝f(a)(b －a)，则S 1、S 2、S 3的大小关系为__________．解析：根据定积分的几何意义知S 1为f(x)的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成的曲边梯形的面积，而s 2为梯形的面积，s 3为矩形的面积，所以结合题意并画出图形可得S 1＞S 2＞S 3.答案：S 1＞S 2＞S 314．已知α，β∈(－π2，π2)，且tanα，tanβ是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，则α＋β＝__________.解析：依题意得tanα＋tanβ＝－33＜0，tanα·tanβ＝4＞0，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝ 3.易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈(－π2，π2)，∴α∈(－π2，0)，β∈(－π2，0)，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π315．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，(1≤n≤4)a n －4，(n ＞4)，计算其前102项和的算法流程图如图所示，图中①，②应该填__________、__________.解析：算法流程图中用的循环体中应有使循环结束的语句，故应有n ＝cdefghijklm1使原来的n 的值增加1，故应在求和后，所以应填在②中，而①应填给a n 赋值的语句a n ＝a n －4.答案：a n ＝a n －4 n ＝n ＋116．如图为一个几何体的三视图，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则此几何体的表面积为__________．解析：此几何体是由一个半球和一个长方体组合而成的，故其直观图如图所示．因为AB ＝BC ＝1，故B 1D 1＝2，故半球的半径R ＝22，因此半球的表面积S 半球表＝12×4πR 2＋πR 2＝3π2.长方体的表面积S 长方体表＝4×1×2＋2＝10，长方体的上底面的面积S 长方体上底面＝1，故此几何体的表面积S 表＝S 半球表＋S 长方体表－2S 长方体上底面＝3π2＋8.答案：3π2＋8三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，并设它们的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析：(1)∵x 、y 可能的取值分别为1、2、3，∴|x －2|≤1，|y －x|≤2，∴ξ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3.∵有放回地先后抽取两张卡片共有3×3＝9种不同的情况，∴P(ξ＝2)＝29.(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况， ξ＝1时，x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况． ξ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况．∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29，∴随机变量ξξ 0 1 2 3P 19 49 29 29因此，数学期望Eξ＝0×19＋1×49＋2×29＋3×29＝149.18．(本小题12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、H 分别为A 1D 1、CC 1、AB 、DB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ACD 1； (2)求证：MH ⊥B 1C ；(3)在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P －AC －B 的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)取AA 1的中点G ，连接GF ，则GF ∥AC ， 连接GE ，则GE ∥AD 1，∴平面ACD 1∥平面GFE. 又∵EF ⊂平面GFE ，∴EF ∥平面ACD 1. (2)连接AC 1，∵H 为DB 1的中点，∴H 为AC 1的中点，连接BC 1，设BC 1交B 1C 于点O ， ∵M 为AB 的中点， ∴MH ∥BC 1.在正方形BCC 1B 1中，BC 1⊥B 1C ，∴MH ⊥B 1C. (3)如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)．设点P(2,2，t)(0＜t≤2)，平面ACP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则.0n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u u u u r g u u ur g ∵AC u u u r ＝(－2,2,0)，AP u u u r＝(0,2，t)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝02y ＋tz ＝0，取n ＝(1,1，－2t )．易知平面ABC 的一个法向量为1B B u u u r＝(0,0,2)，假设P 点存在，使得二面角P －AC －B 的大小为θ＝30°，则cosθ＝|cos 〈1BB u u u r ，n 〉|＝|－4t |2× 2＋4t2＝32，即4t 2＝34(2＋4t 2)，解得t ＝63. ∴63∈(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为63时，二面角P －AC －B 的大小为30°.19．(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(2＋3x)＋m 2x 2在x ＝13处取得极值．(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间；(2)若对任意的x ∈[16，13]，不等式|a －lnx|＋ln[f′(x)＋3x]＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)由题意得函数f(x)的定义域为{x|x ＞－23}，f′(x)＝32＋3x ＋mx ＝3＋2mx ＋3mx 22＋3x，又函数f(x)在x ＝13处取得极值，∴f′(13)＝0，即m ＝－3，此时，f′(x)＝－3(x ＋1)(3x －1)2＋3x .∴在[0,1]上，当0≤x ＜13时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当13＜x≤1，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．∴f(x)在x ＝13处取得极大值．∴f(x)在[0,1]上的单调递增区间为[0，13]，单调递减区间为[13，1]．(2)∵f′(x)＋3x ＝32＋3x ，∴当x ∈[16，13]时，ln[f′(x)＋3x]∈[0，ln 65](当且仅当x ＝13时，ln[f′(x)＋3x]＝0)．因此，不等式|a －lnx|＋ln[f′(x)＋3x]＞0恒成立的a 的取值范围是(－∞，ln 13)∪(ln 13，＋∞)．20．(本小题14分)(2020·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a≠0，a≠1，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ＝yz{109}n-1 -1009. （１）求ａｎ与ｂｎ的表达式；（２）设ｃｎ＝（ｎ＋anan )bn ，试问数列{c n }有没有最小项？如果有，求出这个最小项；如果没有，请说明理由．解析：(1)因为S n ＝aa －1(a n－1)，所以，当n ＝1时，a 1＝S 1＝aa －1(a 1－1)，解之得a 1＝a ；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1a n －a a －1a n －1，即a na n －1＝a.又a≠0，a≠1，所以数列{a n }是等比数列．所以a n ＝a·a n －1＝a n .由b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ＝(n ＋10)·(910)n －1－1009得：b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝(n ＋9)·(910)n －2－1009(n≥2)．两式相减得nb n ＝(n ＋10)·(910)n －1－(n ＋9)·(910)n －2＝－n 10(910)n －2.故b n ＝－19·(910)n －1(n≥2)，当n ＝1时，b 1＝11－1009＝－19也符合上式，故b n ＝－19·(910)n －1.所以c n ＋1－c n ＝－n ＋29(910)n ＋n ＋19(910)n －1＝n －890·(910)n －1. 当n ＞8时，c n ＋1＞c n ，故c 9＜c 10＜…， 当n ＝8时，c n ＋1－c n ＝0，故c 9＝c 8，当n ＜8时，c n ＋1＜c n ，故c 1＞c 2＞c 3＞…＞c 8.综上可得，c 9、c 8是数列的最小项且c 8＝c 9＝－(910)7.21．(本小题14分)已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到点F 1的距离是23，线段AF 2的中垂线l 交AF 1于点P.(1)当点A 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；(2)过点F 1、F 2分别作互相垂直的两条直线分别与轨迹G 交于点D 、E 和点M 、N ，试求四边形DMEN 的面积的最大值和最小值．解析：(1)如图，|AF 1|＝23，∴|PA|＋|PF 1|＝23， 又∵|PA|＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝23，由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|＝43，此时|MN|＝23，四边形DMEN 的面积为|DE|·|MN|2＝4，同理，当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为|DE|·|MN|2＝4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入椭圆方程，消去y，得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.设D点的坐标为(x1，y1)，E点的坐标为(x2，y2)，则{x1＋x2＝辈炒刀犯购患骄坷谅媚牌侨墒颂臀闲岩釉罩棕仝圮蒉哙？k2，)∴|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝43·k2＋13k2＋2，∴|DE|＝k2＋1|x1－x2|＝43(k2＋1) 2＋3k2.同理，|MN|＝43[(－1k)2＋1]2＋3(－1k)2＝43(1k2＋1)2＋3k2.∴四边形DMEN的面积22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知⊙O 和⊙O 1内切于点A ，⊙O 的弦AP 交⊙O 1于点B ，PC 切⊙O 1于点C ，且PC PA ＝22，则⊙O 1和⊙O 的半径的比值为多少？ 解析：如图，连接OP 、OA 、O 1B ，ΔOPA 和ΔO 1BA 是顶角相等的等腰三角形，故∠APO＝∠ABO 1，从而O 1B ∥OP ，故AO 1AO ＝AB AP. 又由切割线定理，知PC 2＝PB·PA ＝(PA －AB)·PA ＝PA 2－PA·AB ，两端同除以PA 2，得PC 2PA2＝1－AB PA ，即(22)2＝1－AB PA ，故AB PA ＝12，从而⊙O 1和⊙O 的半径的比值为AO 1AO ＝AB AP ＝12.23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθy ＝sinθ(θ为参数)交于A ，B 两点，求PA·PB.解析：直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0的斜率为1，令θ＝0，得ρ＝1，∴直线与x 轴交于点(1,0)点，∴直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋22t ，y ＝0＋22t (t 为参数)①椭圆的普通方程为：x 2＋4y 2＝4，②①代入②得：5t 2＋22t －6＝0，∵Δ＞0，∴PA·PB ＝|t 1·t 2|＝65. 24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 解析：∵f(x)＝x 2－x ＋1，|x －a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x 2－x －a 2＋a|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|(x －a)＋2a －1|≤|x －a|＋|2a ＋1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)．。

L 算法初步与复数L1 算法与程序框图14．L1[2020·江西卷] 如图1－3为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．14．3 [解析] 考查算法框图、诱导公式、特殊角的三角函数值；解题的突破口是列出每一次循环后各变量的结果．当k ＝1时，此时sin π2＝1>sin0＝0成立，因此 a ＝1，T ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2，k <6成立，再次循环；因sinπ＝0>sin π2＝1不成立，因此a ＝0，T＝1＋0＝1，k ＝2＋1＝3，此时k <6成立，再次循环；因sin 3π2＝－1> sinπ＝0不成立，因此a ＝0，T ＝1＋0＝1，k ＝3＋1＝4，此时k <6成立，再次循环；因sin2π＝0>sin 3π2＝－1成立，因此a ＝1，T ＝1＋1＝2，k ＝4＋1＝5，此时k <6成立，再次循环；因sin 5π2＝1> sin2π＝0成立，因此a ＝1，T ＝2＋1＝3，k ＝5＋1＝6，此时k <6不成立，退出循环，此时T ＝3.3．L1[2020·安徽卷] )的输出结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．83．B [解析] 本题考查程序框图的应用，逻辑推理的能力． 用表格列出x ，y 每次的取值情况如下表：4．L1[2020·北京卷] 执行如图1－2所示的程序框图，输出的S 值为( )A．2 B．4 C．8 D．164．C [解析] 本题考查了循环结构的流程图，简单的整数指数幂计算等基础知识．根据循环，k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2；S＝8，当k＝3，时，输出S＝8.12．L1[2020·福建卷] 阅读图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．12．－3 [解析] 第一次循环由于k＝1<4，所以s＝2－1＝1，k＝2；第二次循环k＝2<4，所以s＝2－2＝0，k＝3；第三次循环k＝3<4，所以s＝0－3＝－3，k＝4，结束循环，所以输出s＝－3.4．L1[2020·江苏卷] 图1－1是一个算法流程图，则输出的k的值是________．4．5 [解析] 本题为对循环结构的流程图的含义的考查．解题突破口为从循环终止条件入手，再一一代入即可．将k ＝1,2,3，…，分别代入可得k ＝5.13．L1[2020·广东卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．13．8 [解析] 考查程序框图的循环结构，突破口是计算每一次循环的情况，计算运算结果与执行情况，直到不满足条件为止，第一次循环：s ＝2，i ＝4，k ＝2；第二次循环：s ＝12×(2×4)＝4，i ＝6，k ＝3；第三次循环：s ＝13×(6×4)＝8，i ＝8，k ＝4，此时不满足条件：i <n ，结束循环，输出s ＝8. 14．L1[2020·湖南卷] 如果执行如图1－4所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________.图1－414．－4 [解析] 考查程序框图和数列的求和，考查考生的当型循环结构，关键是处理好循环次数，不要多加情况，或者少算次数．解决此类型试题，最好按循环依次写出结果．当i ＝2时S ＝－3，当i ＝1时S ＝5，当i ＝0时S ＝－4，当i ＝－1时，不满足条件，退出循环，输出结果S ＝－4.6．L1[2020·课标全国卷] 如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数6．C [解析] 由程序框图可知，当x >A 时，A ＝x ；当x ≤A 且x <B 时，B ＝x ，所以A 是a 1，a 2，…，a N 中的最大数，B 是a 1，a 2，…，a N 中的最小数．故选C.9．L1[2020·辽宁卷] 执行如图S 值是( )图1－2A ．－1 B.23C.32 D ．49．A [解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i 与6的关系．当i ＝1时，S ＝22－4＝－1；当i ＝2时，S ＝22－－1＝23；当i ＝3时，S ＝22－23＝32；当i ＝4时，S ＝22－32＝4；当i ＝5时，S ＝22－4＝－1；当i ＝6时程序终止，故而输出的结果为－1.6．L1[2020·山东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．B [解析] 本题考查算法与程序框图，考查数据处理能力，容易题．当n ＝0时，P ＝1，Q ＝3，P <Q 成立，执行循环；当n ＝1时，P ＝5，Q ＝7，P <Q 成立，执行循环；当n ＝2时，P ＝21，Q ＝15，P <Q 不成立，但是n ＝2＋1＝3后，再输出．10．L1、K3[2020·陕西卷] 图1－3是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )图1－3A ．P ＝N1000 B ．P ＝4N1000 C ．P ＝M 1000 D ．P ＝4M100010．D [解析] 本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率π的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了1000次，M 代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，π4＝M 1000，对应的圆周率π为P ＝4M1 000.3．L1[2020·天津卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．93．C [解析] 本题考查算法与程序框图，考查数据处理能力，容易题．经过第一次执行循环，x ＝|－25|－1＝4；经过第二次循环，x ＝|4|－1＝1；然后输出x ＝2×1＋1＝3.12．L1[2020·浙江卷] 若某程序框图如图1－4所示，则该程序运行后输出的值是________．12.1120 [解析] 本题主要考查算法的程序框图及其应用．当i ＝1时，T ＝11＝1，而i ＝1＋1＝2，不满足条件i >5；接下来，当i ＝2时，T ＝12，而i ＝2＋1＝3，不满足条件i >5；接下来，当i ＝3时，T ＝123＝16，而i ＝3＋1＝4，不满足条件i >5；接下来，当i ＝4时，T＝164＝124，而i ＝4＋1＝5，不满足条件i >5；接下来，当i ＝5时，T ＝1245＝1120，而i ＝5＋1＝6，满足条件i >5；此时输出T ＝1120，故应填1120.[点评] 对于程序框图问题，关键是正确识别与推理，通过逐步推理与分析加以正确判断．L2 基本算法语句 L3 算法案例 L4 复数的基本概念与运算11．L4[2020·重庆卷] 若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.11．4 [解析] 因为(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则根据复数相等得a ＝1，b ＝3，所以a ＋b ＝4.2．L4[2020·浙江卷] 已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．D [解析] 本题主要考查复数的四则运算，检测学生对基础知识的掌握情况． 3＋i 1－i ＝3＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2＋4i2＝1＋2i ，故应选D.[点评] 复数的四则运算是每年高考的必考内容之一，以送分题为主．1．L4[2020·天津卷] i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i1．B [解析] 本题考查复数的运算，考查运算求解能力，容易题． 7－i 3＋i ＝7－i 3－i 3＋i 3－i ＝7×3－1＋－3－7i32＋12＝2－i. 2．L4[2020·四川卷] 复数1－i22i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．B [解析] 由复数的代数运算，得(1－i)2＝－2i ，故原式＝－1.15．L4[2020·上海卷] 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1 15．B [解析] 考查复数的概念和一元二次方程中根与系数的关系(即韦达定理)，可利用方程的两根是共轭复数解题．由韦达定理可知：－b ＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b ＝－2，c ＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c ＝3，所以选B.此题还可以直接把复数根1＋2i 代入方程中，利用复数相等求解．1．L4[2020·上海卷] 计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．1．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝3－i 1－i1－i2＝1－2i. 1．L4[2020·山东卷] 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i1．A [解析] 本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．设z ＝a ＋b i ()a ，b ∈R ，由题意得()a ＋b i ()2－i ＝()2a ＋b ＋()2b －a i ＝11＋7i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5. 2．L4[2020·辽宁卷] 复数2－i2＋i＝( )A.35－45iB.35＋45i C ．1－45i D ．1＋35i2．A [解析] 本小题主要考查复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．因为2－i 2＋i ＝()2－i 2()2＋i ()2－i ＝3－4i 5＝35－45i ，所以答案为A.3．L4[2020·课标全国卷] 下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 43．C [解析] 因为z ＝2－1＋i ＝2()－1－i ()－1＋i ()－1－i ＝－1－i ，所以z 的虚部是－1，z＝－1＋i ，||z ＝2，z 2＝()－1－i 2＝2i.故p 2，p 4是真命题， p 1，p 3是假命题，故选C.3．L4[2020·江苏卷] 设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．3．8 [解析] 本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数即可．因为11－7i 1－2i ＝11－7i 1＋2i 5＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3.12．L4[2020·湖南卷] 已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.12．10 [解析] 复数z ＝(3＋i)2化简得，z ＝8＋6i ，所以|z |＝82＋62＝10.1．L4[2020·湖北卷] 方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i1．A [解析] (解法一)x ＝－6±62－4×132＝－3±2i，故选A.(解法二)将A ，B ，C ，D 各项代入方程验证，发现只有A 项中的－3＋2i ，满足()－3＋2i 2＋6()－3＋2i ＋13＝9－12i －4－18＋12i ＋13＝0.故选A.1．L4[2020·广东卷] 设i 为虚数单位，则复数5－6ii＝( )A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i1．D [解析] 因为5－6i i ＝5－6i i i·i ＝5i ＋6－1＝－6－5i ，所以选择D.1．L4[2020·福建卷] 若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋i D ．1＋i1．A [解析] 根据已知条件：z ＝1－i i ＝1－i ii·i＝－1－i.所以选择A.1．L4[2020·全国卷] 复数－1＋3i1＋i＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i1．C [解析] 本小题主要考查复数的乘除法运算．解题的突破口为复数除法中的分母实数化．由－1＋3i 1＋i ＝－1＋3i 1－i 1＋i 1－i ＝2＋4i 2＝1＋2i ，故选C.1．L4[2020·安徽卷] 复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2i D ．2＋2i1．D [解析] 本题考查复数的简单运算．由()z －i ()2－i ＝5，得z －i ＝52－i ，所以z ＝i ＋5()2＋i ()2－i ()2＋i ＝2＋2i.3．A2、L4[2020·陕西卷] 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．B [解析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a ＋b i ＝a －b i ，若a ＋bi 为纯虚数，a＝0且b ≠0，所以ab ＝0不一定有a ＋b i 为纯虚数，但a ＋bi 为纯虚数，一定有ab ＝0，故“ab＝0”是复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.3．A2、L4[2020·北京卷] 设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．B [解析] ∵若a ＝0，则复数a ＋b i 是实数(b ＝0)或纯虚数(b ≠0)．若复数a ＋b i 是纯虚数则a ＝0.综上，a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．L5 单元综合2020模拟题1．[2020·银川一中检测] 运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是( ) INPUT “n＝”； n k ＝1 p ＝1WHILE k<＝n p ＝p*k k ＝k ＋1WEND PRINT p ENDA ．120B ．720C ．1440D ．50401. B [解析] 运行程序，k ＝1，p ＝1；k ＝2，p ＝2；k ＝3，p ＝6；k ＝4，p ＝24；k ＝5，p ＝120；k ＝6，p ＝720，输出720，选B.2．[2020·宁德质检] 运行如图K46－2所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝cos2xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sinπx2．D [解析] 只有f (x )＝sinπx 满足f (x )＝0有解，且f (x )＝f (x ＋2)成立．3．[2020·温州检测] 如图K46－5给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 012的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )图K46－5A ．i ≤1 005?B ．i >1 005?C ．i ≤1 006?D ．i >1 006?3．C [解析] 因为执行程序框图，输出的是12＋14＋16＋…＋12 012，所以判断框内应填入的条件是i ≤1 006？.4. [2020·银川一中检测] 若i 为虚数单位，图K46－1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z1－2i的共轭复数是( )图K46－1A ．－35i B.35I C ．－i D ．i 4．C [解析] 由题意z ＝2＋i ，所以z 1－2i ＝2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i1＋2i＝i ，则其共轭复数是－i ，选C. 5．[2020·延吉质检] 设z 1＝1＋i ，z 2＝1－i(i 是虚数单位)，则z 1z 2＋z 2z 1＝( )A ．－iB ．iC ．0D ．15．C [解析] 因为z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，所以z 1z 2＋z 2z 1＝1＋i 1－i ＋1－i 1＋i ＝i －i ＝0.。