高数各章综合测试题与答案

大学高数测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D4. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是：A. x^2B. x^3C. x*ln(x)D. x*ln(x) - x答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。

答案：3x^2+4x-52. 曲线y=x^2与直线x=2所围成的面积为______。

答案：4/33. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。

答案：1/24. 函数y=e^x的泰勒展开式为______。

答案：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：e2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的值。

答案：f(2)=23. 求不定积分∫(2x^2-3x+1) dx。

答案：(2/3)x^3-(3/2)x^2+x+C四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么存在一点c∈(a,b)，使得∫(a到b) f(x) dx = f(c)(b-a)。

答案：略2. 证明：函数f(x)=x^2在R上是凸函数。

答案：略。

2、证明： （1）设 f ( x ) 是奇函数，且 f ( x ) 可导
f ( x) lim
f ( x x ) f ( x ) f [( x x )] f ( x ) lim x 0 x 0 x x f ( x x) f ( x) f ( x x ) f ( x ) lim lim f ( x) x 0 x 0 x x
2. 证 明 ： 令
F ( x ) x 2 sin x 3
在
0,
联
系
，
且
F (0) 3 0, F ( ) ( 3) 0 ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一
(0, ) ，使 F ( ) 0 ，即方程 x 2 sin x 3 0 至少有一个界于 0 与 2
a f a f 2a
由零点定理
f 0 f 2a
0 a 0
至少存在一点 0, a , 使得 f f a 0 , 即 f f a
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则
f ( x ) 在 x=0 处间断。
x 1
lim f ( x) lim (2 x ) lim f ( x) f (1)
x 1 x 1
f ( x ) 在 x 1 处连续
总上可得 f ( x ) 的连续区间为（ ,0), (0,) 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
1. 证 明 ： 令
F ( x ) x ln x 1 ， 则 F ( x) 在
1,2
连 续 ， 且
F (1) 1, F (2) (2 ln 2 1) 0 ， 由 连 续 函 数 的 零 点 定 理 可 知 ， 至 少 存 在 一

大学高数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (1+2x)^(1/x)的值为（）。

A. 0B. 1C. e^2D. 23. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数为（）。

A. 3x^2-3C. 3x-3D. 3x+34. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率为（）。

A. 2B. 4C. 6D. 85. 函数f(x)=e^x的不定积分为（）。

A. e^x+CB. xe^x+CC. \frac{1}{e^x}+CD. \ln(x)+C6. 函数f(x)=\sin(x)的不定积分为（）。

A. \cos(x)+CC. -\cos(x)+CD. -\sin(x)+C7. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点为（）。

A. -1B. 1C. 0D. 28. 函数f(x)=\ln(x)的定义域为（）。

A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)9. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的拐点为（）。

A. 1B. 2C. 0D. -110. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为_________。

12. 极限lim(x→∞) \frac{3x^2-2x+1}{2x^2+5x-3}的值为_________。

13. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为_________。

14. 函数f(x)=x^2-4x+3的不定积分为_________。

15. 函数f(x)=\sin(x)+\cos(x)的不定积分为_________。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 求函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间和极值。

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin，则)(cos x f 。

2、)1()34(lim22x x x x。

3、0x时，x x sin tan 是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0xx kx成立的k 为。

5、xe xxarctan lim 。

6、,0,1)(xb xx ex f x在0x 处连续，则b。

7、xx x6)13ln(lim。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1x y的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim xxaxa x 。

11、已知当0x时，1)1(312ax 与1cosx 是等价无穷小，则常数________a。

12、函数x x x f 13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22xxn。

14、设8)2(lim xxa x a x ，则a________。

15、)2)(1(lim n nn nn=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l 上的偶函数，)(x h 是],[l l 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f ；（Ｂ）)()(x h x f ；（C ）)]()()[(x h x g x f ；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xx x 11)(，31)(x x ，则当1x时有。

（Ａ）是比高阶的无穷小；（Ｂ）是比低阶的无穷小；（C ）与是同阶无穷小；（D ）~。

3、函数)1(0,1111)(3xkx x x x x f 在0x 处连续，则k。

（Ａ）23；（Ｂ）32；（C ）1；（D ）0。

4、数列极限]ln )1[ln(lim n n n n。

（Ａ）1；（Ｂ）1；（C ）；（D ）不存在但非。