数学实验“等距节点插值,Hermite插值,分段插值(线性,二次,三次)”实验报告(内含matlab程序)
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西京学院数学软件实验任务书
课程名称 数学软件实验 班级 数0901
学号 0912020107 姓名 李亚强
实验课题
等距节点插值，Hermite插值，分段插值（线性，二
次，三次）
实验目的
熟悉等距节点插值，Hermite插值，分段插值（线性，
二次，三次）
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中
一种语言完成
实验内容
等距节点插值，Hermite插值，分段插值（线性，二
次，三次）
成绩
教师
- 1 -
实验十六实验报告
一、实验名称：等距节点插值，Hermite插值，分段插值（线性，
二次，三次）。
二、实验目的：进一步熟悉等距节点插值，Hermite插值，分段插
值（线性，二次，三次）。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其
中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．等距节点插值：
差分分为前向差分、后向差分和中心差分三种，它们的记法及
定义如下所示:
n
阶前向差分公式111()()()nnniiifxfxfx
n
阶后向差分公式111()()()nnniiifxfxfx
n
阶中心差分公式111122()()()nnniiifxfxfx
其中： -前向差分； -后向差分； -中心差分。
假设000()()()()iiiifxfxfxfx，为了方便计算，构造
差分表(()iiffx)。
这里只说明前向牛顿插值，其多项式可表示为如下形式：
0()()NxNxth
- 2 -
20000()()()()12ntttfxfxfxfxn
其中h为步长，10hxx，且的取值范围为0tn。
2．埃尔米特插值：
埃尔米特插值法满足在节点上等于给定函数值，而且在
节点上的导数值也等于给定的导数值，对于有高阶导数的情
况，埃尔米特插值多项式比较复杂，在实际应用中，常常遇到
的是函数值与一阶导数值给定的情况，在这种情况下，n个节
点12,,nxxx的埃尔米特插值多项式()Hx的表达形式如下所示：
1()[()(2)]niiiiiiiHxhxxayyy
其中(),''()iiiiyyxyyx
2111(),nnjiijjijijjijixxhaxxxx
3．分段插值：
给定插值节点ix、节点函数值iy及对应的导数值
'(0,1,2,,)iyiN
，则满足下面条件
(),'()'iiiipxypxy
的分段埃尔米特插值函数()px的表达式如下所示：
- 3 -
22
11122111()(12)()(12)()'()()'()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxpxyyhhhhxxxxyxxyxxhh
11,(0,1,2,1),[,]iiiiihxxiNxxx
五、实验内容：
%等距节点插值
function [f,f0]= dengjujiedian(x,y,x0)
syms t;
if(length(x) == length(y))
n = length(x);
c(1:n) = 0.0;
else
disp('x和y的维数不相等！');
return;
end
f = y(1);
y1 = 0;
xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));
if(xx ~= x)
disp('节点之间不是等距的！');
return;
end
for(i=1:n-1)
for(j=1:n-i)
y1(j) = y(j+1)-y(j);
end
c(i) = y1(1);
l = t;
for(k=1:i-1)
l = l*(t-k);
end;
f = f + c(i)*l/factorial(i);
simplify(f);
- 4 -
y = y1;
end
f0=subs(f,'t',(x0-x(1))/(x(2)-x(1)));
%埃尔米特插值
function [f,f0]= Hermite(x,y,y_1,x0)
syms t;
f = 0.0;
if(length(x) == length(y))
if(length(y) == length(y_1))
n = length(x);
else
disp('y和y的导数的维数不相等！');
return;
end
else
disp('x和y的维数不相等！');
return;
end
for i=1:n
h = 1.0;
a = 0.0;
for j=1:n
if( j ~= i)
h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);
a = a + 1/(x(i)-x(j));
end
end
f = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));
end
f0=subs(f,'t',x0);
%分段差值
function [f,f0] = fenduan(x,y,y_1,x0)
syms t;
f = 0.0;
- 5 -
f0 = 0.0;
if(length(x) == length(y))
if(length(y) == length(y_1))
n = length(x);
else
disp('y和y的导数的维数不相等！');
return;
end
else
disp('x和y的维数不相等！');
return;
end
for i=1:n
if(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)
index = i;
break;
end
end
h = x(index+1) - x(index);
fl = y(index)*(1+2*(t-x(index))/h)*(t-x(index+1))^2/h/h
+ ...
y(index+1)*(1-2*(t-x(index+1))/h)*(t-x(index))^2/h/h;
fr = y_1(index)*(t-x(index))*(t-x(index+1))^2/h/h + ...
y_1(index+1)*(t-x(index+1))*(t-x(index))^2/h/h;
f = fl + fr;
f0 = subs(f,'t',x0);
