点集拓扑学
1. 什么是等价关系，给出一个例子并证明.
答：满足自反性、对称性、传递性的关系称为等价关系.
例 给定集合A ={1,4,7}，有关系R ={(a,b)|a,b ∈A,a ≡b mod3}
证明 自反性：任意的a ∈A ，都有a ≡a mod3，则aRa .
对称性： 任意的a,b ∈A ，都有a ≡b mod3, b ≡a mod3，则aRb ，bRa .
传递性： 对于1,4,7∈A ，有1≡4 mod3，4≡7 mod3.
则1−4≡0 mod3，4−7≡0 mod3,两边相加
1−4+4−7≡0 mod3
1−7≡0 mod3
1≡7 mod3
当aRb ，bRc 时，有aRc .
2. 什么是拓扑空间中的连续映射？试用闭包，或者内部给出连续映射的等价刻画.
答：从拓扑空间(X,T)到拓扑空间(Y,T)存在一个映射f .当x 0∈X 时, y 0=f(x 0)∈Y .对于y 0的任意邻域U ，都存在x 0的一个邻域，使得f(U(x 0))⊂U(f(x 0)).此时称f 在点x 0处连续，若f 在每一点都连续，则称f 为一个连续映射.
f 为一个连续映射当且仅当开集的原象仍未一个开集.
连续映射的等价刻画：
a) f 为一个连续映射
b) 空间Y 上的任意一个闭集B 的原象仍为闭集
c) 空间X 上的子集A ，其A 的闭包的像包含于A 的像的闭包，即f(A )⊂f(A)̅̅̅̅̅̅.
d) 空间Y 上的子集B ，其B 的闭包的原象包含B 的原象的闭包，即f −1(B)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⊂f −1(B ̅). e) 空间Y 上的子集B ，其B 的内部的原象包含于B 的原象的内部，即f −1(B 0)⊂(f −1(B))0
证明 a)↔b) 因为B 为一个闭集，则B′为一个开集，则由a)可知，开集的原象仍为一个开集.即f −1(B ′)=(f −1(B ))′为一个开集，则f −1(B )为一个闭集.
b)↔c) 因为A ⊂X 上，而f(A)⊂f(A)̅̅̅̅̅̅.从而 A ⊂f −1f(A)̅̅̅̅̅̅.由b)可知，闭集的原象仍为一个闭集，则f(A)̅̅̅̅̅̅为一个闭集，则f −1f(A)̅̅̅̅̅̅为一个闭集，那么A ⊂f −1f(A)̅̅̅̅̅̅.则f(A )⊂f(A)̅̅̅̅̅̅
c)↔d) 由c)可知f(f −1(B )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)⊂ff −1(B )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,则f(f −1(B )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)⊂B ̅,则f −1(B
)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⊂f −1(B ̅) d)↔e) 因为B 0=(B
′̅̅̅)′，所以f −1(B 0)=f −1((B ′̅̅̅)′)=(f −1(B ′̅̅̅))′.而由d)，可知f
−1(B ′)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⊂f −1(B ′̅̅̅)，那么(f −1(B ′̅̅̅))′⊂(f −1(B ′)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)′=(f −1(B )′̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)′=(f −1(B))0.证毕. 3. 什么是拓扑空间，举例并证明.
答： 设X 是一个集合，由X 的子集构成的集合族T 满足：
(1) X ，∅∈T
(2) T 中集合的有限交集仍在T 中
(3) T 中集合的任意并集仍在T 中
则称(X,T)为一个拓扑空间
例 集合A ={1,2,3}，T ={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}
证明 略
4. 什么是T 2空间，并用拓扑中的网给出T 2空间的等价刻画并证明.
答：设X 是一个拓扑空间，空间上两个不相同的点都存在一个开邻域，且这两个邻域互
不相交.（即如果x,y∈X,且x≠y，则存在x的一个邻域U，y的一个邻域V.U∩V=∅），则称空间X为一个T2空间
等价刻画
当一个空间X为一个T2空间，当且仅当空间X上的网最多收敛一个点.
证明必要性若X为一个T2空间，则存在X上的两个不相同的点s,t.而s,t的两个邻域U 和V不相交.则空间X上的任意一个网，显然不能同时收敛于两个不相交的集合，则空间X上的网最多收敛一个点.
充分性反证法假设X不是一个T2空间，且在X上的两个不相同的点s,t，则它们有相交的邻域.令U s为s的邻域系，U t为t的邻域系.则U s和U t关于⊂构成一个有向集.
设U s×U t内有(S,U)≥(T,V),当且仅当S⊂T,U⊂V
则U s×U t关于≥构成一个有向集，而U s×U t中每一个(S,U)，S∩U≠∅.那么存在一个点N(S,U)∈S∩U⊂T∩V.而(T,V)≥(S,U)，则有点N(T,V)∈T∩V⊂S∩U.则有点N(S,U)在U s×U t任意邻域系里，从而网{N(S,U),(S,U)⊂U s×U t,≥}，同时收敛于s和t.
这与X上的网最多收敛一个点矛盾，则X是一个T2空间
5.什么是正规空间.正则空间一定是正规空间吗，如果正则空间为正规空间，需要附加怎样的条件.
答：X是一个拓扑空间，空间X上两个互不相交的闭子集，它们的开领域也是互不相交的。（即A,B⊂X，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V，U∩V=∅）
正则空间不一定是正规空间，只有满足第二可数性公理的正则空间必为正规空间
6.什么是紧致空间，给出一个定价刻画，并给出证明
答：一个拓扑空间X称为紧的，当且仅当该拓扑空间的子覆盖有有限多个子覆盖
等价刻画一个拓扑空间称X为紧的，当且仅当该拓扑空间的具有有限交性质的闭集族有非空的交
证明必要性设ℱ是一个具有有限交性质的闭集族，则该证明等价于证：⋂F
F∈ℱ
≠∅
当ℱ=∅，则⋂F
F∈ℱ无定义，显然⋂F
F∈ℱ
=∅.故ℱ≠∅
反证法假设⋂F
F∈ℱ
=∅，令A={F′|F∈ℱ}.则有
⋃F′F∈ℱ=(⋂F
F∈ℱ
)
′
=X
则可知A构成拓扑空间X上的一个开覆盖，则存在一个有限子覆盖.设为{F1′,F2′,…,F n′}, F1∩F2∩……∩F n=(F1′∪F2′∪……∪F n′)′=∅
这与ℱ是一个具有有限交性质矛盾，则假设不成立，⋂F
F∈ℱ
≠∅
充分性设A构成拓扑空间X上的一个开覆盖，当A=∅，则⋃A
A∈A
=X=∅，这蕴含拓扑空间的可以被A的任意子集覆盖.当A≠∅,则ℱ={A′|A∈A}是一个非空闭集族
⋂F F∈ℱ=⋂A′
A∈A
=(⋃A
A∈A
)
′
=∅
则ℱ不是一个非空闭集族，那么ℱ上存在{A1′,A2′,…,A n′}使得
A1∪A2∪…∪A n=(A1′∩A2′∩……∩A n′)′=X
则存在A上的一个任意子覆盖
7.什么是闭包算子，试用闭包算子构造一个拓扑，以闭包算子给出证明.
答：拓扑空间X上，存在一个映射c∗:P(X)→P(X),它变X的子集A为X的子集c∗(A)，
