《点集拓扑学》教学大纲
一、课程名称：
《点集拓扑学》
二、课程性质：
数学与应用数学专业限选课
先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程
三、课程的地位及教学目的
“点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。
四、课程教学原则与教学方法
本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时
68课时（含复习考试）
六、课程教学内容要点及建议学时分配
第一篇集合论初步（6课时）
一、教学目的
在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下：
1．集合的基本概念(自学)
2．集合的基本运算(自学)
3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学)
7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。
第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时）
一、教学目的
本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时)
2*．拓扑空间与连续映射(4学时)
3*．邻域与邻域系(2学时)
4*．导集、闭集、闭包(4学时)
5*．内部、边界(2学时)
6*．基与子基(4学时)
7*．拓扑空间中的序列(4学时)
作业要求：完成8~10道基础性练习题，1~2提高性练习题。
第三篇子空间、（有限）积空间（8学时）
一、教学目的
本篇中介绍了通过已知拓扑空间构造新的拓扑空间的三种办法。使学生了解常用的几种构造新拓扑空间的方法，并了解这些新空间自身的基本性质和特征。要点如下：
1*．子空间(3学时)
2*．(有限)积空间(3学时)
3*．商空间(2学时)
作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题
第四篇连通性（8学时）
一、教学目的
使学生了解“连通空间”的基本概念及其基本性质；连通性的简单应用；其他相关的内容。要点如下：
1*．连通空间(2学时)
2．连通性的简单应用(自学学时)
3*．连通分支、局部连通空间(3学时)
4*．道路连通空间(3学时)
作业要求：完成6~8道基础性练习题，1~2提高性练习题。
第五篇可数性公理（6课时）
1*．第一与第二可数性公理(3学时)
2*．可分空间(1学时)
3*．Lintel0ff空间(2学时)
作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。
第六篇分离性公理（9学时）
一、教学目的
使学生了解T0,T1,T2,T3,T4，正则及正规空间的基本概念及其有关的知识。要点如下：
1*．T0,T1,Hausdorff空间(2学时)
2*．正则,正规,T3,T4空间(2学时)
3．Urysohn引理和Tietze扩张定理(2学时)
4．完全正则空间、Tychonoff空间(1学时)
5．分离性公理，（有限）积空间和商空间(2学时)
作业要求：完成6~8道基础性练习题，1~2提高性练习题。
第七篇紧致性（9学时）
一、教学目的
使学生了解紧致空间的概念及其性质；紧致性与分离性公理；几种紧致性以及其间的关系。要点如下：
1*．紧致空间（3学时）
2*．紧致性与分离性公理（2学时）
3．几种紧致性以及其间的关系(2学时)
4．局部紧致空间、仿紧空间(2学时)
作业要求：完成6~8道基础性练习题，1~2提高性练习题。
七、课程的考试与评估
精心设计试题与试卷，使之真正反映学生的学习水平，课程考核按平时成绩（作业、出勤、测验或期中考试）占30%，期未考试占70%的方法来计算。认真评估，给学生恰如其分的成绩。
通过详细填写“期末考试试卷分析表”，并结合学生的考试成绩对课程进行评估。
八、课程的实践教学环节要求
为了巩固所学习知识，理解和掌握《点集拓扑学》的思想方法，要求学生在学习过程中，独立完成相关习题40～50道。实践环节主要以习题练习的形式来实现，有能力的学生可以进行研究，撰写论文。实践课以习题课的形式进行。
九、教材
点集拓扑学讲义（第二版），熊金城编，高等教育出版社
十、参考书
[1] 一般拓扑学，J.L.凯莱（美国）著，吴从炘、吴让泉译，科学出版社，1982
[2] 拓扑空间论，儿玉之宏（日本）等著，方嘉琳译，科学出版社，1974
